|| 数学の基礎となる言語に相当するもの
『数学の言語』というとだいたいこれです
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目次
論理記号「 \mathrm{and} とか \mathrm{or} とかを表す記号」
非論理記号「論理記号以外の数学で扱う記号」
項「定数と変数とそれらを出力する関数」
原子論理式「項と関係で作った最小元の論理式」
整論理式「原子論理式と論理記号の組み合わせ」
論理式の概要
「論理式」というのは
『項と関係から作られる原子論理式』と
\begin{array}{ccc} φ,ψ &\in& \mathrm{AