優収束定理について極限の定義から深く掘り下げながら誤魔化さずに解説してみた

|| 極限演算子と積分演算子の関係

「極限」と「積分」が交換できる条件

極限 Limit

この記事の主役はこれなので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n &=& α \end{array}$

これが分かっていないと

（ ↓ は左から順に具体的な値が決まる）

$\begin{array}{ccc} \forall ε & \textcolor{skyblue}{\Bigl(} & \exists N & \textcolor{pink}{\Bigl(} & \forall n≥N & \Bigl( & |a_n-α|<ε & \Bigr) & \textcolor{pink}{\Bigr)} & \textcolor{skyblue}{\Bigr)} \end{array}$

かなり辛い内容になっています。

（ $ε$ は $0$ ではない正の実数で $n,N$ は自然数）

$ε\text{-}N$ 論法を軽く解説

↑ の見た目はかなりえぐいですが

中身それ自体はそんなに難しくないです。

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \frac{1}{n} - 0 \right|<10^{-10} && 10^{10}<n \\ \\ |a_{n_*}-α|<ε_* && N_*≤n_* \end{array}$

まずこれは

「定数 $ε_*,N_*,n_*$ 」の状態で正しいという主張

$\begin{array}{ccclcr} & & & |a_{n_*}-α|<ε_* && N_*≤n_* \\ \\ & & \forall n≥N_* & |a_{n}-α|<ε_* && N_*≤n \\ \\ & \exists N & \forall n≥N & |a_{n}-α|<ε_* && N≤n \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & |a_{n}-α|<ε && N≤n \end{array}$

最終的な論理式は

そこから順番に一般化してるだけで

$\begin{array}{ll} 全てのnで & |a_{n}-α|<ε_* & が成立 \\ \\ 全てのnで & |a_{n}-α|<ε_* & が成立 & そんなNが存在 \\ \\ 全てのnで & |a_{n}-α|<ε & が成立 & そんなNが存在 & これが全てのεで成立 \end{array}$

それ以上でもそれ以下でもありません。

（最も左の記号から具体的な値が入る）

上限下限 Superior Inferior

これは「極限」と似た概念で

似たような性質を持つんですが

$\begin{array}{ccc} 上限である &⇔& 上界の最小元である \\ \\ 下限である &⇔& 下界の最大元である \end{array}$

定義がちょっと複雑で

（以下 $n,N,ε$ は ↑ と同じで $a_n,α$ も実数）

$\begin{array}{lcl} \forall n \,\, a_n≤α && 上界の要素である \\ \\ \forall ε \,\, \exists N \,\, α - ε < a_N && 上界の最小元である \\ \\ \\ \forall n \,\, α≤a_n && 下界の要素である \\ \\ \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N < α + ε && 下界の最大元である \end{array}$

単純な形では

「極限」の性質を満たしてくれません。

（絶対値で定義されてないため正負が関わる）

下極限や上極限などでの表現

この「下限上限」の表現には

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \sup_{N≤n}\{a_n\} &=& α_N \\ \\ \displaystyle \inf_{N≤n}\{a_n\} &=& α_N \end{array}$

こういったものもあって

これは当然

↑ とは異なるわけですが

どんな感じに定義されてるか曖昧ですよね。

まあ「極限」の定義を理解していれば

なんとなーく想像できるとは思うんですが

実際、わりとそのままです。

$\begin{array}{lr} & a_{n_{≥N}}≤α_N \\ \\ \forall n≥N & a_{n}≤α_N \end{array}$

「上界である」はこのようになっていて

$\begin{array}{ccl} & & α_{N} - ε^* < a_{n_{≥N}} \\ \\ & \exists n≥N & α_N - ε^* < a_n \\ \\ \forall ε & \exists n≥N & α_N - ε < a_n \end{array}$

「上界の最小元である」は

こんな感じになっています。

$α_N$ を定数として定める $N$ は

「定数」として定義されていて

$\begin{array}{ccc} α_N &=& \sup\{ a_n \mid N≤n \} \end{array}$

この段階では量化されません。

（ただし $N$ 自体は自然数なら任意にとれます）

下極限と上極限

以上のことから

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n}\{a_n\} \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \inf_{N≤n}\{a_n\} \end{array}$

「上極限・下極限」を意味する

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n}\{a_n\} &=& L \end{array}$

この演算の中身は

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \inf_{N_*≤n}\{a_n\} - L \right| &<& ε^* \end{array}$

「 $N$ を固定して上限を見つける」ところから始まり

$\begin{array}{ccc} & & & \displaystyle \left| \inf_{N^*_{≥N_{↓}}≤n}\{a_n\} - L \right| < ε^* \\ \\ & & \forall N≥N^*_{↓} & \displaystyle \left| \inf_{N≤n}\{a_n\} - L \right| < ε^* \\ \\ & \exists N_{↓} & \forall N≥N_{↓} & \displaystyle \left| \inf_{N≤n}\{a_n\} - L \right| < ε^* \\ \\ \forall ε & \exists N_{↓} & \forall N≥N_{↓} & \displaystyle \left| \inf_{N≤n}\{a_n\} - L \right| < ε \end{array}$

ここから一般化される形で定義されます。

（独立して見た方が分かりやすい）

極限の線型性

この記事では

「極限」「上限下限」を意味する

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& α \\ \\ \displaystyle \sup\{a_n\} &=& α \\ \\ \displaystyle\inf\{ a_n \} &=& α \end{array}$

これらの演算子を多用します。

その中でも

「線型性」は特に基礎的な操作になるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \Bigl( c_a a_n + c_b b_n \Bigr) &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \Bigl( c_a a_n \Bigr) + \displaystyle \lim_{n\to\infty} \Bigl( c_b b_n \Bigr) \\ \\ &=& \displaystyle c_a \lim_{n\to\infty} \Bigl( a_n \Bigr) + \displaystyle c_b \lim_{n\to\infty} \Bigl( b_n \Bigr) \end{array}$

これを問題無く行えるよう

こうなることをきちんと確認しておきます。

（こうならない演算が普通にある）

線型性に必要な要件

以下のような性質のことを

$\begin{array}{lcl} f(αx+βy) &=& αf(x) + βf(y) \end{array}$

「線型性」と言うんですが

実はこれの根元に来るのは

「斉次性」「加法性」という性質で

（線型性の形から明らか）

$\begin{array}{lcl} f(αx)&=& αf(x) && 斉次性 \\ \\ f(x+y)&=&f(x)+f(y) && 加法性 \end{array}$

「線型性」の証明を行うには

これらをそれぞれ証明する必要があります。

極限の斉次性

これは直感的に明らかな性質ですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} c a_n&=& \displaystyle c \lim_{n\to\infty} a_n \end{array}$

$c$ の値の範囲を実数全体に広げる場合

$\begin{array}{ccc} \displaystyle c \lim_{n\to\infty} a_n &=& cα \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} c a_n&=& cα \end{array}$

証明が意外と面倒だったりします。

前提と定義から分かること

まず確認しておくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& α \end{array}$

これは前提とするので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle c \lim_{n\to\infty} a_n &=& cα \end{array}$

これは明らかであるとします。

ほぼ全ての実数 $c$ では

分からないのは片側

$\begin{array}{ccc} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & |ca_{n}-cα|<ε \end{array}$

この定義が目指す答えになることから

$\begin{array}{ccc} ca_{n}-cα \end{array}$

これを考えたいわけですが

$\begin{array}{ccc} |ca_{n}-cα| &=& |c(a_n-α)| \end{array}$

見た目で分かる通り

絶対値の性質 $|αβ|=|α| \cdot |β|$ を使うと

$\begin{array}{ccr} |c(a_n-α)| &=& c|a_n-α| && 0<c \\ \\ |c(a_n-α)| &=& -c|a_n-α| &&c<0 \end{array}$

これはこうなりますから

$\begin{array}{ccc} |a_n-α| &<& \displaystyle \frac{ε}{|c|} \end{array}$

このような $ε$ をとれば

後はこれを変形するだけで欲しい結論が示されます。

（これは前提なのでここから得られた結果は正しい）

$0$ で割る行為は定義できない

↑ が成立するのは

「 $c$ が $0$ ではない実数」の時です。

$\begin{array}{ccc} |a_n-α| &<& \displaystyle \frac{ε}{|c|} \end{array}$

ということは

これを使うという理屈では

$\begin{array}{ccc} |a_n-α| &<& \displaystyle \frac{ε}{0} \end{array}$

$c=0$ の場合

欲しい結論を得ることができません。

（この不等式の右側は定義できない）

$c=0$ のパターンで欲しい結論を得たいなら

$\begin{array}{ccc} |0 \cdot a_n - 0 \cdot α | &=& |0-0| \end{array}$

必ず $ε$ で抑えられる値である

$0$ になるという計算結果から

$\begin{array}{ccc} |0 \cdot a_n - 0 \cdot α | &<& ε \end{array}$

直接的に定義を得る必要があります。

（このパターンでは証明に別の理屈が必要）

下限と上限でも成立しそうだけど

↑ と同様に

直感的に考えると

$\begin{array}{lcc} \sup\{a_n\} &=& α && 前提 \\ \\ \sup\{ca_n\} &=& c\sup\{a_n\} &&結論 \end{array}$

これも成立しそうです。

実際

$\begin{array}{lcccl} \forall n \,\, a_n≤α &{}&\to&& \forall n \,\, ca_n≤cα \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, α - ε < a_N &{}&\to&{}& \displaystyle \forall ε^* \,\, \exists N \,\, α - \frac{ε^{*}}{c} < a_N \end{array}$

$0<c$ の場合と

（ $ε=ε^*/c$ としてもとれる範囲は同じ）

$\begin{array}{ccc} \sup\{ca_n\} &=&\sup \{0\} \\ \\ c\sup\{a_n\} &=& 0 \end{array}$

$c=0$ の場合では

特に問題無くこの性質は満たされます。

斉次性が保証されない場合

しかし $c<0$ の場合では

$\begin{array}{lcccl} \forall n \,\, a_n≤α &{}&\to&& \forall n \,\, ca_n≥cα \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, α - ε < a_N &{}&\to&{}& \displaystyle \forall ε^* \,\, \exists N \,\, α - \frac{ε^*}{-c} < a_N \\ \\ &{}&\to&{}& \displaystyle \forall ε^* \,\, \exists N \,\, cα + ε^* > ca_N \end{array}$

$0<c$ の場合と同様にやると

どうしても不等号の向きが変わってしまいます。

（ $c$ は負なので $ε$ に入れる際は符号を逆に）

そしてこの形は

$\begin{array}{lcccl} \forall n \,\, cα≤ca_n \\ \\ \displaystyle \forall ε^* \,\, \exists N \,\, ca_N < cα + ε^* \end{array}$

「下限」の定義であるため

$cα$ は数列 $\{ca_n\}$ の下界の最大元です。

ということは

$\begin{array}{ccc} \sup\{ca_n\} &=& ？ \\ \\ \inf\{ ca_n \} &=& cα &=& c \sup \{a_n\} \end{array}$

$c<0$ の場合

これはこのようになってしまうため

「斉次性」を満たさないと言えます。

下限の定義から

↑ で出てきた

$\begin{array}{ccc} \sup\{ca_n\} &=& ？ \end{array}$

これがこのままというのは気持ち悪いので

「下限」の時と同じ要領で

（これは上限の定義から入った）

今度は「下限」の定義から入ってみます。

（下限の存在を前提とします）

$\begin{array}{lcccl} \forall n \,\, α≤a_n &{}&\to&& \forall n \,\, cα≥ca_n \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N<α+ε &{}&\to&{}& \displaystyle \forall ε^* \,\, \exists N \,\, a_N < \frac{ε^*}{-c} + α \\ \\ &{}&\to&{}& \displaystyle \forall ε^* \,\, \exists N \,\, cα - ε^* < ca_N \end{array}$

すると

$\begin{array}{lcc} \forall n \,\, cα≥ca_n \\ \\ \displaystyle \forall ε^* \,\, \exists N \,\, cα - ε^* < ca_N \end{array}$

これは「上限」の定義になりますから

以上の結果より

$\begin{array}{ccc} \sup\{ ca_n \} &=& cα &=& c \inf \{a_n\} \end{array}$

これはこのようになると言えます。

（あくまで $c<0$ の範囲では）

上限下限が斉次性を持つには

まとめると

$\begin{array}{rcr} \sup\{ca_n\} &=& c\sup\{a_n\} \\ \\ \inf\{ca_n\} &=& c\inf\{a_n\} \end{array}$

これが成立するのは

$0\leqc$ の場合でだけで

$\begin{array}{rcccr} \inf\{ ca_n \} &=& cα &=& c \sup \{a_n\} \\ \\ \sup\{ ca_n \} &=& cα &=& c \inf \{a_n\} \end{array}$

$c<0$ の場合はこのようになります。

極限の加法性

この性質については

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& α \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n &=& β \end{array}$

この前提と

$\begin{array}{ccc} |x+y| &≤& |x|+|y| \end{array}$

「三角不等式」を使うと

特に複雑な手順を必要とせず

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \Bigl( a_n + b_n \Bigr) &=& α+β \end{array}$

この結果をすぐに得ることができます。

加法性の証明

やることは単純

$\begin{array}{ccc} |(a_n+b_n)-(α+β)| &<& ε &&？ \end{array}$

「三角不等式」の適用により

$\begin{array}{ccc} |(a_n+b_n)-(α+β)| &≤& |a_n-α|+|b_n-β| \end{array}$

これが確実にこうなることから

$\begin{array}{ccc} |a_n-α|+|b_n-β| &<& ε_a + ε_b \end{array}$

こんな不等式を得ることができるので

（ $ε_a + ε_b$ は $ε$ と同じく限りなく $0$ に近付ける）

$\begin{array}{ccc} |(a_n+b_n)-(α+β)| &<& ε \end{array}$

結果、こうなると言えます。

（これがそのまま極限の定義になる）

上限下限の加法規則

これも直感的には同じになりそうですが

$\begin{array}{rcc} \sup\{ a_n+b_n \} &=& \sup\{a_n\}+\sup\{b_n\} \\ \\ \inf\{ a_n+b_n \} &=& \inf\{ a_n \}+\inf\{ b_n \} \end{array}$

実はこれも一般的には成立しません。

$\begin{array}{lcccl} \forall n \,\, α≤a_n &{}&\to&& \forall n \,\, α+c≤a_n+c \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N<α+ε &{}&\to&{}& \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N +c < α+c + ε \end{array}$

「定数」の場合や

$\begin{array}{lcccl} \forall n \,\, α≤a_n &{}&\to&& \forall n \,\, α+b_m≤a_n+b_m \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N<α+ε &{}&\to&{}& \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N + b_m < α + b_m + ε \end{array}$

「 $n$ に関係の無い数列」であれば

（この時の $b_m$ は実数の定数として扱う）

$\begin{array}{lcccl} \displaystyle \inf \{a_n\}=α &&\to&& \displaystyle \inf \{a_n+c\}=α+c \\ \\ \displaystyle \inf\{a_n\}=α &&\to&& \displaystyle \inf\{a_n+b_m\}=α+b_m \end{array}$

確実に成立しますが

（上限でもこうなるのは明らか）

「 $n$ で変わる数列の和」である場合

$\begin{array}{lcc} \forall n \,\, α≤a_n \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N<α+ε \\ \\ \\ \forall n \,\, β≤b_n \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, b_N<β+ε \end{array}$

ここから分かるのは ↓ だけです。

$\begin{array}{ccc} \forall n \,\, α+β≤a_n+b_n \end{array}$

実際

$\begin{array}{rcc} \sup\{ a_n+b_n \} &=& \sup\{a_n\}+\sup\{b_n\} \\ \\ \inf\{ a_n+b_n \} &=& \inf\{a_n\}+\inf\{b_n\} \end{array}$

これが成立しない反例が存在します。

振動と反例

例外となる反例は

$\begin{array}{ccl} a_n &=& \left\{ \begin{array}{ccl} 1 && n\in\mathrm{odd} \\ \\ 0 && n\in\mathrm{even} \end{array} \right. \\ \\ \\ b_n&=&\left\{ \begin{array}{ccc} 0 && n\in\mathrm{odd} \\ \\ 1 && n\in\mathrm{even} \end{array} \right. \end{array}$

だいたい振動と定義関数を使えば作れます。

（数列同士の下限を相殺する感じ）

確認してみると

$\begin{array}{lcc} \inf\{a_n\} &=& 0 \\ \\ \inf\{b_n\} &=& 0 \end{array}$

それぞれの「下限」はこうです。

そしてこれらの「和の下限」は

$\begin{array}{ccc} a_n+b_n &=& \left\{ \begin{array}{ccl} 1+0 && n\in\mathrm{odd} \\ \\ 0+1 && n\in\mathrm{even} \end{array} \right. \end{array}$

「数列の和」が全て $1$ になるので

$\begin{array}{ccc} \inf\{a_n+b_n\} &=& 1 \end{array}$

当然 $1$ になります。

ということは

$\begin{array}{ccc} \inf\{a_n\} + \inf\{b_n\} &≤& \inf\{a_n+b_n\} \\ \\ 0 &≤& 1 \end{array}$

こういうことなので

結果、これは反例になると言えます。

（和の下限は下限の和と常に等しいわけではない）

独立した添え字のパターン

↑ でさらっと流しましたが

これについて

念のため厳密に扱っておきます。

まず「下界の要素であるか」については

$\begin{array}{ccc} \forall m \,\, \forall n \,\, α+b_m≤a_n+b_m &&\to&& \forall n \,\, α+b_{m_*}≤a_n+b_{m_*} \end{array}$

これは厳密にはこうなっています。

（本質的にはどちらを先に定数とするか問題）

$m$ を選ぶまではどの $b_m$ か分からない

$\begin{array}{ccc} b_m &\to& b_{m_*} &\to& 定数 \end{array}$

でも定数 $m_*$ を選ぶと

$b_m$ の具体的な値が分かるので

$\begin{array}{ccc} \forall n \,\, α+b_{m_*}≤a_n+b_{m_*} \end{array}$

この論理式では

$b_{m_*}$ は「定数」として振舞います。

（引き算すれば $0$ になって消えてくれる）

「下界の最大元である」も同様

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \exists N \,\, a_N + b_m < α + b_m + ε^* \end{array}$

これも「 $m$ を決めてある」状態なので

（このようになる $M$ が存在する）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, \exists M \,\, a_N + b_M < α+β + ε \end{array}$

このような形から

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N + b_m < α + b_m + ε \end{array}$

↑ は導くことができます。

（この場合は $m$ が量化されない）

一般化した論理式から

↑ は「一般化された話」で

先に示したものはこの具体例です。

$\begin{array}{lcc} \forall m \,\, \forall n \,\, γ≤a_n+b_{m} \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, \exists M \,\, a_N + b_M < γ + ε \end{array}$

ということは、これは一般形

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \inf_{n,m}\{ a_n+b_m \} &=& γ \end{array}$

このような記号を考えれば

これは論理式の表現の一つになり得ます。

（ $n,m$ を別々に動かして下限を得る操作）

そして実はこれ

$\begin{array}{lcc} \forall n \,\, α≤a_n \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N < α + ε \\ \\ \\ \forall m \,\, β≤b_{m} \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists M \,\, b_M < β + ε \end{array}$

この前提を使って話を進めると

$\begin{array}{lcccl} \forall n \,\, α≤a_n &&\to&& α≤a_{n_*} \\ \\ \forall m \,\, β≤b_m &&\to&& β≤b_{m_*} \end{array}$

ここからは

$\begin{array}{lcccr} α+β≤a_{n_*}+b_{m_*} &&\to&& \forall n \,\, α+β≤a_n+b_{m_*} \\ \\ &&\to&& \forall m \,\, \forall n \,\, α+β≤a_n+b_m \end{array}$

これが導かれて

（量化の順番により先に定数になる方が決まる）

$\begin{array}{lcccr} \displaystyle \forall ε \,\, \exists N \,\, a_N < α + ε &&\to&& \displaystyle\exists N \,\, a_N < α + \frac{ε^*}{2} \\ \\ &&\to&& \displaystyle a_{N_*} < α + \frac{ε^*}{2} \\ \\ \\ \displaystyle \forall ε \,\, \exists M \,\, b_M < β + ε &&\to&& \displaystyle\exists M \,\, b_M < β + \frac{ε^*}{2} \\ \\ &&\to&& \displaystyle b_{M_*} < β + \frac{ε^*}{2} \end{array}$

ここからは

$\begin{array}{lcccr} a_{N_*}+b_{M_*} < α + β + ε^* &&\to&& \exists M a_{N_*}+b_{M} < α + β + ε^* \\ \\ &&\to&& \exists N \,\, \exists M \,\, a_{N}+b_{M} < α + β + ε^* \end{array}$

これが導かれるので

（これも前提より存在が確約されてる）

その結果として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\inf_{n,m}\{ a_n+b_m \} &=& α & + & β \\ \\ &=& \displaystyle\inf_{n}\{ a_n \} & + & \displaystyle\inf_{m}\{ b_m \} \end{array}$

この関係を導くことができます。

（本質的にこれは定数の話と同じ）

定数の極限

これも直感的に明らかですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} c &=& c \end{array}$

念のため定義から確認しておきます。

（未証明の段階では右を $α$ としておく）

定数の極限をとると定数になる証明

これは本当にそのまま

$\begin{array}{rcc} |c-c|<ε && N≤n \\ \\ 0<ε && N≤n \end{array}$

定数 $c$ は $n$ に関係無く $c$ なので

これが成立するのは明らかですから

（ $n,N$ がなんであれ成立する）

$\begin{array}{cccr} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & |a_{n}-α|<ε && \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & |c-c|<ε && ？ \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & 0<ε &&〇 \end{array}$

こうなるのは明らかだと言えます。

（下の論理式の変形で欲しい論理式が導ける）

$n$ に関係の無い一般項

この場合も同様の理屈で

$\begin{array}{cccr} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & |a_k-a_k|<ε \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & 0<ε \end{array}$

$n$ に関係無くこうなるので

そのまま変化せずに出力されます。

（ $a_n$ でも $a_n$ に収束するのは当然）

ルベーグ積分 Lebesgue Integral

「指示関数（定義関数）の積分」と

「単関数近似定理」を根拠とする積分

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \int_{(-\infty,\infty)} 1_{[a,b)}(x) \,dμ(x) &=& μ\Bigl( [a,b) \Bigr) \\ \\ \displaystyle \int_D f \, dμ &=& \displaystyle \sup\left\{ \int_D φ \, dμ \right\} \end{array}$

「単関数積分の上限」として定義されていて

（これをして良い根拠が単関数近似定理）

$\begin{array}{ccc} φ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{ I_k }(x) \end{array}$

その「単関数の積分」は

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} I &=& \displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} I_k \\ \\ \displaystyle \int_{I} φ_n(x) \, dμ(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k μ(I_k) \end{array} \end{array}$

「ルベーグ測度 $μ$ 」によって定義されています。

（ルベーグ測度については本題から逸れるので省略）

ルベーグ積分の線型性

この性質についても

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int f &=& \displaystyle \int f^+ - \int f^- && ？ \\ \\ \displaystyle\int f &=& \displaystyle \int \Bigl( f^+ + (-1)f^- \Bigr) && 〇 \end{array}$

「一般の可測関数」を考えたい時など

（ $f^+$ は正の部分 $f^-$ は負の部分で両方とも正）

$\begin{array}{ccc} f(αx+βy) &=& αf(x) + βf(y) \\ \\ \displaystyle \int αf+βg &=& \displaystyle α\int f + β\int g \\ \\ \displaystyle \int f^+ +(-1)f^- &=& \displaystyle \int f^+ + (-1)\int f^- \end{array}$

「ルベーグ積分」を考える上でほぼ必須なため

ここできちんと示しておきます。

（見やすさのために略記）

ルベーグ積分の斉次性

「上限」を定義とする「可測関数」

$\begin{array}{ccc} f(x) &=& \displaystyle \sup \left\{\sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) \right\} \end{array}$

これを直接触る前に

$\begin{array}{rcr} φ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) \\ \\ αφ_n(x) &=& \displaystyle α\sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) \end{array}$

まずはその基礎になる

「非負単関数の積分」について見てみます。

やることはそのまま

$\begin{array}{ccc} \displaystyle α\sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} αc_k 1_{D_k} (x) \end{array}$

「総和の斉次性」さえ理解していれば

「単関数のルベーグ積分」が「斉次性」を持つ

（正の単関数としたいので $0\leqα$ とする）

$\begin{array}{lclcl} \displaystyle \int αφ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (α c_k) μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} α c_k μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle α\sum_{k=1}^{n} c_k μ(D_k) &=& \displaystyle α\int φ_n(x) \end{array}$

この事実については

リーマン積分と同様の手順で確認することができます。

（有限総和の斉次性については明らかなので省略）

非負可測関数の場合

「非負可測関数」の定義は

$\begin{array}{rcr} f(x) &=& \displaystyle \sup \left\{\sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) \right\} \\ \\ αf(x) &=& \displaystyle α \sup\left\{\sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) \right\} \end{array}$

「非負単関数」により

このように定められていて

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int αf(x) &=& \displaystyle α \sup\left\{\sum_{k=1}^{n} c_k μ(D_k) \right\} &&？ \\ \\ \displaystyle α\int f(x) &=& \displaystyle α \sup\left\{\sum_{k=1}^{n} c_k μ(D_k) \right\} &&〇 \end{array}$

その積分の定義はこのようになっています。

（ここでも $0\leqα$ の場合に限るとします）

ということは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle α \sup\left\{\sum_{k=1}^{n} c_k μ(D_k) \right\} &=& \displaystyle \sup\left\{ \sum_{k=1}^{n} αc_k μ(D_k) \right\} \end{array}$

これは「上限」の定義に依存する話ですから

$\begin{array}{lcl} \displaystyle α \sup\left\{ c_n \right\} &=& \displaystyle \sup\left\{α c_n \right\} \end{array}$

根本的には

この等式の成立によってこれは証明されます。

（ $α$ が正であるため上限の性質より明らか）

一般の可測関数の場合

これは示された ↑ の事実を使うと

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int f &=& \displaystyle \int f^+ - \int f^- \end{array}$

「可測関数の積分」の定義より

$0\leqα$ の場合については

$\begin{array}{lcl} \displaystyle α\int f &=& \displaystyle α \left(\int f^+ - \int f^- \right) \\ \\ &=& \displaystyle α\int f^+ - α\int f^- \\ \\ &=& \displaystyle \int αf^+ - \int αf^- &=& \displaystyle \int αf \end{array}$

すぐに問題無く成立すると分かります。

（この場合は非負可測関数の話になる）

問題となるのは $α<0$ のパターンで

$\begin{array}{rcrcr} f &=& f^+ & - & f^- \\ \\ αf &=& αf^+ & - & αf^- \\ \\ αf &=& -(-αf^+) & - & (- (-αf^-)) \\ \\ αf&=& -(-αf^+) & + & (-αf^-) \end{array}$

これを示すには

「正の部分」「負の部分」の逆転を考えて

（負の関数だと現状ではルベーグ積分できない）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int αf &=& \displaystyle\int (-αf^-) - \int (-αf^+) \\ \\ &=& \displaystyle\int (-α)f^- - \int (-α)f^+ \\ \\ &=& \displaystyle (-α) \int f^- - (-α)\int f^+ \\ \\ &=& \displaystyle -α \int f^- + α\int f^+ \\ \\ &=&\displaystyle α \left( \int f^+ - \int f^- \right) &=& \displaystyle α \int f \end{array}$

なんとか「非負可測関数」の話にすり替える

という手順が必要になります。

ルベーグ積分の加法性

これも ↑ と同様の流れで証明できます。

$\begin{array}{lcl} φ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k 1_{D_k} (x) \\ \\ ψ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_k 1_{D_k} (x) \end{array}$

基本は常に「非負の単関数」です。

証明で使うのは

$\begin{array}{ccccl} i≠j⇒D_i ∩ D_j=∅ && \to && \displaystyle D=\bigcup_{k=1}^{n}D_k \\ \\ i≠j⇒D_i ∩ D_j=∅ && ← && \displaystyle D=\bigsqcup_{k=1}^{n}D_k \end{array}$

共通の積分範囲 $D$ と共通の分割 $D_k$

（これで一般性が保証される理由については後述）

ここから

$\begin{array}{ccc} φ_n+ψ_n \\ \\ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k 1_{D_k} (x) + \sum_{k=1}^{n} b_k 1_{D_k} (x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k) 1_{D_k} (x) \end{array}$

「単関数の和」の形と

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D φ_n + \int_D ψ_n &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k μ(D_k) + \sum_{k=1}^{n} b_k μ(D_k) \end{array}$

「非負単関数の積分」の定義により

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k μ(D_k) + \sum_{k=1}^{n} b_k μ(D_k) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k μ(D_k) + b_k μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle \int_D \left( \sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k) 1_{D_k} (x) \right) \end{array}$

これはこのような流れで証明できます。

（ほぼ全ての非負単関数で成立詳細は後回し）

非負可測関数では

これについては

「単関数近似定理」を意識する必要があって

$\begin{array}{ccccc} 0 &≤& φ_n & ≤ & f \\ \\ 0 &≤& ψ_n & ≤ & g \end{array}$

まずこの関係から

$\begin{array}{lcl} φ_n + ψ_n &≤& f+g \end{array}$

この当然の結果を得る必要があります。

（非負可測関数を直接触るのは基本避ける）

これが分かっていれば

「非負単関数」の時に得られた結果から

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int f+g &=& \displaystyle \sup \left\{ \int φ_n+ψ_n \right\} \end{array}$

「非負単関数の積分」の加法性と

「上限」の性質を認めるなら

（非負単関数なので加法性が使える）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sup \left\{ \int φ_n+ψ_n \right\} &=& \displaystyle \sup \left\{ \int φ_n + \int ψ_n \right\} \\ \\ &=& \displaystyle \sup \left\{ \int φ_n \right\} + \sup \left\{ \int ψ_n \right\} \end{array}$

こうなると言えるので

後は

$\begin{array}{ccl} \displaystyle \int f &=& \displaystyle \sup \left\{ \int φ_n \right\} \\ \\ \displaystyle \int g &=& \displaystyle \sup \left\{ \int ψ_n \right\} \end{array}$

「非負可測関数の積分」の定義を考えれば

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int (f+g) &=& \displaystyle \sup \left\{ \int φ_n+ψ_n \right\} \\ \\ &=& \displaystyle \sup \left\{ \int φ_n \right\} + \sup \left\{ \int ψ_n \right\} &=& \displaystyle \int f + \int g \end{array}$

欲しい結論に辿り着くことができます。

一般の可測関数の場合

これについては

↑ からすぐに導かれそうですが

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int f &=& \displaystyle \int f^+ - \int f^- \\ \\ \displaystyle\int g &=& \displaystyle \int g^+ - \int g^- \end{array}$

↓ のゴールを目指す上で必要な部分が

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int f+g &=& \displaystyle \int (f + g)^+ - \int (f + g)^- \end{array}$

「非負可測関数の積分」の定義と

「非負可測関数の加法性」だけでは

$\begin{array}{lcl} (f + g)^+ &=& f^+ + g^+ && △ \\ \\ (f + g)^- &=& f^- + g^- && △ \end{array}$

どうも上手く説明できません。

（正と負の足し算がどちらになるか不明）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int f + \int g &=& \displaystyle \int f^+ - \int f^- + \int g^+ - \int g^- \\ \\ &=& \displaystyle \int f^+ + \int g^+ - \left( \int f^- + \int g^- \right) \\ \\ &=& \displaystyle \int f^+ + g^+ - \int f^- + g^- \\ \\ &=& \displaystyle \int (f+ g)^+ - \int (f + g)^- &&？ \end{array}$

ただ足し算をして式変形するだけでは不十分です。

欲しい結果から

これを示すためには

ゴールから逆算する必要があります。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int f+g &=& \displaystyle \int f + \int g \\ \\ \displaystyle \int (f + g)^+ - \int (f + g)^- &=& \displaystyle \left( \int f^+ - \int f^- \right) + \left( \int g^+ - \int g^- \right) \end{array}$

この結果を僅かな事実から目指していくとなると

ちょっと難しい気もしますが

使える事実は限られているので

$\begin{array}{lcl} f+g &=& (f+g)^+ - (f+g)^- \\ \\ f+g &=& ( f^+ - f^- ) + ( g^+ - g^- ) \end{array}$

証明は意外と一本道になります。

というのも

$\begin{array}{ccc} (f+g)^+ - (f+g)^- &=& ( f^+ - f^- ) + ( g^+ - g^- ) \end{array}$

↑ から得られる結果はこれだけ

（ここくらいしかスタート地点が無い）

$\begin{array}{lcl} (f+g)^+ - (f+g)^- &=& ( f^+ - f^- ) + ( g^+ - g^- ) \\ \\ (f+g)^+ + f^- + g^- &=& f^+ + g^+ + (f+g)^- \end{array}$

使える事実も「非負可測関数」の結果だけなので

（とりあえず両辺を非負にするしかない）

この結果から

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int (f+g)^+ + f^- + g^- &=& \displaystyle \int f^+ + g^+ + (f+g)^- \\ \\ \displaystyle \int (f+g)^+ + \int f^- + \int g^- &=& \displaystyle \int f^+ + \int g^+ + \int (f+g)^- \end{array}$

「非負可測関数」の「積分」と「加法性」より

（使える操作がこれくらいしかない）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int (f+g)^+ + \int f^- + \int g^- &=& \displaystyle \int f^+ + \int g^+ + \int (f+g)^- \\ \\ \displaystyle \int (f+g)^+ - \int (f+g)^- &=& \displaystyle \int f^+ +\int g^+ -\int f^- - \int g^- \\ \\ \displaystyle \int (f+g)^+ - \int (f+g)^-&=& \displaystyle \int f^+ -\int f^-+ \int g^+ - \int g^- \end{array}$

後はゴールに寄せて並び替えていくと

（ここまで来るとやれることがこれしかない）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int (f + g)^+ - \int (f + g)^- &=& \displaystyle \left( \int f^+ - \int f^- \right) + \left( \int g^+ - \int g^- \right) \\ \\ \displaystyle \int f+g &=& \displaystyle \int f + \int g \end{array}$

結果、自然とこの結論に行き着きます。

大小関係の保存

この記事の主題である

「優収束定理」の根幹を成す

$\begin{array}{rcr} a_n &≤& b_n \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &≤& \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n \end{array}$

この関係について

ここできちんと解説しておきます。

（これにより等号の片側を保証できる）

前提は ↓

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& α \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n &=& β \end{array}$

「発散する」場合は大小関係が明らかなので

ここでは「極限値は存在する」ことにしておきます。

（振動パターンもここでは考えないものとします）

数列の大小 ⇒ 極限値の大小

この話自体は単純なんですが

$\begin{array}{lcl} a_n≤b_n &&\to&& 0≤b_n-a_n \end{array}$

ここからの式変形が少しだけ複雑です。

こんな形で

$\begin{array}{lcl} β-α &=& (β-b_n+b_n)-(α-a_n+a_n) \\ \\ &=& (β-b_n)-(α-a_n)+(b_n-a_n) \end{array}$

「極限値」と「数列」の関連を得て

$\begin{array}{lcccl} -ε_α &<& a_n-α &<& ε_α \\ \\ -ε_β &<& b_n-β &<& ε_β \end{array}$

「極限」の定義を確認しながら

（全ての $n\geqN$ で ↑ が成立する）

$\begin{array}{lcr} β-α &≥& (β-b_n)-(α-a_n) +0 \\ \\ β-α &>& -ε_β - ε_α \end{array}$

前提を使って不等式を構成し

（ $N=\max(N_α,N_β)$ として $n$ はそれ以上）

$\begin{array}{rcl} -ε_β - ε_α &<& 0 \\ \\ -ε_β - ε_α &<& β-α \end{array}$

そこから ↑ の結論を得るんですが

一連の流れの変数の扱いが複雑で

見た目以上に難解になっています。

ちなみに

↑ の事実から

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& β-α \end{array}$

$β-α$ が $0$ 以上であれば ↑ が成立するため

その結果としてこの結論を得ています。

（ $α,β$ は $n$ に依存しない）

極限値の大小 ⇒ 数列の大小

これの複雑さについては

$\begin{array}{ccc} \displaystyle α ≤ β &&\to&& a_n≤b_n \end{array}$

逆側について考えてみると実感しやすいです。

（これは極限が定義されていない状態になる）

分かりやすい話

$\begin{array}{lcl} a_n = 1 && α=1 \\ \\ \displaystyle b_n = \frac{1000}{n} && β=0 \end{array}$

例えばこのような反例があることから

「全ての $n$ で」成立しない

（ $a_n\leqb_n$ はある $N$ 以上でしか成立しない）

これはこの時点で明らかなんですが

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{lcl} β-α &=& (β-b_n)-(α-a_n)+(b_n-a_n) \end{array} \end{array}$

この関係式と ↓ を見ると

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& β-α \end{array}$

一見、成立しているように見えてしまいます。

（この関係式だけじゃ問題点が見当たらない）

問題点と論理式

結論から行くと

$\begin{array}{lcl} a_n = 1 && α=1 \\ \\ \displaystyle b_n = \frac{1000}{n} && β=0 \end{array}$

↑ のような反例があるのに

関係式的には成立してるように見える

この問題は

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& α \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n &=& β \end{array}$

これが定義されていないから起こっています。

（極限値の大小は定数の大小でしかない）

具体的には

$\begin{array}{lllr} \forall ε_a & \exists N_a & \forall n≥N_a & |a_n-α|<ε_a \\ \\ \forall ε_b & \exists N_b & \forall n≥N_b & |b_n-β|<ε_b \end{array}$

この $N_a,N_b$ が定まってないんです。

（全ての $n$ だと $ε$ を任意に選んだら矛盾し得る）

というのも

$n$ が $\max\{N_a,N_b\}$ より下の範囲では

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccl} β-α &=& (β-b_n)-(α-a_n)+(b_n-a_n) \\ \\ 0 &≤& (β-b_n)+(a_n-α)+(b_n-a_n) \end{array} \end{array}$

この関係式から結論を得る過程で

$\begin{array}{lcl} |a_n-α|&<&ε_a \\ \\ |b_n-β|&<&ε_b \end{array}$

$ε$ を使うことができません。

（小さい方を選ぶと片方で $ε$ が使えない）

となると

$\begin{array}{ccc} -ε_β - ε_α &<& b_n-a_n \end{array}$

この成立を

「全ての $n$ で」保証することができないため

$\begin{array}{ccc} \displaystyle α ≤ β &&\to&& a_n≤b_n \end{array}$

結果

これは必ずしも成立するとは言えない、となります。

（ $\max\{N_a,N_b\}$ より下で不成立になり得る）

十分大きな

これを双方で成立させたい場合の表現として

「十分に大きな $n$ 」というものがあって

$\begin{array}{lcl} \displaystyle | a_{10^8} - α | < 10^{-8} \\ \\ \displaystyle | b_{10^8} - β | < 10^{-8} \end{array}$

この表現を用いる場合に限れば

$\begin{array}{rcr} a_n &≤& b_n \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &≤& \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n \end{array}$

「大小関係保存」は双方向で成立すると言えます。

（小さい $n$ で成立しないかもという可能性を排除）

ただ注意点として

これは『 $ε,N$ を定めて計算した後に分かる』ものなので

$\begin{array}{ccc} N_* &\to& ε && × \end{array}$

「最初に」は具体的な大きさを求められません。

（つまり十分大きな $n$ とは都合の良い $n$ のこと）

$\begin{array}{ccc} n≥N & | a_{n} - α | < ε \end{array}$

まず精度 $ε$ を定めるのが先で

$N$ は「後で」定められることになります。

（つまり $N$ の導出手順は変わらない）

積分の単調性

↓ は見た目から直感的に明らかですが

$\begin{array}{ccc} f(x) &≤& g(x) \\ \\ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,dx &≤& \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \,dx \end{array}$

念のため誤魔化さず証明しておきます。

注意点として

「関数の大小関係」を前提とした時

「積分値が発散する」パターンでは

$\begin{array}{ccc} f(x) &≤& g(x) \\ \\ \displaystyle \int f(x) \,dx &≤& \infty \end{array}$

こうなるので

これは考えるまでもなく明らかとします。

（つまり基本的に積分値が有限のパターンを考える）

リーマン積分の単調性

というわけで早速

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} f(x_n) \left( \frac{b-a}{N} \right) \end{array}$

「リーマン積分」の単調性を示すために

$\begin{array}{lcl} f(x) &≤& g(x) \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \displaystyle f(x_1) +f(x_2)&≤& \displaystyle g(x_1)+g(x_2) \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{N} f(x_n) \left( \frac{b-a}{N} \right) &≤& \displaystyle\sum_{n=1}^{N} g(x_n) \left( \frac{b-a}{N} \right) \end{array}$

「リーマン和」による定義と

$\begin{array}{rcccc} -ε &<&a_n-α&<&ε \\ \\ -ε &<&b_n-β&<&ε \end{array}$

極限の定義から導かれる

$\begin{array}{rcr} a_n &≤& b_n \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &≤& \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n \end{array}$

「極限」の「大小関係保存」について確認してみます。

（以上がこの話の前提になる）

すると

以上の前提に納得できれば

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \sum_{n=1}^{N} f(x_n) \left( \frac{b-a}{N} \right) &≤& \displaystyle\sum_{n=1}^{N} g(x_n) \left( \frac{b-a}{N} \right) \\ \\ \displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} f(x_n) \left( \frac{b-a}{N} \right) &≤& \displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} g(x_n) \left( \frac{b-a}{N} \right) \end{array}$

これはそのまま

このような形で示すことができます。

（ほぼ極限の大小関係保存の話）

ルベーグ積分の単調性

「リーマン積分」はほぼ定義だけで示せますが

「ルベーグ積分」の場合はちょっと面倒です。

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f dμ &=& \displaystyle \sup \left\{ \sum_{n=1}^{N} c_n μ(D_n) \right\} \end{array}$

これは根本的には「単関数」の話なので

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{N} a_n 1_{A_n}(x) \\ \\ g(x)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{M} b_n 1_{B_n}(x) \end{array}$

まず「可測関数 $f$ 」の中身が

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_{[a,b]}\sum_{n=1}^{N} a_n 1_{A_n}(x) \,dμ &=& \displaystyle \int_{[a,b]}\sum_{n=1}^{M} b_n 1_{B_n}(x) \,dμ \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{N} a_n μ(A_n) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{M} b_n μ(B_n) \end{array}$

「単関数」である場合を考えてみれば良さそうですが

「単関数の中身」である

「定義関数」の形では大小比較ができても

$\begin{array}{lcl} a_n 1_{A_n}(x) &≤& b_n 1_{B_n}(x) &&〇 \\ \\ a_n μ(A_n) &≤& b_n μ(B_n) && ？ \end{array}$

「積分」の形ではちょっとよく分からないので

思ったより簡単には証明することができません。

（図形の見た目で直感的には分かる）

積分範囲の分割

とまあそんな感じなので

とりあえず ↓ について考えたいわけですが

$\begin{array}{lcl} a_n μ(A_n) &≤& b_n μ(B_n) \end{array}$

これはこのままでは比較が難しいです。

（ $A_n$ と $B_n$ の関係が不明）

というのも

$\begin{array}{lcl} D &=& \displaystyle\bigsqcup_{n=1}^{N} A_n \\ \\ D&=&\displaystyle\bigsqcup_{n=1}^{M} B_n \end{array}$

これらは「共通する図形 $D$ の分割」ですが

$\begin{array}{ccc} A_1 &=& [0,3) \\ \\ B_1&=&[0,1) \end{array}$

「分割の方法」に特に指定が無いため

$\begin{array}{ccc} a_1 μ(A_1) &=& 1\cdot μ(A_1) \\ \\ b_1 μ(B_1) &=& 2\cdot μ(B_1) \end{array}$

局所的な大小は逆転し得る状態にあります。

（一般的に考えるならこうなる）

「共通の $x$ 」について考えてはいるので

$\begin{array}{lcl} x &\in& A_n &\subset & D \\ \\ x &\in& B_n &\subset & D \end{array}$

各点での比較を行えば

$\begin{array}{ccc} f(x)&≤&g(x) \end{array}$

前提より

$\begin{array}{ccc} a_n 1_{A_n}(x) &≤& b_n 1_{B_n}(x) \end{array}$

確実に大小関係を求めることはできますが

$\begin{array}{ccc} a_n μ(A_n) &≤& b_n μ(B_n) &&？ \end{array}$

少なくとも現状だと

そう簡単には比較することができません。

（どうにか比較できる形にする必要がある）

細かく分割してみる

ここで必要になるのが

「細分割」という概念で

$\begin{array}{lcl} C_i &⊂& A \\ \\ C_i &⊂& B \end{array}$

例えばそれぞれ3つの区間に分割した時

$\begin{array}{lcl} A_n &\to& C_i \\ \\ B_n &\to& C_i \end{array}$

このような「より細かい分割」があれば

「同一の区間で表現できる」ようになりますよね。

まあ要はそういう話で

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{N} a_n 1_{A_n}(x) &=& \displaystyle\sum_{n=1}^{N_{*} } a^{\prime}_n 1_{C_n}(x) \\ \\ g(x)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{M} b_n 1_{B_n}(x) &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N_{*}} b^{\prime}_n 1_{C_n}(x) \end{array}$

これを認めると

２つの単関数はとても比較しやすい形になってくれます。

（常に $a^{\prime}_n≤b^{\prime}_n$ になるので比較が楽）

細分割の存在

これは画像を見て分かる通り

$\begin{array}{ccc} A_1∩B_1 & ∅ & ∅ \\ \\ A_2∩B_1 & A_2∩B_2 & ∅ \\ \\ ∅ & A_3∩B_2 &A_3∩B_3 \end{array}$

「 $A_i$ と $B_j$ の共通部分の存在」から

（上を $A_i$ 下を $B_j$ とします）

$\begin{array}{lcl} C_{ij}&=&A_i∩B_j \end{array}$

「共通部分の全て（空集合含め）」という形で

その存在が保証されます。

そして「共通部分」である以上

$\begin{array}{ccc} A_1∩B_1 (a_1,b_1) & ∅ & ∅ \\ \\ A_2∩B_1(a_2,b_1) & A_2∩B_2(a_2,b_2) & ∅ \\ \\ ∅ & A_3∩B_2(a_3,b_2) &A_3∩B_3(a_3,b_3) \end{array}$

これには必ず

添え字が同じになる $a_n,b_n$ の値が対応するので

$\begin{array}{lcl} C_n = A_i∩B_j && \to & & \begin{array}{lcl} a^{\prime}_n & = & a_i \\ \\ b^{\prime}_n &=& b_j \end{array} \end{array}$

再定義された単関数の $a^{\prime}_n,b^{\prime}_n$ の中身は

添え字によって明確に定義されます。

（空集合の時も定義できる）

単関数積分の単調性

↑ で語った通り

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{N} a_n 1_{A_n}(x) \\ \\ g(x)&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{M} b_n 1_{B_n}(x) \end{array}$

この２つの「単関数」は

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_{D}\sum_{n=1}^{N} a_n 1_{A_n}(x) \,dμ &=& \displaystyle \int_{D}\sum_{n=1}^{M} b_n 1_{B_n}(x) \,dμ \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{N} a_n μ(A_n) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{M} b_n μ(B_n) \end{array}$

同じ積分範囲 $D$ の $x$ を扱っています。

また「 $μ$ は同一の測度」であり

$\begin{array}{lcl} f(x) &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{N_*} a^{\prime}_n μ(\textcolor{pink}{C_n}) \\ \\ g(x) &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N_*} b^{\prime}_n μ(\textcolor{pink}{C_n}) \end{array}$

「同一の可測集合を扱う」ため

『同一の分割範囲 $C_n$ 』で計算が可能です。

実際に

どのような形で $A_n$ と $B_n$ が関わっているか

$\begin{array}{lcl} {} A_n∩B_n = ∅ &\to& \begin{array}{l} {} μ(A_n)？μ(B_n) {} \end{array} \\ \\ \\ {} A_n∩B_n ≠ ∅ &\to& \begin{array}{lcl} A_n ⊂B_n \\ \\ A_n⊃B_n \\ \\ ￢(A_n ⊂B_n) ∧ ￢(A_n⊃B_n) \end{array} \end{array}$

これはなにも定まってないなら分かりませんが

「単関数の大小関係」を定めた上で

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\sum_{n=1}^{N} a_n 1_{A_n}(x) &≤& \displaystyle\sum_{n=1}^{M} b_n 1_{B_n}(x) \end{array}$

「細分割の存在」を認めるなら

$\begin{array}{lcl} {} \displaystyle\sum_{n=1}^{N_*} a^{\prime}_n 1_{\textcolor{pink}{C_n}}(x) &≤& \displaystyle\sum_{n=1}^{N_*} b^{\prime}_n 1_{\textcolor{pink}{C_n}}(x) \end{array}$

全ての $x$ でこうなることは確実であり

（定義関数が変わっただけで単関数に変化は無い）

この結果から

$\begin{array}{ccc} {} \displaystyle \sum_{n=1}^{ N_*} a^{ \prime}_n μ(\textcolor{pink}{C_n}) & ≤ & \displaystyle \sum_{n=1}^{N_*} b^{\prime}_n μ( \textcolor{pink}{C_n}) {} \\ \\ \displaystyle \int_D f(x) \,dμ &≤& \displaystyle \int_D g(x) \,dμ \end{array}$

欲しかったこの結論を得ることができます。

（前提の大小関係より $a^{\prime}_n≤b^{\prime}_n$ なので）

非負可測関数での単調性

↑ が解決した時点で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int_{D} φ_N(x) \,dx & = & \displaystyle \int_{D} \lim_{N\to\infty} φ_N(x) \,dx\end{array}$

いろんな説明で使えるこの関係は示せるんですが

（ここまでの関係でだいたいカバーできる）

せっかくなので

ここまでの事実から

$\begin{array}{lcl} f(x) &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{n=1}^{N}a_n 1_{A_n}(x) \right\} \\ \\ g(x) &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{n=1}^{M}b_n 1_{B_n}(x) \right\} \end{array}$

「非負可測関数」の場合も確かめておきます。

大小関係と上限の定義

やることは少し複雑です。

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{n=1}^{N}a_n 1_{A_n}(x) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{M} b_n 1_{B_n}(x) \\ \\ \displaystyle\sum_{n=1}^{N}a_n μ(A_n) &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{M} b_n μ(B_n) \end{array}\end{array}$

↑ が分かっているので

なんとなくすぐ分かりそうなものですが

$\begin{array}{ccc} φ_N&≤&φ_{N+1}&≤& \cdots &≤& f \\ \\ ψ_M&≤&ψ_{M+1}&≤& \cdots &≤& g \end{array}$

「単関数近似定理」に基づく

$\begin{array}{ccc} f(x)&≤&g(x) \\ \\ \displaystyle\sup \left\{ \sum_{n=1}^{N}a_n 1_{A_n}(x) \right\} &≤& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{n=1}^{M}b_n 1_{B_n}(x) \right\} \end{array}$

この前提だけでは

（任意の非負可測関数は単関数で近似できる）

欲しい結論である ↓ について

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int φ_N &≤& \displaystyle\int ψ_M & & ？ \end{array}$

直接的に示すことができません。

（ルベーグ積分は単関数積分値の上限をとる）

ルベーグ積分の定義と上限

これを示すには

「 $f,g$ に収束する非負単関数」の

$\begin{array}{lclcl} && f &≤& g \\ \\ φ_N &≤& f &≤& g \\ \\ φ_N &≤& & {} & g \end{array}$

この事実だけに留まらず

（前提より $φ_N$ は $g$ に近似する候補の１つでもある）

$\begin{array}{ccc} \int f&=& \displaystyle\sup\left\{ \int φ \right\} \end{array}$

「ルベーグ積分」の定義に加えて

「上限」の定義も使う必要があります。

上限の大小関係とルベーグ積分の定義

「非負可測関数」の「単調性」を示す

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int f &≤& \displaystyle \int g \end{array}$

この話において厄介なのは

$\begin{array}{l} \displaystyle\sup \left\{ \sum_{n=1}^{N}a_n 1_{A_n}(x) \right\} \\ \\ \displaystyle\sup \left\{ \sum_{n=1}^{M}b_n 1_{B_n}(x) \right\} \end{array}$

これらの「見分けが難しい」点です。

「単関数近似定理」より

$\begin{array}{ccc} φ_N &≤& f &≤& g \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{N}a_n 1_{A_n}(x) & ≤ & \displaystyle\sup \left\{ \sum_{n=1}^{N}a_n 1_{A_n}(x) \right\} \end{array}$

「非負単関数 $φ_N$ 」が

「 $f$ に近似できる」のと同様に

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D φ_N &\in& \displaystyle\left\{ \int_D ψ_M \right\} \end{array}$

$φ_N$ は「 $g$ に近似する可能性もある」ので

（ $f$ と $g$ が一致する場合など）

↓ を明確に区別するというのは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\left\{ \int_D φ_N \right\} &？& \displaystyle\left\{ \int_D ψ_M \right\} \end{array}$

思っている以上に難しかったりします。

（この辺りの定義を理解していない場合）

ルベーグ積分の正確な定義と集合の違い

自明のこととして流してきましたが

$\begin{array}{ccc} \sup & \{ ？ \} \end{array}$

「上限をとる対象（上限の右のやつ）」について

この辺りで明確にしておきます。

結論から行くと

「上限」の横に書かれているものは「集合」です。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D f &=& \displaystyle \sup \left\{ \int_D φ \right\} \end{array}$

例えば「ルベーグ積分」の定義の場合

$\begin{array}{ccc} φ & \mathrm{is} & \mathrm{Simple \,\, Function} \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left\{ \int_D φ \right\} &←& \displaystyle \left\{ \int_D φ \,\, \middle| \,\, 0≤φ≤f \right\} \end{array}$

正確にはこのようになっていて

$\begin{array}{lclcl} && f &≤& g \\ \\ φ &≤& f &≤& g \\ \\ φ &≤& & {} & g \end{array}$

この集合には

「条件を満たす単関数積分の全て」が含まれています。

（より正確には積分値である定数が含まれている）

上限をとる集合と大小関係

以上のことを念頭に

↓ の大小関係が成立するという前提を考えると

$\begin{array}{lclcl} && f &≤& g \\ \\ φ &≤& f &≤& g \\ \\ φ &≤& & {} & g \end{array}$

$g$ のルベーグ積分の右辺にある集合は

$\begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ≤g \right\} \\ \\ \displaystyle \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ ≤f ≤g \right\} ∪ \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, f< ψ ≤g \right\} \end{array}$

こうですから

$\begin{array}{ccl} [0,1) &=& \{ x \in R \mid 0≤x<1 \} \\ \\ [0,1) &=& \{ y \in R \mid 0≤y<1 \} \end{array}$

$f$ 以下の範囲にある $ψ$ は

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left\{ \int_D φ \,\, \middle| \,\, 0≤ φ ≤f \right\} &=& \displaystyle \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ ≤f ≤g \right\} \end{array}$

$φ$ と同じく「 $f$ 以下の単関数」なので

（ $φ$ と $ψ$ の定義は両方とも $f$ 以下の単関数）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ≤g \right\} \end{array}$

この集合の中に

$φ$ の積分は全て含まれていると言えます。

（これは前提にある大小関係から分かる結果）

まとめると

$\begin{array}{ccc} f &≤& g \\ \\ \displaystyle \left\{ \int_D φ \,\, \middle| \,\, 0≤φ≤f \right\} &⊂& \displaystyle \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ≤g \right\} \end{array}$

つまり２つの集合の関係はこうです。

（ $φ$ と $ψ$ には条件以外の縛りが無い）

上限下限と包含関係

ここまで分かれば

「包含関係」と「上限下限」の

$\begin{array}{lcl} A⊂B &\to& \left\{ \begin{array}{lcl} \sup A & \textcolor{pink}{≤} & \sup B \\ \\ \inf A & \textcolor{skyblue}{≥} & \inf B \end{array} \right. \end{array}$

この関係が分かっていれば

$\begin{array}{ccc} \displaystyle int f &≤& \displaystyle \int g \end{array}$

この結論はすぐに得ることができます。

（広い方がより大きく小さくとれる感じ）

念のため確認しておくと

これについては

$\begin{array}{lcl} A &=& \{ x \mid 0≤x≤1 \} \\ \\ B &=& \{ x \mid -1≤x≤2 \} \\ \\ &=& \{ x \mid -1≤x<0 \}∪\{ x \mid 0≤x≤1 \}∪\{ x \mid 1<x≤2 \} \end{array}$

これで納得できると思います。

（値を文字に置き換えれば一般性が証明できる）

ルベーグ積分の定義と上限の関係

以上

内容をまとめると

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_D f &=& \displaystyle\sup \left\{ \int_D φ \,\, \middle| \,\, 0≤φ≤f \right\} \\ \\ \displaystyle\int_D g &=& \displaystyle\sup \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ≤g \right\} \end{array}$

$f,g$ のルベーグ積分の定義はこうで

（単関数積分の基礎になる測度に基づく定義）

$\begin{array}{lcl} \begin{array}{ccc} f &≤& g \\ \\ \displaystyle \left\{ \int_D φ\,\, \middle| \,\, 0≤φ≤f \right\} &⊂& \displaystyle \left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ≤g \right\} \end{array} \end{array}$

前提である大小関係 $f\leqg$ より

「単関数の積分を集めた集合」はこうなることから

その上限をとれば

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup\left\{ \int_D φ \,\, \middle| \,\, 0≤φ≤f \right\} &≤& \displaystyle \sup\left\{ \int_D ψ \,\, \middle| \,\, 0≤ψ≤g \right\} \\ \\ \displaystyle \int_D f &≤& \displaystyle\int_D g \end{array}$

これがそのまま「ルベーグ積分」の定義になるので

これにより、欲しかった関係は示されたと言えます。

一般の可測関数の場合

以上のことが分かると

$\begin{array}{ccc} f &≤& g \\ \\ 0 &≤& g-f \end{array}$

前提から明らかなこの結果と

$\begin{array}{rcr} 0 &≤& g-f \\ \\ \displaystyle \int 0 &≤& \displaystyle \int g-f \end{array}$

「非負可測関数の単調性」

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int (g-f) &=& \displaystyle \int g - \int f \end{array}$

そして「ルベーグ積分の線型性」から

「一般の可測関数の単調性」については

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int 0 &≤& \displaystyle \int g - \int f \\ \\ \displaystyle \int f & ≤ & \displaystyle \int g \end{array}$

すぐに求めることができます。

ルベーグ積分とゼロ関数

直感的には明らかですが

念のため補足しておくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int 0 &=& 0 \end{array}$

$f=0$ の時の非負単関数については

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& φ &≤& f \\ \\ 0 &≤& φ &≤& 0 \end{array}$

ルベーグ積分の定義より

常に $0$ を返す単関数になると言えるので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D φ_N &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} c_n μ(D) \\ \\ \displaystyle\int_D \sum_{n=1}^{N}0*1_{D_n} &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} 0* μ(D) &=& 0 \end{array}$

「非負単関数の積分」の定義より

$\begin{array}{ccl} \displaystyle \int 0 &=& \displaystyle \sup\left\{ \int φ_N \,\, \middle| \,\, 0≤φ_N≤0 \right\} \\ \\ &=& \displaystyle \sup\{ 0 \} \end{array}$

上限は必ず $0$ になりますから

ゼロ関数の積分値は $0$ になります。

極限と積分

直感的には常に成立しそうですが

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D \left( \lim_{n\to\infty} f_n \right) \, dμ &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_D f_n \, dμ \\ \\ \displaystyle \int_D \left( \lim_{n\to\infty} φ_n \right) \, dμ &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_D φ_n \, dμ \end{array}$

実はこの操作は保証されていません。

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D \left( \lim_{n\to\infty} f_n \right) \, dμ &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_D f_n \, dμ \end{array}$

現時点では

これは事実ではなく推定になります。

（これが成立する最も広い条件を提示するのが優収束定理）

連続関数の積分と極限

最も単純なパターンである

「連続関数 $f_n$ 」が「連続関数 $f$ 」に収束する

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup |f_n(x)-f(x)| &=& 0 \\ \\ \sup |f_n(x)-f(x)| &<& ε \end{array}$

つまり「一様収束する」パターンでは

（一様収束については長くなるので別記事で）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D \left( \lim_{n\to\infty} f_n \right) \, dμ &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_D f_n \, dμ \end{array}$

これは問題無く成立します。

連続関数のパターンでは

証明は少し大変です。

$\begin{array}{lcl} | f(x) - α| &<&ε \end{array}$

「収束」を考える過程で

$\begin{array}{ccc} f(x) &≤& g(x) \\ \\ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,dx &≤& \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \,dx \end{array}$

「積分の単調性」より

（ここではリーマンでもルベーグでも良い）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \left| \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx - \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right| \\ \\ \displaystyle \left| \int_{a}^{b} \Big( f_n(x) - f(x) \Bigr) \,dx \right| \end{array}$

目標となる関係から導かれる

$\begin{array}{ccc} -|f(x)| &≤& f(x) &≤& |f(x)| \\ \\ \displaystyle\int_{a}^{b} -|f(x)| \,dx &≤& \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx &≤& \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)| \,dx \\ \\ \displaystyle - \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx &≤& \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx &≤& \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)| \,dx \\ \\ -α &≤& \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx &≤& α \end{array}$

この関係を認めるなら

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| &≤& \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(x) \right| \, dx \\ \\ \displaystyle \left| \int_{a}^{b} \Big( f_n(x) - f(x) \Bigr) \,dx \right| &≤& \displaystyle \int_{a}^{b} \Big| f_n(x) - f(x) \Bigr| \,dx \end{array}$

これが成立すると言えるため

（この関係を得るための ↑ ）

後は図形の見た目から

そのまま「底辺×高さ」を考えてみると

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{a}^{b} \Big| f_n(x) - f(x) \Bigr| \,dx &≤& (b-a)\sup |f_n(x)-f(x)| \end{array}$

面積の関係はこのようになると言えることから

（このようにとれば一様収束の前提が使える）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \left| \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx - \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right| &<&(b-a) ε \end{array}$

結果

「収束する」という結論が導かれます。

（有限定数倍の $ε$ も任意の正の実数）

ということは

まとめると

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{a}^{b} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,dx&=& \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx &&前提 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx && 結論 \end{array}$

以上の結果から

この欲しかった結論は示されたと言えます。

（連続関数と一様収束がこれの前提になる）

項別積分の定理

「連続関数」のパターンは示せたので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} φ_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{a}^{b} \lim_{n\to\infty} φ_n(x) \,dx \end{array}$

次は「単関数」に関わる

「項別積分」について解説してみます。

補足しておくと

「項別積分」っていうのは

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{a}^{b} \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \,dx \\ \\ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{a}^{b} \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} f_n(x) \,dx \end{array}$

要は ↑ みたいな感じのやつで

この概念を考えていくと出てくる

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx &？& \displaystyle \int_{a}^{b} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,dx \end{array}$

この操作がどうなるのかという疑問から

（極限と積分が交換可能か問題）

「極限と積分」の「交換」

これが成立する条件を調べる過程で

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{a}^{b} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,dx \end{array}$

「単関数」について

このようになるという結論が導かれます。

（こうなるための条件が整備されていく）

単関数列での項別積分の定理

再度確認しておくと

「極限」と「積分」について

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{a}^{b} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,dx&=& \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx \end{array}$

「連続関数」のパターンは示せました。

しかし

「連続」とは限らない

$\begin{array}{lcl} φ_2(x)&=& c_1 1_{D_1}(x) + c_2 1_{D_2}(x) \end{array}$

「単関数」では

（単関数はだいたい不連続関数）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} φ_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{a}^{b} \lim_{n\to\infty} φ_n(x) \,dx \end{array}$

まだこうなることを示せていません。

まあ直感的には明らかなんですが

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{[a,b]} \lim_{n\to\infty} φ_n(x) \,dx&=& \displaystyle \int_{[a,b]} f(x) \,dx \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{[a,b]} φ_n(x) \,dx &=& \displaystyle \int_{[a,b]} f(x) \,dx \end{array}$

この成立はいろんな話の基礎になるので

ここから話を発展させるために

ここできちんと確かめておきます。

前提の確認と着地

まずこの場合の「単関数」ですが

「単関数近似定理」を使うために

$\begin{array}{ccc} φ_n&≤&φ_{n+1}&≤& \cdots &≤&f \end{array}$

$φ_n$ の関数列は「単調増加」とし

$f$ を「ほとんど全てで有限値となる関数」とします。

（発散する場合は上下関係が明らかなので自明とする）

確認しておくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_{D} \lim_{n\to\infty} φ_n(x) \,dx & = & \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_{D} φ_n(x) \,dx \end{array}$

着地はこうです。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} φ_n &=& f \end{array}$

そして多少きつめではありますが

$\begin{array}{ccc} φ_n&≤&φ_{n+1}&≤& \cdots &≤&f \end{array}$

前提はこうであるとします。

（きついけどこういう単関数の使用頻度が一番高い）

単関数の積分と上限

確認しておくと

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_D φ_N \, dμ &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} a_n μ(D_n) \end{array}$

「単関数の積分」はこうです。

（ルベーグ測度に因む妥当な定義）

そして「単関数の積分の単調性」から

$\begin{array}{ccc} φ_N&≤&φ_{N+1} \\ \\ \displaystyle \int_D φ_{N} \, dμ &≤& \displaystyle \int_D φ_{N+1} \, dμ \end{array}$

「単関数の積分」の数列が

「単調増加列である」ことは明らかですから

「非有界である」場合

$\begin{array}{ccc} φ_N &≤& f \\ \\ \displaystyle \int_D φ_{N} \, dμ &≤& \displaystyle \int_D f \, dμ &=& \infty \end{array}$

上下関係は明らかであるため

この場合は明らかであるとして

「有界である」パターンを考えると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int_D φ_{N} \, dμ \end{array}$

「有界単調数列は収束すること」より

これは「収束する」と言えるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int_{D} φ_N(x) \,dx & = &\displaystyle \sup\left\{ \displaystyle \int_D φ_{N} \, dμ \right\} \end{array}$

極限をとると

これは「上限」に至ります。

（上限の存在公理により保証される）

単関数積分の条件とルベーグ積分の定義

ということは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int_{D} φ_N(x) \,dx & = &\displaystyle \sup\left\{ \displaystyle \int_D φ_{N} \, dμ \right\} \end{array}$

この形が

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f \, dμ &=& \displaystyle \sup\left\{ \displaystyle \int_D φ_{N} \, dμ \right\} \end{array}$

「ルベーグ積分の定義そのもの」であることより

（これを保証するために定義されたとも言える）

結果として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int_{D} φ_N(x) \,dx & = & \displaystyle \int_{D} \lim_{N\to\infty} φ_N(x) \,dx\end{array}$

欲しかったこの関係は示されたと言えます。

（つまり定義によってこの定理は導かれる）

単調収束定理 Monotone Convergence

以上の結果を用いると

$\begin{array}{lclcr} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n && f_n \to f \\ \\ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N} \int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} f_n && \displaystyle \sum_{n=1}^{N} f_n \to f \end{array}$

「非負値可測関数」についても

この操作が可能であることを証明できます。

（この定理についている名前が単調収束定理）

単調収束定理の証明

前提はそのまま

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& f_n &≤& f_{n+1} &≤& \cdots &≤& f \end{array}$

「 $f_n$ が単調増加列である」こと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n &=& f \end{array}$

「上限」がこうなること

それだけで、追加はありません。

（厳密には可測関数周りの定義が必要）

より正確には

「条件を追加せずに示したい」というのが先にあって

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n \end{array}$

その上で同様の結論を得たいというのが

この定理を示す上でのスタートラインになります。

（直感的には同じだけどまだこの時点では仮説）

ただその肝心の証明ですが

「非負可測関数の上限」をとる意味はあまり無いので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f \, dμ &=& \displaystyle \sup\left\{ \displaystyle \int_D φ_N \, dμ \right\} \\ \\ \displaystyle \int_D f \, dμ &？& \displaystyle \sup\left\{ \displaystyle \int_D f_n \, dμ \right\} \end{array}$

前回と同様の流れでは示すことができません。

となると直接的な比較方法は不明なので

「同じであること」を意味する結果として

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int f_n &≤& \displaystyle \int f \\ \\ \displaystyle \int f_n &≥& \displaystyle \int f \end{array}$

「両側の大小比較をとる」など

間接的な方法を採用する必要があります。

分かりやすい大小関係

前提から導かれる

「ルベーグ積分の単調性」より

$\begin{array}{rcr} f_n &≤& f_{n+1} \\ \\ \displaystyle \int f_n &≤& \displaystyle \int f_{n+1} \\ \\ f_n &≤& f \\ \\ \displaystyle \int f_n &≤& \displaystyle \int f \end{array}$

「全ての $n$ で」こうなることから

（この記事ではこれを帰納的定義より明らかとする）

「有界単調数列の収束」を考えると

（有界が前提なら必ず何かしらの値に収束する）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &≤& \displaystyle \int f \end{array}$

こちら側の大小関係はすぐに導くことができます。

（ $f$ の積分は上界ではあるが上限とは限らない）

ややこしい方の大小関係

これが分かった上で「同じである」ことを示す

これにはもう片側の大小関係が必要なんですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int f_n &≥& \displaystyle \int f \end{array}$

結論から行くと

これは「関数の比較」から

$\begin{array}{ccrcc} & & f_n &≤& f \\ \\ φ_N &≤& \displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n &≤& f \end{array}$

「大小関係を誤魔化す」という形で

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{N\to\infty} φ_N &=& f \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n &=& f \end{array}$

けっこう強引に求められます。

（ $f$ から小方向に離して大小を定める辺りが複雑）

ほぼゴール地点からの逆算です。

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int φ_N≤\int f_n & \overset{N,n\to\infty}{\longrightarrow} & \displaystyle \int f≤\int f \end{array}$

感覚的にはこんな感じのことをするわけですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int φ_N&≤& \displaystyle\int f_n && ？ \\ \\ \displaystyle \int φ_N&≤& \displaystyle\int f && 〇 \end{array}$

これを理解するには

「極限と上限」の厳密な理解が必要になります。

（この時点ではどの順番で $N,n$ を動かすか不明）

都合の良い大小関係を構築できるのか

示したい形である ↓ から

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int f_n &≥& \displaystyle \int f \end{array}$

「無限」を取り除いて

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int φ_N &≤& \displaystyle \int f_n \end{array}$

この形を得るには

↓ の形を使う必要があるわけですが

$\begin{array}{ccc} φ_N &≤& f_n \end{array}$

これは前提から導かれるわけではありません。

（都合よくこうならない可能性が普通にある）

実際、どの順番でどのように変数を動かすか

これが定まってない状態だと

$\begin{array}{ccc} φ_N &≤& f_n \end{array}$

好きに $n,N$ を定めることができるため

$\begin{array}{ccc} φ_N &≤& f_n && ？ \\ \\ f &≥& f_n && N\to M \end{array}$

欲しい結果になる有限の $n$ が存在しない

$\begin{array}{ccc} f_n &=& \displaystyle \frac{\lfloor nx \rfloor }{n} \\ \\ φ_2 &=& \displaystyle 0 \cdot 1_{\left[ 0,\frac{1}{2} \right)}(x) + \frac{1}{2}\cdot 1_{\left[ \frac{1}{2},1 \right)}(x) \\ \\ f &=& x \end{array}$

そんな可能性が普通に考えられます。

（ $f$ に収束するスピードが異なる単関数など）

例外と床関数

補足しておくと

$\begin{array}{ccc} \lfloor x \rfloor &\in& 整数 \end{array}$

これは「小数点以下切り捨ての整数値」を取り出す

（この認識は正確には正の範囲に限ります）

$\begin{array}{ccc} \lfloor 1 \rfloor &=& 1 \\ \\ \lfloor 2.9 \rfloor &=& 2 \\ \\ \lfloor π \rfloor &=& 3 \end{array}$

「床関数」と呼ばれるもので

（実数を整数に変換する役割を持つ）

$\begin{array}{ccc} \lfloor x \rfloor &=& \left\{ \begin{array}{ccl} 0 && x\in [0,1) \\ \\ 1 && x\in [1,2) \\ \\ 2 && x\in [2,3) \\ \\ \vdots \\ \\ n && x\in [n,n+1) \\ \\ \vdots \end{array} \right. \end{array}$

厳密にはこのように定義されています。

（つまりこれは拡大実数値単関数）

必ず $f_n$ が大きくなるようにする

↑ の問題を解消したい

$\begin{array}{ccc} f &≥& f_n \end{array}$

そのためには

「こうならない $n$ がある」

という状態を維持する必要があって

そこから

そのための方法の１つとして

（ $f$ より $f_n$ が大きくなる $n$ の存在を保証したい）

$\begin{array}{ccc} 0&<&p&<&1 \end{array}$

「その範囲ならどんな値でも良い」ような

（後で調整のための値 $p$ を動かして $f$ にできる）

$\begin{array}{rcr} pf &≤& f_n \\ \\ \displaystyle \int pf &≤& \displaystyle \int f_n \end{array}$

常にこのようにできる

『調整できる値 $p$ の存在』を考えることができます。

（どの $p$ を選んでも $n$ が存在する）

確認しておくと

この $p$ を任意とする場合

$\begin{array}{lcc} \displaystyle\lim_{ p \to 1} pf &=& f \\ \\ \displaystyle\lim_{p\to 1} pφ_N &=& φ_N \end{array}$

このようになる「極限」を定義できるのは明らか。

（ $p$ の任意性より極限の定義を満たす）

ということは

この $p$ に定数 $p_*$ を入れた後

任意に $n$ を定めるという形で動かせば

$\begin{array}{ccc} p_*f &<& f \\ \\ p_*f &<& \displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n \end{array}$

$n$ を下から抑える

そんな有限値 $N$ の存在を保証することができ

$\begin{array}{ccc} \exists N & \forall n≥N & pf≤f_n \end{array}$

その結果として

このようになる $n$ の存在を保証できます。

（極限操作が可能なまま $f$ 以上の $f_n$ とできる）

論理式で厳密に整理してみる

ここまで

「量化子」の扱いに慣れてない内だと

だいぶ分かり辛いかもしれませんが

$\begin{array}{ccc} P &\equiv& \displaystyle \int pf ≤ \int f_n \end{array}$

これを適当に命題 $P$ とでもしておくと

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rcr} pf &≤& f_n \\ \\ \displaystyle \int pf &≤& \displaystyle \int f_n \end{array} \\ \\ ↓ \\ \\ \begin{array}{ccc} \displaystyle \int pf &≤& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n \end{array} \end{array}$

↑ の話を論理式で表現したら

$\begin{array}{ccc} \forall p \in (0,1) & \exists N & \forall n≥N & P \end{array}$

欲しい命題はこんな感じになります。

（ $p$ を好きに決める → 都合の良い $N$ が存在）

分かり難いかもですが

ざっと解説しておくと

まず $p$ が $(0,1)$ の範囲ならなんでも良くて

$\begin{array}{ccc} pf &≤& f_n &≤& f \end{array}$

$f_n$ の上限が $f$ である以上

$pf$ とこのようなる $f_n$ は必ず存在することから

（ $pf$ が $f$ と一致することは無い）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\int pf &≤& \displaystyle\int f_n \end{array}$

「可測関数の積分の単調性」より

このようになる $n$ は必ず存在すると言える。

（ ↑ の上下関係が必ず成立する以上こちらも必ず成立）

そして $p$ は任意であることから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{p\to 1} pf &=& f \end{array}$

「後から」調整できるので

結果、この結論を得ることができる。

ややこしいかもしれませんが

$\begin{array}{cccr} & {} & & p_*f ≤ f_{n_*} \\ \\ & \exists N & \forall n≥N & p_*f ≤ f_{n} \\ \\ \forall p & \exists N & \forall n≥N & pf ≤ f_{n} \end{array}$

以上がこれまでで実現できたものになります。

（これで内側から順に極限をとれる）

厳密には可測関数ではダメ

直感的に考えると

$\begin{array}{ccc} pf &≤& f_n \end{array}$

このようになる $n$ は存在しそうです。

（関数のほとんど全ての変数で ↑ が成立する）

しかし「可測関数」の範囲は非常に広いため

実は以下のような反例が存在し

（収束先が常に $1$ か $0$ にしたい ↓ ）

$\begin{array}{ccc} f_n(x) &=& \left\{ \begin{array}{ccl} 0 && x\in (n,\infty) \\ \\ 1 && x\in (-\infty,n] \end{array} \right. \end{array}$

↑ は必ず成立するわけでは無い

ということが事実として判明してしまいます。

（極限を許される可測関数の範囲の広さが原因）

反例の確認

確認しておくと

$f_n(x)\leqf(x)$ であることや

「非負可測関数」「単調増加」を実現した上で

$\begin{array}{ccc} f_n(x) &=& \left\{ \begin{array}{ccl} 0 && x\in (n,\infty) \\ \\ 1 && x\in (-\infty,n] \end{array} \right. \end{array}$

「収束先 $f$ 」を一定にすると

$\begin{array}{rcl} f(x) &=& 1 \\ \\ pf(x) &=& \displaystyle \frac{1}{2} f \end{array}$

「任意の実数 $x$ 」では

$\begin{array}{ccc} pf(x) &≥& f_n(x) && (n,\infty) \\ \\ pf(x) &≤& f_n(x) && (-\infty,n] \end{array}$

左の収束先の $pf(x)$ は

$f(x)=1$ である以上、常に $p$ なので

$\begin{array}{ccc} pf(x) &≤& f_n(x) && x\not\in (n,\infty) \\ \\ p &>& 0 && x \in (n,\infty) \end{array}$

これは「任意の実数 $x$ では」成立しません。

まとめると

$\begin{array}{ccc} pf(x) &\textcolor{pink}{>}& f_n(x) && x\in (n,\infty) \end{array}$

この範囲では常にこうなることから

$\begin{array}{ccc} pf(x) &≤& f_n(x) \end{array}$

$(n,\infty)$ の範囲に $x$ がある場合

このようになる $n$ は存在しないと言えます。

（つまり不成立を示す反例になる）

可測関数にするのは後

このような反例が存在する以上

「可測関数」という範囲には制限が必要です。

$\begin{array}{ccc} pf=p\sup\{φ\} &&\to&& pφ \end{array}$

そうなると

丁度良い制限は何かって話なんですが

$\begin{array}{ccc} \sup\{ φ \} &=& f \end{array}$

「単関数近似定理」を考えると

「後で上限をとる」ことで近似が可能な

$\begin{array}{rcc} φ &≤& f_n \\ \\ pφ &≤& f_n \end{array}$

「有限」の範囲で定義可能である

「 $f$ に収束する非負単関数 $φ$ 」

これが良い感じに使えそうだと予想できます。

非負単関数なら問題が無いのか

「非負可測関数」では問題があった

なら「非負単関数」でも問題がありそうですが

$\begin{array}{rcc} φ &≤& f_n \\ \\ pφ &≤& f_n \end{array}$

実は「非負単関数 $φ$ 」と比較する場合

全ての $x$ でこのようになる $n$ は必ず存在します。

（省略してますが関数には変数が定義されてます）

存在することの証明

確認のため

↑ で紹介したような反例にならって

$\begin{array}{rcr} φ &≤& f_n \\ \\ \displaystyle \int_D φ &≤& \displaystyle \int_D f_n \end{array}$

「積分範囲 $D$ 」の中で

「ある $φ$ では $n$ が存在しない」と仮定してみます。

（これが否定されれば必ず存在することになる）

すると

「反例になる $φ$ 」を考えた時

$\begin{array}{ccc} \exists x_*\in D & pφ(x) > f_n(x) \end{array}$

このように不等式を満たさない $x_*$ が

積分範囲 $D$ の中に存在するのは確実

（この $x_*$ が無いなら仮定は矛盾する）

ということは

それを集合として定義すると

（定数として扱うのでそれを全部集めてみる）

$\begin{array}{ccc} D_n &=& \{ x\in D \mid pφ(x) ≤ f_n(x) \} \end{array}$

これが「全ての $n$ で $D$ と一致しない」

そんな $x$ の集合（積分範囲の一部）になります。

（ $n$ がどれだけ大きくても $x_*$ が存在する）

ここまで定めた上で

この集合と前提を考えると

$\begin{array}{ccc} f_n &≤& f_{n+1} \\ \\ D_n &⊂& D_{n+1} \end{array}$

上限の話でした話と同様の比較を行えば

$D_n$ が「単調増加列」であることは明らかですから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n(x) &=& f(x) \end{array}$

「 $f_n$ の上限が $f$ である」ことも考えると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \bigcup_{n=1}^{N} D_n &=&D \end{array}$

現時点では予想になりますが

この集合は必ずこうなるはずだと考えられます。

まとめると

$\begin{array}{ccc} x_* & \in &\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} D_n \end{array}$

この無限和集合は $D$ と一致するはずであることから

このような $x_* \in D$ は存在しないと予想できます。

矛盾の導出

整理しておくと

$\begin{array}{ccc} \forall x\in D & pφ(x) ≤ f_n(x) \end{array}$

反例の形を参考に

「全ての $n$ でこうならない $φ$ が存在する」と仮定すると

$\begin{array}{ccc} pφ(x_*) &>& f_n(x_*) && x_* \in D_* \end{array}$

ある範囲 $D_*$ では

「 $φ$ との比較では全ての $n$ でこうならない」

$\begin{array}{ccc} \exists x_*\in D & pφ(x_*) > f_n(x_*) \end{array}$

つまり「全ての $n$ 」で

「こうなる $x_*$ が存在する」ということが導かれます。

（ここまでが間違ってると予想される仮定）

ここから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n(x_*) &=& f(x_*) \end{array}$

「 $f_n$ は $f$ に収束する」という事実を利用すれば

（この制限により反例のような単関数は構成不可）

$\begin{array}{ccc} pφ &<& φ &≤& f \end{array}$

$φ$ と比較可能な $f$ を得ることが可能なので

（反例のような関数ではこうならない）

$\begin{array}{ccc} f_n(x_*) &<& pφ(x_*) \end{array}$

全ての $n$ でこうなる $x_*$ の存在から

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n(x_*) &<& pφ(x_*) \end{array}$

これは明らかですから

以上の事実から

$\begin{array}{ccc} f(x_*) &<& pφ(x_*) \end{array}$

このような関係が得られてしまいます。

（この時点で明らかに矛盾した結果）

ということは

$\begin{array}{ccc} f(x_*) &<& pφ(x_*)&<& φ(x_*) \end{array}$

$p$ の定義を考えると

この関係は確実に成立すると言えるので

$\begin{array}{ccc} f(x_*) &<& φ(x_*) \end{array}$

$φ$ の定義より

これは確実に矛盾していますから

これで「仮定が間違ってる」ということが示されました。

↑ の補完

これでほとんどの場合で矛盾を示せましたが

$0<φ$ の時でない場合

$\begin{array}{ccc} f(x_*) &<& pφ(x_*)&<& φ(x_*) \end{array}$

「 $pφ<φ$ の形から矛盾を導く」

この理屈は厳密には使えないため

$\begin{array}{ccc} f(x_*) &<& 0 \end{array}$

実は $φ=0$ のパターンは

別で考える必要があります。

ただ話自体はほぼ同じで

（矛盾を示すための理屈が異なる）

$\begin{array}{ccc} 0≤f &&\to&& \lnot (f<0) \end{array}$

これもまた

「 $f$ は非負可測関数である」という定義に反することから

矛盾すること自体はすぐに導くことができます。

ややこしい大小関係の証明

以上のことから

「 $f$ に収束する単関数 $φ$ 」を考えると

$\begin{array}{rcr} pφ &≤& f_n \\ \\ \displaystyle \int_D pφ &≤& \displaystyle \int_D f_n \end{array}$

全ての $x \in D$ で

このようになる $n$ は確実に存在するので

（厳密には $n$ を下から抑えられる自然数が存在する）

$\begin{array}{ccr} \displaystyle \int_D pφ &≤& \displaystyle \int_D f_n \\ \\ \displaystyle \int_D pφ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \end{array}$

これは確実にこうなり

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \int_D pφ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \\ \\ \displaystyle \lim_{p \to 1 }\int_D pφ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \end{array}$

また「任意の $p$ で成立する」ことから

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \lim_{p \to 1 }\int_D pφ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \\ \\ \displaystyle \lim_{p \to 1 } p\int_D φ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \\ \\ \displaystyle \int_D φ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \end{array}$

こうなると言えて

最後に「単関数 $φ$ の任意性」から

（順番的にはまず任意に単関数が決まって ↑ の話になる）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D φ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \end{array}$

左は「上限」をとれると言えるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D φ &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \\ \\ \displaystyle \sup \left\{ \int_D φ \right\} &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \end{array}$

その結果として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup \left\{ \int_D φ \right\} &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \\ \\ \displaystyle \int_D f &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \end{array}$

欲しい結論を得ることができます。

変数の順番と論理式

補足しておくと

具体的な値が入る順番は $φ\to p \to n$ で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup \left\{ \lim_{p\to 1}\int_D pφ \right\} &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{D} f_n \\ \\ &↑ \\ \\ \displaystyle \int_D pφ &≤& \displaystyle \int_D f_n \end{array}$

極限が使えるよう一般化する順番は

↑ の順番の元になった $n \to p \to φ$ です。

（この順番にすると矛盾無く欲しい結果が得られる）

なので論理式としては

$\begin{array}{ccc} \forall φ & \forall p & \exists N &\forall n≥N & pφ ≤ f_n \\ \\ \forall φ & \forall p & \exists N &\forall n≥N &\displaystyle \int_D pφ ≤ \int_D f_n \end{array}$

簡易的にはこんな感じになります。

（内側から順に極限をとれる）

関数の上下関係と積分の上下関係

また ↓ の部分に関しては

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D pφ &≤& \displaystyle\int_D f_n \end{array}$

「非負可測関数」上の話であるため

$\begin{array}{lcl} pφ &≤& f_n \end{array}$

「ルベーグ積分の単調性」の前提が満たされてる以上

$\begin{array}{ccc} pφ ≤ f_n &⇒& \displaystyle \int_D pφ ≤ \int_D f_n \end{array}$

この命題も必ず真になるので

（ある範囲で前提が真なら結論も真）

$\begin{array}{ccc} \forall φ & \forall p & \exists N &\forall n≥N &\displaystyle \int_D pφ ≤ \int_D f_n \end{array}$

このようになると言えます。

（命題が逆だったら保証されてない）

等しくなる

以上の結果から

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int f_n &≤& \displaystyle \int f \\ \\ &{}& \displaystyle \int f &≤& \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int f_n \end{array}$

この２つの関係が得られたので

「非負可測関数」の場合でも

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int f_n &=& \displaystyle \int f \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to \infty }\int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to \infty }f_n \end{array}$

「極限と積分の交換」は可能だと言えます。

（ $f_n$ は単調増加で $f$ に収束する）

ファトゥの補題 Fatou’s Lemma

これは「非負値可測関数の積分」と

「下極限」についての定理で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_n &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_n \end{array}$

この不等式が成立する条件を与えてくれます。

（次に紹介する優収束定理の証明に必要）

補題の証明

これは「優収束定理の後」に

「優収束定理を整理する」ために得られた結果なので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int F - f &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int F - f_n \\ \\ \displaystyle \int F + f &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int F + f_n \\ \\ \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_n &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_n \end{array}$

この補題の証明は

「優収束定理の証明」の一部だと思って良いです。

（この補題は単体ではほぼ意味を持たない）

実際、目指したい形が補題そのものなので

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \int f &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_n \\ \\ \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_n &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_n \end{array}$

証明はここから逆算する形で導かれます。

（後述する優収束定理でこの形が出てくる）

優収束定理からの逆算

「優収束定理」というのは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n && f_n \to f \end{array}$

「積分と極限の交換」が

「一般の可測関数」でも成立する

$\begin{array}{ccc} |f_n|&≤&F \end{array}$

このために必要な最低限の条件を提供する定理で

（この条件を優収束条件という）

これを証明するためには

$\begin{array}{ccl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &\overset{？}{=}& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &\overset{？}{=}& \displaystyle \int f \end{array}$

この２つの比較が必要になるわけですが

この辺り

詳細な流れは後で解説するとして

$\begin{array}{ccc} -F &≤& f_n &≤&F \end{array}$

ともかく

これを使って示す時

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int F - f &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int F - f_n \\ \\ \displaystyle \int F + f &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int F + f_n \end{array}$

こんな結果が必要になります。

（より正確にはこの形から優収束条件が予想される）

ここで必要になるのが

$\begin{array}{ccc} f&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n &=& \displaystyle\liminf_{n\to\infty} f_n \end{array}$

この「ファトゥ補題」なんですが

実はこの辺りはほぼ結果論で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_n &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_n \end{array}$

「下極限」と「極限」の定義より

この関係は自然と導かれます。

（下極限は単調増加数列の極限なので予想可能）

極限と下極限

念のため整理しておくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} f_n &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} \end{array}$

「下極限」の定義はこうです。

（集合を狭めて下限を大きくしていく）

そして $N$ と $N+1$ の差は

最も小さい可能性のある $f_N$ が除かれるだけなので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& \displaystyle\inf_{N+1≤n} \left\{ f_n \right\} \end{array}$

こうなることから

これは「単調増加する数列」になります。

（詳細は別の記事で）

ということは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &=& F \end{array}$

「有界である」のなら

これは必ず「上限」に一致するため

（非有界の場合は $\infty$ になるので明らかとする）

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} f_n &=& F \\ \\ \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_n &≤& \displaystyle\int F \end{array}$

「可測関数の積分」の「単調性」より

$\begin{array}{rcr} \displaystyle\inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& F \\ \\ \displaystyle \int \inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& \displaystyle \int F \end{array}$

こういう形を考えると

良い感じの上下関係を得られそうな気がします。

関数列の下限と非負可測関数

以上のことと

「下限」について考えてみると

$\begin{array}{ccc} N &≤& n \\ \\ \displaystyle\inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& f_n \end{array}$

この２つの関係はこうなりますから

（あくまで $N\leqn$ の範囲では）

「 $f_n$ は非負可測関数である」

これを前提とするなら

$\begin{array}{rcr} \displaystyle\inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& f_n \\ \\ \displaystyle \int \inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& \displaystyle \int f_n \end{array}$

「単調性」を適用するとこうなるので

（ここでも $N\leqn$ の範囲での話）

「任意に $N$ を定める」としてもこうなり

（範囲内ならどのような $N$ でも成立）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& \displaystyle \int f_n && N≤n \end{array}$

「任意の $N$ 以上の $n$ 」でも

これは必ず成立すると言えます。

極限の定義と欲しい結果

以上のように定義できることから

「任意に $N$ を定める」と

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \inf_{N_*≤n} \left\{ f_n \right\} &≤& \displaystyle \int f_n && N_*≤n \end{array}$

これは成立すると言えて

「任意に $N$ 以上の $n$ を定める」と

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \inf_{N_*≤n_*} \left\{ f_{n_*} \right\} &≤& \displaystyle \int f_{n_*} && N_*≤n_* \end{array}$

これが成立することから

$n\to N$ の順番に「極限」をとっていくと

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \int \inf_{N_*≤n_*} \left\{ f_{n_*} \right\} &≤& \displaystyle \int f_{n_*} && N_*≤n_* \\ \\ \displaystyle \int \inf_{N_*≤n} \left\{ f_{n} \right\} &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} && N_*≤n \\ \\ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} && N≤n \end{array}$

この結果が得られます。

ということは

$f_n$ が「非負可測関数」であれば

その「下限」もまた当然「非負可測関数」になるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} &=& \displaystyle \int \lim_{N\to\infty} \inf_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} \end{array}$

後は「ルベーグの単調収束定理」を使えば

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \int \inf_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} &≤& \displaystyle \int f_{n} && N≤n \\ \\ \displaystyle \int \lim_{N\to\infty} \inf_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} && N≤n \\ \\ \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_{n} &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

この式から欲しい結論が導かれます。

（これは $f_n$ が $f$ に収束するという前提無しで成立）

逆ファトゥの補題

↑ の話は「上極限」に変えても

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} f_{n} &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n}\{f_{n}\} \end{array}$

似たような結果を得ることができ

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

これはそのまま

「逆ファトゥの補題」と呼ばれています。

（上極限の場合では不等号が逆になる）

上極限の場合では

ただし証明するとなると

「上限」の性質を使うだけではダメです。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup_{N≤n}\{f_n\} &≥& \displaystyle \sup_{N+1≤n}\{f_{n}\} \end{array}$

この不等号が逆になる理由でもあるんですが

（抜ける $f_N$ が最大の場合がある）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup\{f_n\} &≥& F \end{array}$

「収束先 $F$ の存在」を仮定しても

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup\{f_n\} &≥& f_n && n≥N \end{array}$

「下極限」の時とは異なり

「単調増加列」の構築には手間が必要になるため

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \sup\{f_n\} &≥& \displaystyle \int f_n \end{array}$

このままでは

同様の結果を導くことができません。

（単調収束定理を適用する準備が必要）

非負可測関数列という前提の下では

直感的に考えるのであれば

「ファトゥの補題」と同様の前提である

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& f_n \end{array}$

「 $f_n$ は全て非負可測関数列である」

この前提で「逆ファトゥの補題」は成立しそうです。

しかし

「上限」の数列は

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup_{N≤n}\{f_n\} &≥& \displaystyle \sup_{N+1≤n}\{f_{n}\} \end{array}$

「単調減少列」であるため

同様の手順で証明することはできません。

それに

例えば ↓ のような

$\begin{array}{ccc} \displaystyle n \frac{1}{n} &=& \left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle μ\Bigl( [0,n] \Bigr)\frac{1}{n} \\ \\ \displaystyle n μ\left( \left[ 0,\frac{1}{n} \right] \right) \end{array} \right. \end{array}$

縦横「同時に引き延ばされる」ことになる

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} &=& 1 \end{array}$

以下のような「非負可測関数」を考えると

$\begin{array}{ccc} [0,1] & \mathrm{Borel}\Bigl( [0,1] \Bigr) & μ^* \end{array}$

$\begin{array}{ccc} f_n &=& n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

この関数から導かれる

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_{[0,1]} n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) &=& \displaystyle n\int_{[0,1]} 1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \\ \\ &=& \displaystyle n μ^* \left( \left[ 0,\frac{1}{n} \right] \right) \\ \\ &=& \displaystyle n \left( \frac{1}{n} - 0 \right) \\ \\ &=&1 \end{array}$

積分の計算結果や

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) &=& \left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle\lim_{n\to\infty} n && x=0 \\ \\ 0 && x \in (0,1] \end{array} \right. \end{array}$

上極限で得られる収束先の関数から

（１点のルベーグ積分は単関数の定義より $0$ に定まる）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ 0 &≤& 1 \end{array}$

これは反例になってしまうため

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

「逆ファトゥの補題」は

「ファトゥの補題と同様の前提」では成立しない

そんな結論が導かれてしまいます。

単関数の定義と不定形

補足しておくと

↑ の積分結果は

$\begin{array}{ccc} D &=& \displaystyle \bigsqcup_{n=1}^{N} D_n \\ \\ \displaystyle \int_D φ_N(x) \, dμ &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} c_n μ(D_n) \end{array}$

「単関数」が「有限値のみをとる」場合の話です。

（ルベーグ積分はこの上限として定義される）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int f &=& \displaystyle \sup \left\{ \int φ \right\} \end{array}$

先に「有限値 $n$ × $0$ 」を行うから

（上限をとりたい集合の中身が全て $0$ ）

$\begin{array}{ccl} f&=&\displaystyle \limsup_{n\to\infty} n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \\ \\ &=& \left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle\lim_{n\to\infty} n && x=0 \\ \\ 0 && x \in (0,1] \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup \left\{ \int φ \right\}&=& \displaystyle \sup \left\{ n μ^*\Bigl( \{ 0 \} \Bigr) + 0 \cdot μ^*\Bigl( (0,1] \Bigr) \right\} \end{array}$

$\infty\times 0$ の形をした

「不定形」を回避することができています。

しかし「単関数」は

「拡大実数」の範囲でも定義されることがあって

$\begin{array}{ccc} φ &=& \infty \end{array}$

その場合

「上限をとる集合」の中には

「無限をとる単関数」も含まれ得ることから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup \left\{ \int φ \right\}&=& \displaystyle \sup \left\{ \infty \cdot μ^*\Bigl( \{ 0 \} \Bigr) + 0 \cdot μ^*\Bigl( (0,1] \Bigr) \right\} \end{array}$

例えば今回の場合であれば

必ず「不定形」が現れてしまいます。

拡大実数値単関数と不定形の定義

じゃあその定義だとダメじゃんって話なんですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup \left\{ \int φ \right\}&=& \displaystyle \sup \left\{ \infty \cdot μ^*\Bigl( \{ 0 \} \Bigr) + 0 \cdot μ^*\Bigl( (0,1] \Bigr) \right\} \end{array}$

実はこの場合

$\begin{array}{cccl} c & μ &&{}&& cμ \\ \\ 0 & \infty && \to&& cμ=0 \\ \\ \pm\infty & 0 &&\to&& cμ=0 \end{array}$

これらはこのように定義されることで

（高さが無いなら $0$ だし $1$ 点は面積を成さない）

$\begin{array}{ccc} \infty \cdot μ^*\Bigl( \{ 0 \} \Bigr) &=& 0 \end{array}$

生じる「不定形」を解消しています。

（直感的なルールのゴリ押しで解決）

結果

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \sup \left\{ \infty \cdot μ^*\Bigl( \{ 0 \} \Bigr) + 0 \cdot μ^*\Bigl( (0,1] \Bigr) \right\} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \sup \left\{ n μ^*\Bigl( \{ 0 \} \Bigr) + 0 \cdot μ^*\Bigl( (0,1] \Bigr) \right\} &=& 0 \end{array}$

これは問題にならず

この場合もまた結果は同様になります。

（この定義が無いと拡大実数値の範囲だとダメ）

極端な例外を排除するために

脱線しましたが

これが「逆ファトゥの補題」の問題点で

このような「非負可測関数」の存在を認める場合

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

こちらのパターンは必ず成立するとは言えません。

これを常に成立させるためには

$\begin{array}{ccc} f_n &=& n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

これを認めないような

そんな良い感じの条件が必要で

結論から行くと

この問題は

$\begin{array}{rcr} |f_n(x)| &≤& F \\ \\ \displaystyle \int |f_n(x)| &≤& \displaystyle\int F &<& \infty \end{array}$

間接的に「ルベーグ可積分」を意味する

「優関数 $F$ の存在」によって解消されます。

降って湧いてきた条件

ただこの時点では

$\begin{array}{ccr} |f_n(x)| &≤& F \\ \\ & & \displaystyle\int F &<& \infty \end{array}$

この「優収束条件」は意味が分からないと思います。

$\begin{array}{ccc} -F&≤& f_n &≤& F \end{array}$

なぜこれでうまくいくのか

↑ の時点では直感的に説明することができません。

優収束定理 Dominated Convergence

「非負可測関数」で ↓ が成立する

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f^+_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f^+_n && f^+_n \to f^+ \end{array}$

なら「一般の可測関数」でもこれは成立しそう

そんな感じで証明されたのがこの定理で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n && f_n \to f \end{array}$

この操作が可能になる

かなり広い条件をこれは提供してくれます。

優収束定理の証明

この定理の証明というと

$\begin{array}{ccc} |f_n| &≤& F \end{array}$

だいたいの文献では

なんかいきなり「優収束条件」なるものが出てきて

$\begin{array}{lcl} 0 &≤& F-f_n \\ \\ 0 &≤& f_n-(-F) \end{array}$

特に何の説明も無いまま

これを前提にして話を進められますが

この「優収束条件」とやら

$\begin{array}{ccc} |f_n| &≤& F \end{array}$

どこから出てきた？って話ですよね。

どう見ても飛躍してる条件です。

自然に考えるのであれば

$\begin{array}{ccc} f_n &≤& f_{n+1} \end{array}$

「一般の可測関数（実数）」では

まずこのように考えるのが流れとしては明瞭

（これまで単調収束定理までずっとこうだったため）

となると

この「優収束条件」という前提は

「単調増加」という前提の後に得られたはずで

$\begin{array}{ccc} f_n&≤&f_{n+1} \\ \\ &↓ \\ \\ |f_n| &≤& F \end{array}$

いきなり出てきてはいないはずです。

（どう見てもパっと思いつく条件ではない）

単調増加列であるという前提の下では

自然に考えるのなら

まず「単調収束定理」の形にしたいので

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& f_n + ？ \end{array}$ 　

$f_n$ が入る形として

なにかしら都合の良い非負値関数を考えたくなります。

分かりやすいのは

$\begin{array}{ccc} f_1 &≤& f_2 &≤& \cdots &≤& f_n &≤& \cdots \end{array}$

「単調増加」から分かる「下限 $f_1$ の存在」

これを使って

$\begin{array}{ccc} F_n &=& f_n-f_1 \end{array}$

「全ての $n$ で」非負値関数になる形と

$\begin{array}{ccc} F_{n+1}-F_n &=& (f_{n+1}-f_1)-(f_n-f_1) \\ \\ &=& f_{n+1}-f_n \end{array}$

増加列 $F_n$ を得ることにより

まず単調収束定理の前提を得てみます。

単調収束定理の適用と線型性

↑ の情報をまとめると

つまり「単調収束定理」が使えるということなので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n-f_1 &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n-f_1 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n-f_1 &=& \displaystyle \int f - f_1 \end{array}$

この形が得られますから

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n-f_1 &=& \displaystyle \int f - f_1 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \int f_n - \int f_1 \right) &=& \displaystyle \int f - \int f_1 \end{array}$

後は「線型性」を使って変形していくと

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\lim (a_n + c) &=& \displaystyle\lim a_n + \lim c \\ \\ &=& \displaystyle\lim (a_n) + c \end{array}$

「定数」の「極限」はこうなるので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \int f_n - \int f_1 \right) &=& \displaystyle \int f - \int f_1 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \int f_n \right) - \int f_1 &=& \displaystyle \int f - \int f_1 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int f \end{array}$

結果

「積分と極限の交換」が可能である

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int f \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n \end{array}$

これが「一般の可測関数」の場合でも示されます。

（単調収束定理と似たような条件下で）

非負可測関数に変換することが重要

以上の証明を参考に

$\begin{array}{ccc} 単調増加 \\ \\ ↓ \\ \\ 非負値可測関数の生成 \\ \\ ↓ \\ \\ 単調収束定理の適用 \end{array}$

手順を逆算してみると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n &=& f \end{array}$

この「 $f$ への収束」はまだ変えられませんが

（ここは最初に手を付けるとややこしくなりそう）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n-f_1 &=& \displaystyle \int f - f_1 \end{array}$

「単調増加する」ことよりも

「非負可測関数の形にする」こと

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& f_n-f_1 \end{array}$

こちらの方が重要である

これがなんとなく分かります。

（収束自体は単調増加でなくても良い）

実際

$\begin{array}{lcc} f_n-f_1 && 〇 \\ \\ f_n+？ && ？ \end{array}$

これでなくとも

「非負可測関数を作れる条件」であれば

$\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n-f_1 &=& \displaystyle \int f - f_1 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n -？ &=& \displaystyle \int f - ？ \end{array}$

これは示せそうなので

$\begin{array}{ccc} f_n &≤& f_{n+1} \end{array}$

この条件は一般化できそう

これがこの時点でなんとなく予想できます。

優収束条件に至るまで

これは「結果」から逆算していくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n - F &=& \displaystyle \int f - F \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int F - f_n &=& \displaystyle \int F - f \end{array}$

「非負値可測関数を作りたい」という要望から

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& f_n - F \\ \\ 0 &≤& F - f_n \end{array}$

結果的に導くことができるんですが

↑ の時点では

まだ「優収束条件」にまで発想が伸びません。

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& |f_n-F| \end{array}$

「優関数」と呼ばれることになる

「都合の良い可積分関数の雛型 $F$ 」

これが導かれるのみです。

都合の良い関数 $F$ の存在を認める場合

念のため確認しておくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n - F &=& \displaystyle \int f - F \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int F - f_n &=& \displaystyle \int F - f \end{array}$

これを得るために

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int f \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_n \end{array}$

「単調収束定理」を使いたいわけですが

（非負値可測関数かつ単調増加）

$\begin{array}{ccc} G_n &=& |f_n-F| \end{array}$

「単調収束定理」を使いたい場合

$G_n$ は「単調増加列」である必要があります。

（単調増加列でなければ $G_n$ の単調性が示せない）

あまり変えずに単調増加へ

「単調収束定理に寄せる」方向で

「前提を追加せず」に単調増加にしたい

$\begin{array}{ccc} H_n&=& ？\Bigl( G_n \Bigr) \end{array}$

この要請を叶えるとなると

そういった良い感じの操作が必要になります。

（基本的な数学の演算で頑張りたい）

何から手を付ければという感じですが

基本に立ち返ると

「単調増加」は ↑ の下曲線のようなものです。

（実現したいものの視覚的なイメージ）

となると

この図形的な感覚から

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} f_n &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \inf_{N≤n} \left\{ f_n \right\} \end{array}$

「下極限」は連想しやすく

（必ず存在する単調増加列の代表例）

実際

$\begin{array}{ccc} H_N &=& \displaystyle\inf_{N≤n}\Bigl\{ |f_n-F| \Bigr\} \end{array}$

このように「 $G_n$ の下限」をとると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\inf_{N≤n}\Bigl\{ |f_n-F| \Bigr\} &≤& \displaystyle\inf_{N+1≤n}\Bigl\{ |f_n-F| \Bigr\} \\ \\ H_N &≤& H_{N+1} \end{array}$

強引ではありますが

これは「単調増加列」になってくれますし

（ファトゥの補題に繋がり始める）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n &=& f \end{array}$

この「下限」は $N$ で下から抑えているため

$f_n$ は $f$ に収束してくれます。

より緩い条件の下で

以上のことから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n &=& f \end{array}$

「単調増加に限らない収束」と

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& |f_n - F| \end{array}$

この条件さえ満たしているのなら

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \inf_{N≤n}\Bigl\{ |f_n-F| \Bigr\} \end{array}$

これに対して「単調収束定理」を使えるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n}\Bigl\{ |f_n-F| \Bigr\} &=& \displaystyle \int \lim_{N\to\infty}\inf_{N≤n}\Bigl\{ |f_n-F| \Bigr\} \end{array}$

この関係が得られます。

そして面倒ですが

「絶対値」を取り外せば

$\begin{array}{ccc} |f_n-F| &=& \left\{ \begin{array}{ccc} f_n-F && 0≤f_n-F \\ \\ F-f_n && 0≤F-f_n \end{array} \right. \end{array}$

これらはこうなりますから

（この記事では片側だけ示す）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n-F \Bigr\} &=& \displaystyle \int \lim_{N\to\infty}\inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n-F \Bigr\} \end{array}$

$0\leqf_n-F$ の場合だとこの式はこうなり

（逆側でも式の形自体はほぼ同じ）

$\begin{array}{ccc} -ε_{\mathrm{inf}} +α &<& \displaystyle\inf_{N≤n}\{a_n\} &≤& a_N &<& α+ε_{\mathrm{sup}} \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \lim_{N\to\infty}\inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n-F \Bigr\} &=& \displaystyle \int f-F \end{array}$

右側はこうなります。

（極限と下極限は一致する）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n-F \Bigr\} &\overset{？}{=}& \displaystyle \lim_{N_+\to\infty} \int f_{N_+}-F \end{array}$

しかし左側はこうなるとは限らないので

（有限値 $N_+$ で下限をとるならこうなるが他は不明）

結果

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n \Bigr\}-F &=& \displaystyle \int f-F \\ \\ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n \Bigr\} &=& \displaystyle \int f \end{array}$

この関係は得られますが

「交換可能」という結論を得ることはできません。

（左に関わる条件が何か必要だと分かる）

反例の存在

念のため確認しておくと

これは「逆ファトゥの補題」で触れた

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) &=& \left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle\liminf_{n\to\infty} n && x=0 \\ \\ 0 && x \in (0,1] \end{array} \right. \end{array}$

この「可測関数」を使うと

そのまま反例の存在を確認できます。

実際

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup \left\{ \int φ \right\}&=& \displaystyle \sup \left\{ \infty \cdot μ^*\Bigl( \{ 0 \} \Bigr) + 0 \cdot μ^*\Bigl( (0,1] \Bigr) \right\} \end{array}$

この関数は

今回の条件に該当する「可測関数」ですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{pink}{=}& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ 0 &≠& 1 \end{array}$

計算してみると明らかに一致しません。

（振動を除くために単調増加のような縛りが必要）

ルベーグ可積分と優収束条件

「非負可測関数」に変形した後

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n-F \Bigr\} &=& \displaystyle \int \lim_{N\to\infty}\inf_{N≤n}\Bigl\{ f_n-F \Bigr\} \end{array}$

「単調増加にする」ために

「下限」をとって比較する。

ここまでは良い感じでしたが

「一般の可測関数」に対しては

$\begin{array}{ccc} 0&≤& | f_n-F | \end{array}$

「このような $F$ の存在だけ」では

まだ欲しい結果に繋がりません。

ただ

ここまで来ると

「反例を除けるかもしれない」操作として

$\begin{array}{ccc} -F &≤& f_n &≤& F \end{array}$

このような形を想定することが可能です。

というのも

「単調性」の形から

$\begin{array}{rcr} |f_n| &≤& F \\ \\ \displaystyle \int |f_n| &≤& \displaystyle \int F \end{array}$

この $F$ を「可積分関数である」とすれば

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int |f_n| &≤& \displaystyle \int F &<& \infty \end{array}$

$f_n$ も「ルベーグ可積分」になるので

この制限が反例を除ける可能性があることから

$\begin{array}{rcr} |f_n| &≤& F \\ \\ \displaystyle \int |f_n| &≤& \displaystyle \int F &<& \infty \end{array}$

この条件は

「良い感じの条件」の候補になると予想できます。

（まだ反例を確実に除けるかどうかは曖昧）

優関数の存在と上限

反例を省くことが可能であるか

$\begin{array}{ccc} |f_n| &≤& F \end{array}$

これを考えるために必要な「関数 $F$ 」ですが

これはそもそも「必ず存在する」ものなのか

考えてみると、この辺り曖昧ですよね。

というのも

$\begin{array}{ccc} f_{n}(x) &=& n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

これは極限をとると

「無限になる点を持つ関数」であるため

「優関数になって欲しい関数」の構成が少し複雑です。

「優関数」という関数は

「全ての $n$ で $f_n$ 以上である」ため

$\begin{array}{ccc} \sup\{ f_n \} &≤& F_{\mathrm{min}} &≤& F \end{array}$

基本的には

このような操作によって導くことが可能ですが

（全ての $x$ で $F(x)$ が $f_n$ の上界である）

$\begin{array}{ccc} F&=&\displaystyle\sup\{ f_n \} &&？ \end{array}$

これが必ず存在するかどうかは

この時点ではまだよく分かりません。

（変数 $x$ と $n$ の動きが曖昧）

反例の優関数っぽい上限関数

「 $f_n$ を上から抑える関数 $F$ を求める」

このためにやることは

$\begin{array}{ccc} n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) &=& \left\{ \begin{array}{ccl} n &&\displaystyle x\in \left[ 0,\frac{1}{n} \right] \\ \\ 0 &&\displaystyle x\in \left(\frac{1}{n} , 1 \right] \end{array} \right. \end{array}$

実はけっこう単純です。

というのも

結局は「各点で上限をとれば良い」だけなので

$\begin{array}{ccl} 1 && 1\cdot 1_{[0,\frac{1}{1}]}(x) \\ \\ 2 && 2\cdot 1_{[0,\frac{1}{2}]}(x) + 0\cdot 1_{(\frac{1}{2},1]}(x) \\ \\ &\vdots \\ \\ n && n\cdot 1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) + 0\cdot 1_{(\frac{1}{n},1]}(x) \\ \\ &\vdots \end{array}$

この形さえわかるなら

（右側の範囲には上限がある）

$\begin{array}{lcl} f_n &≤& 1\cdot 1_{(\frac{1}{2},1]}(x) + 2 \cdot 1_{(\frac{1}{3},\frac{1}{2}]}(x) + 3 \cdot 1_{(\frac{1}{4},\frac{1}{3}]}(x) + \cdots \\ \\ f_n &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

こうですから

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{lcl} \sup\{f_n\}=1 &&\displaystyle x\in \left(\frac{1}{1+1},\frac{1}{1}\right] \\ \\ \sup\{f_n\}=2 &&\displaystyle x\in \left(\frac{1}{2+1},\frac{1}{2}\right] \\ \\ &\vdots \\ \\ \sup\{f_n\}=n &&\displaystyle x\in \left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right] \\ \\ &\vdots \end{array} \right. \end{array}$

全ての $n$ での上限値を考えれば

それは全ての $f_n$ 以上の関数になるので

$\begin{array}{ccc} F(x) &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

これは「全ての $f_n$ を上から抑えられる」

そんな関数の１つになります。

（各点での上限なのでこれが最小になる）

優関数の候補と必要な条件

以上のことから

$\begin{array}{ccc} f_n &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

「 $f_n$ を上から抑える関数の存在」は示されました。

（これが全ての $n$ で成立する）

しかし

これが事実であるということは

$\begin{array}{ccc} |f_n| &≤& F \end{array}$

この条件のみでは

$\begin{array}{ccc} f_n &=& n1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

この反例は排除できないということなので

$\begin{array}{ccc} F &<& \infty &&？ \end{array}$

反例を排除したいなら

この $F$ には更なる縛りが必要だと分かります。

（優収束条件の発想を補強する事実の１つ）

ここで考えられるのが

「ルベーグ可積分」で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int F &<& \infty \end{array}$

ここまで条件を狭めれば

良い感じになりそうなのがなんとなく予想できます。

（こうすれば $F<\infty$ より緩い条件で反例を弾ける）

反例を上から抑える関数の積分

実際に排除できるか確認するために

$\begin{array}{rcr} f_n &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) \\ \\ \displaystyle \int f_n &≤& \displaystyle \int \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

この積分を考えてみると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \sum_{n=1}^{N} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) \end{array}$

これはすでに確認してるので

（非負単関数の項別積分の定理）

$\begin{array}{ccl} \displaystyle \int \sum_{n=1}^{N} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} n \cdot μ \left( \left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n} \right] \right) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} n \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} n \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} \end{array}$

そのまま「ルベーグ積分」の定義より

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \sum_{n=1}^{N} n\cdot 1_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}(x) &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1} \end{array}$

こうなると言えます。

結果

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1} &=& \infty \end{array}$

これは発散する数列なので

この $F$ は「ルベーグ可積分」ではありません。

（つまりルベーグ可積分を条件とすると排除できる）

優収束定理の証明

↑ の条件で反例を弾けることは分かりました。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_n &=& \displaystyle \int f \end{array}$

しかし肝心なのは

この結論を得られるかどうかです。

まだこの時点では

$\begin{array}{rcr} |f_n| &≤& F \\ \\ \displaystyle \int |f_n| &≤& \displaystyle \int F &<& \infty \end{array}$

この条件が十分であるかは分かっていません。

（反例が排除されたので近付いてはいる）

下極限から分かること

実際、ここから分かることは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \inf_{N≤n} \{ f_n+F \} \end{array}$

$f_n$ がマイナスにはならないこの形と

（マイナスだと下限の形を維持できない）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int \inf_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} &=& \displaystyle \int \lim_{N\to\infty} \inf_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} \end{array}$

「単調性」を使って導ける

「ファトゥの補題」が保証する関係くらいで

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_{n} &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ \displaystyle \int f &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

この時点では

まだ他のことはよく分かりません。

下極限の関係と極限の定義

確認しておくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int f &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

着地はここです。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int f &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

そして分かっているのはこれで

他はまだよく分かっていません。

ただ

下極限の関係が分かっているということは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} &=& \displaystyle \int f &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

「極限の存在条件」を考えると

（上極限と下極限の一致）

「上極限と下極限の定義」より

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \inf_{N≤n}\left\{\int f_{n}\right\} &≤ & \displaystyle \sup_{N≤n}\left\{\int f_{n}\right\} \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n}&≤& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

これは明らかですから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\int f_{n} &\textcolor{skyblue}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

後はこうなることさえ確認できれば

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\int f_{n} &\textcolor{pink}{=}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

これが成立するため

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \inf_{N≤n}\left\{\int f_{n}\right\} &≤ & \displaystyle\int f_{N} &≤& \displaystyle \sup_{N≤n}\left\{\int f_{n}\right\} \end{array}$

その結果として

「極限の存在」が保証されます。

（左右の極限値が等しくなることから）

つまり

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\int f_{n} &\textcolor{skyblue}{≥}& {} && \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\int f_{n} &\textcolor{skyblue}{≥}& \displaystyle \int f &\textcolor{skyblue}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

上記の関係さえ示すことができれば

その結果として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int\lim_{n\to\infty} f_{n} &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

欲しい結論を得ることが可能です。

（これが大まかな指針になる）

下限と上限の入れ替えと下極限と上極限

「上限の斉次性」辺りで示されたように

$\begin{array}{lcr} \inf\{ ca_n \} &=& c\sup\{a_n\} &&c<0 \\ \\ \inf\{ (-1)a_n \} &=& (-1)\sup\{a_n\} \end{array}$

このような操作を行った場合

$\begin{array}{ccc} \inf\{ -a_n \} &=& -\sup\{a_n\} \end{array}$

「上限と下限」は変換されます。

（内側のマイナスを取り出すなら強制的にこうなる）

ということは

$\begin{array}{ccc} 0&≤&F-f_n \end{array}$

$f_n$ がマイナスになる方の優収束条件を使って

（これが可能でないと上限の方の関係が得られない）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} (-f_n) &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \left( - \sup_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} \right) \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \left( -\int f_{n} \right) &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \left( - \sup_{N≤n} \left\{\int f_{n} \right\} \right) \end{array}$

この変形を使うと

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} (-f_n) &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \left( -\int f_{n} \right) \\ \\ \displaystyle \int \lim_{N\to\infty} \left( - \sup_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} \right) &≤& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \left( - \sup_{N≤n} \left\{\int f_{n} \right\} \right) \end{array}$

これはこのように変形可能なので

（ $F$ が無いと左の極限と積分を交換できない）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \lim_{N\to\infty} \left( - \sup_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} \right) &=& \displaystyle -\int \lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} \\ \\ \displaystyle \lim_{N\to\infty} \left( - \sup_{N≤n} \left\{\int f_{n} \right\} \right) &=& \displaystyle -\lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n} \left\{\int f_{n} \right\} \end{array}$

後はそれぞれの線型性を使って式を変形し

$\begin{array}{rcr} \displaystyle -\int \lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} &≤& \displaystyle -\lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n} \left\{\int f_{n} \right\} \\ \\ \displaystyle \int \lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n} \left\{ f_{n} \right\} &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sup_{N≤n} \left\{\int f_{n} \right\} \end{array}$

不等号の向きに気を付ければ

一連の変形によって

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ \displaystyle \int f &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

求めていたこの関係を得ることができます。

（これが逆ファトゥの補題の導出手順）

優収束条件の下では

以上のことをまとめると

$\begin{array}{ccc} f_1 &≤& f_2 &≤& \cdots &≤& f_n &≤& \cdots \end{array}$

「単調増加」を定義しなくても

$\begin{array}{rcr} |f_n| &≤& F \\ \\ \displaystyle \int |f_n| &≤& \displaystyle \int F &<& \infty \end{array}$

この「優収束条件」さえ満たされるなら

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{skyblue}{≤}& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} &\textcolor{pink}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

この関係が得られて

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\int f_{n} &\textcolor{pink}{≤}& {} && \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty}\int f_{n} &\textcolor{skyblue}{≥}& \displaystyle \int f &\textcolor{skyblue}{≥}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

「極限の存在条件」が満たされるので

その結果として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\int f_{n} &\textcolor{pink}{=}& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

この関係を得ることができます。

（ $f_n$ が $f$ に収束するなら）

$\mathrm{Fatou}\text{-}\mathrm{Lebesgue}$ の定理

これは「優収束定理」を軸に

主に「逆Fatouの補題」から得られる結果で

$\begin{array}{ccr} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_{n} &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \\ \\ & {}& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} &≤& \displaystyle \int \limsup_{n\to\infty} f_{n} \end{array}$

「 $f_n$ は可測関数である」と

$\begin{array}{rcr} |f_n| &≤& F \\ \\ \displaystyle\int |f_n| &≤&\displaystyle \int F &<& \infty \end{array}$

「優収束条件のみ」が前提となっている定理になります。

（ $f_n$ が $f$ に収束するという前提を外してる）

優収束定理との関連

「優収束定理」は

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} &≤& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

この定理の特別な場合で

（ $f_n$ が $f$ に収束する）

具体的には

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

「極限の存在条件」を満たす時が

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_{n} &=& \displaystyle \int \lim_{n\to\infty} f_{n} \end{array}$

「優収束定理」になります。

（この定理では極限の存在を保証しない）

逆ファトゥの補題とファトゥの補題

この定理の核になるのは

先述した「逆ファトゥの補題」の成立条件で

これと「ファトゥの補題」が『同時に成立する』

これがこの定理の結論になります。

定理の証明

これはほとんどが先ほどの話の確認ですね。

$\begin{array}{ccc} -F &≤& f_n &≤& F \end{array}$

「優収束条件」の

「 $f_n$ がプラスになる方」から導かれるのが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int \liminf_{n\to\infty} f_{n} &≤& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

この「ファトゥの補題」

そして「優収束条件」の

「 $f_n$ がマイナスになる方」から導かれるのが

「逆ファトゥの補題」です。

（優関数が上下から抑えてるからこうなる）

下極限と上極限の関係

以上のことから

「優収束条件」から

この関係を導くことができたわけですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} \int f_{n} & ≤ & \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \int f_{n} \end{array}$

実はこれもこの定理の結論の１つになります。

（上限下限の定義より明らかとしても良い）

これの証明は単純

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n & ≤ & \displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n \end{array}$

「下極限と上極限の定義」から

これはそのままの形で導くことができます。

（厳密には上限と下限の定義から導かれる）

優収束条件

ここまでの話から

だいたいのことは分かってると思いますが

$\begin{array}{rcr} |f_n| &≤& F \\ \\ \displaystyle \int |f_n| &≤& \displaystyle \int F &<&\infty \end{array}$

念のため

「優収束条件」の詳細について確認をしておきます。

（上記が根幹になるけど厳密には他の条件もある）

まず $\{f_n\}$ ですが

$\begin{array}{ccc} f_n & \mathrm{is} & \mathrm{Measurable \,\, Function} \end{array}$

これは「可測関数」の列です。

この範囲から出ることはありません。

（つまりほぼ全ての関数のことを指す）

それと

「関数 $F$ 」も「可測関数」で

$\begin{array}{ccc} F & \mathrm{is} & \mathrm{Measurable \,\, Function} \end{array}$

ここで出てくる「優関数」という概念は

$\begin{array}{ccc} |f_n| &≤& F \end{array}$

「可測関数」「 $|f_n|$ 以上」「可積分」

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \int F &<& \displaystyle \infty \end{array}$

この３つを満たすことになります。

（絶対値の上なので結果として非負可測関数になる）

まとめると

$\begin{array}{ccc} \exists F & \left( \begin{array}{cl} & F \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Measurable \,\, Function} \\ \\ ∧ & |f_n| ≤ F \\ \\ ∧ & \displaystyle \int F < \infty \end{array} \right) \end{array}$

「優収束条件」を論理式で表した時

その全体はこんな感じになります。

（見やすさのためにいろいろ省略）

優関数は全ての点で定義しなくて良い

「優収束定理」の段階では触れませんでしたが

実は ↑ の話で出てくる以下の条件は

$\begin{array}{ccc} |f_n(x)| &≤& F(x) \end{array}$

実際には「全ての $x$ 」では定義されておらず

「ほとんど全ての $x$ 」で定義されています。

（全ての $x$ としても別に良い）

なんでそうするかって話なんですが

これは一言で言えば柔軟性を持たせるためで

$\begin{array}{ccc} f_n&=& 1_Q(x) \end{array}$

例えばこのような

「点だらけの関数」の「優関数」を考えてみると

$\begin{array}{ccc} F(x) &=& 0 \end{array}$

「ほとんど全て」とする場合

これも「優関数」だと認めることができます。

（全てとすると多くの点で $1_Q\leq0$ にならない）

すると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int 1_Q &≤& \displaystyle \int 0 \end{array}$

これの計算は比較的簡単になり

「可積分」の確認も容易になるので

（全てとすると優関数は自身である $1_Q$ のみになる）

これを可能とするために

$\begin{array}{ccc} |f_n(x)| &≤& F(x) \end{array}$

これは「全ての $x$ 」ではなく

「ほとんど全ての $x$ 」で定義されています。

無視して良い点と無視する利点

確認しておくと

まず「点の測度は $0$ 」です。

$\begin{array}{ccc} μ \Bigl( \{x\} \Bigr) &=& 0 \end{array}$

そして「面積」の定義を自然に解釈した時

面積の計算などで生じる可能性がある「不定形」は

$\begin{array}{ccc} c & μ && c\times μ \\ \\ \infty & 0 &\to& 0 \\ \\ 0 & \infty &\to&0 \end{array}$

$0$ 以外では直感と異なる結果になることから

全て $0$ とするのが自然な解釈になります。

（縦横のどちらかが $0$ なら平面を構成できない）

ということは

「例外になる点」や「 $0$ になる点」を考える時

$\begin{array}{ccc} \infty \times μ\Bigl( \{x\} \Bigr) &=& 0 \\ \\ 0 \times μ\Bigl( [0,\infty) \Bigr) &=& 0 \end{array}$

その面積は

例えその片方が無限になるとしても $0$ になるので

例えば

$\begin{array}{ccc} \infty \times 1_Q \end{array}$

このような関数を考えた時

（拡大実数値単関数の不定形も ↑ と同じ）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\int_{[0,\infty)} \infty \times 1_Q &=& \infty \times μ(Q) + 0 \times μ\Bigl( [0,\infty)\setminus Q \Bigr) \end{array}$

この積分の

$\begin{array}{ccc} \infty \times μ(Q) &=& 0 \end{array}$

「有理数」の部分はこうなるため

$\begin{array}{ccc} Q & & [0,\infty)\setminus Q \\ \\ 0 && ？ \end{array}$

結果

この部分は無視しても問題が無いと言えます。

（これで $1_Q=1$ になる点が全て取り除かれる）

ということは

$\begin{array}{ccc} \infty \times 1_Q(x) &=& 0 && x\not\in Q \end{array}$

後は「無理数」の部分だけ考えれば良いので

（拡大実数値単関数の定義によりこの不定形はこうなる）

$\begin{array}{ccc} \infty \times 1_Q &≤& 0 \end{array}$

$0$ を優関数として定めれば

これが「優収束条件」を満たすとすぐに分かります。

（ほとんど全てとすると ↑ の有理数部分の手順が不要）

優収束条件と論理式

以上を踏まえて

より厳密な話をすると

$\begin{array}{ccc} |f_n| &≤& F \end{array}$

この条件について

「ほとんど全ての $x$ で成立する」としたいなら

$\begin{array}{ccc} μ(？) &=& 0 \end{array}$

例外的なものをまとめる操作として

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \left\{ x\in D \,\,\middle| \,\, F < |f_n| \right\} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x\in D \,\,\middle| \,\, F < |f_n| \right\} \end{array}$

$|f_n|\leqF$ 以外を定めることにより

$\begin{array}{ccc} μ \left( \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x\in D \,\,\middle| \,\, |f_n| ≤ F \right\} \right) &≠& 0 \end{array}$

間接的な形で

$\begin{array}{ccc} μ \left( \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x\in D \,\,\middle| \,\, F < |f_n| \right\} \right) &=& 0 \end{array}$

このように定義する必要があります。

（ $0$ の点を全て無視することで他を定める感じ）

優関数の存在

「優収束条件」では

「優関数の存在」を勝手に仮定しますが

$\begin{array}{rcr} |f_n| &≤& F \\ \\ \displaystyle \int |f_n| &≤& \displaystyle \int F &<&\infty \end{array}$

この「優関数の存在」は

「全ての可測関数」で保証できるとは限りません。

（優関数と分かるのは可積分を確認した後）

「 $n$ に関係の無い」

「可積分な非負値可測関数」であれば

$\begin{array}{ccc} |f|&≤&f \end{array}$

その関数をそのまま優関数とみなせますが

（確認が最も簡単で単純なパターン）

他の関数を考える場合

$\begin{array}{ccc} a.e. \,\, x & \sup\{|f_n|\} \end{array}$

「上限」を使えば行けそうだと予想はできても

実際にどうやるかは曖昧です。

単関数近似定理と優関数

ここで考えられるのが

$\begin{array}{ccc} n &\to& \infty \\ \\ |f_n| &\to& f \end{array}$

「単関数近似定理」の発想で

（任意の非負可測関数に近似する単関数列が存在する）

$\begin{array}{ccc} F&=&\left\{ \begin{array}{lcl} \sup_{x,n}\{f_n(x)\} && x\in D_1 \\ \\ \sup_{x,n}\{f_n(x)\} && x\in D_2 \\ \\ &\vdots \\ \\ \sup_{x,n}\{f_n(x)\} && x\in D_N \end{array} \right. \end{array}$

「 $f_n$ の上限」から構成される単関数

（積分範囲の分割 $D_N$ の中で最も大きい値）

$\begin{array}{ccr} D &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{N} D_n \\ \\ D &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty}\bigcup_{n=1}^{N} D_n \end{array}$

あるいは

$\begin{array}{ccr} F^+(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sup_{x,n}\{f_n(x)\} 1_{D_k}(x) \\ \\ F^+(x) &=& \displaystyle \lim_{N\to\infty} \sum_{k=1}^{N} \sup_{x,n}\{f_n(x)\} 1_{D_k}(x) \end{array}$

その「極限」により定まる関数が

「優関数かもしれない関数」の構成法になります。

（これは単調減少になり全ての $f_n$ の上界になる）

上限による定義そのまま

↑ では直感的に構成できるよう

「単関数」の形を利用しましたが

（全て表現可能かはこの時点では未確認）

$\begin{array}{ccc} F(x) &=& \displaystyle \sup_{x,n}\{f_n(x)\} \end{array}$

直接的かつ厳密な方法だと

「優関数かもしれない関数」の構成方法は

$\begin{array}{ccc} \forall x \in D & \forall n & f_n(x)≤F(x) \end{array}$

このような手順になります。

（これの具体例が ↑ の単関数の例）

ただしこの場合では

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D \sup_{x,n}\{f_n(x)\} \end{array}$

「積分」がどうなるかよく分からないことがあるので

手堅いのは「単関数」による構成方法になります。

（こちらの方法は確実に最小の上限関数になる）

優関数かもしれない関数と可積分

以上の話をまとめると

つまり「優関数の存在」を確認するためには

$\begin{array}{ccc} F^+&=&\left\{ \begin{array}{lcl} \sup_{x,n}\{f_n(x)\} && x\in D_1 \\ \\ \sup_{x,n}\{f_n(x)\} && x\in D_2 \\ \\ &\vdots \\ \\ \sup_{x,n}\{f_n(x)\} && x\in D_N \end{array} \right. \end{array}$

まず ↑ のような上限をとる関数 $F^+$ の構成が必要で

（これが無いとそもそも可積分を判定できない）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int F^+ &=& ？ \end{array}$

「可積分かどうか」の確認はその後になります。

（積分を計算できないと可積分か分からない）

目次

極限 Limit

ε\text{-}N 論法を軽く解説

上限下限 Superior Inferior

下極限や上極限などでの表現

下極限と上極限

極限の線型性

線型性に必要な要件

極限の斉次性

前提と定義から分かること

ほぼ全ての実数 c では

0 で割る行為は定義できない

下限と上限でも成立しそうだけど

斉次性が保証されない場合

下限の定義から

上限下限が斉次性を持つには

極限の加法性

加法性の証明

上限下限の加法規則

振動と反例

独立した添え字のパターン

一般化した論理式から

定数の極限

定数の極限をとると定数になる証明

n に関係の無い一般項

ルベーグ積分 Lebesgue Integral

ルベーグ積分の線型性

ルベーグ積分の斉次性

非負可測関数の場合

一般の可測関数の場合

ルベーグ積分の加法性

非負可測関数では

一般の可測関数の場合

欲しい結果から

大小関係の保存

数列の大小 ⇒ 極限値の大小

極限値の大小 ⇒ 数列の大小

問題点と論理式

十分大きな

積分の単調性

リーマン積分の単調性

ルベーグ積分の単調性

積分範囲の分割

細かく分割してみる

細分割の存在

単関数積分の単調性

非負可測関数での単調性

大小関係と上限の定義

ルベーグ積分の定義と上限

上限の大小関係とルベーグ積分の定義

ルベーグ積分の正確な定義と集合の違い

上限をとる集合と大小関係

上限下限と包含関係

ルベーグ積分の定義と上限の関係

一般の可測関数の場合

ルベーグ積分とゼロ関数

極限と積分

連続関数の積分と極限

連続関数のパターンでは

項別積分の定理

単関数列での項別積分の定理

前提の確認と着地

単関数の積分と上限

単関数積分の条件とルベーグ積分の定義

単調収束定理 Monotone Convergence

単調収束定理の証明

分かりやすい大小関係

ややこしい方の大小関係

都合の良い大小関係を構築できるのか

例外と床関数

必ず f_n が大きくなるようにする

論理式で厳密に整理してみる

厳密には可測関数ではダメ

反例の確認

可測関数にするのは後

非負単関数なら問題が無いのか

存在することの証明

矛盾の導出

↑ の補完

ややこしい大小関係の証明

$ε\text{-}N$ 論法を軽く解説

ほぼ全ての実数 $c$ では

$0$ で割る行為は定義できない

$n$ に関係の無い一般項

必ず $f_n$ が大きくなるようにする

都合の良い関数 $F$ の存在を認める場合

$\mathrm{Fatou}\text{-}\mathrm{Lebesgue}$ の定理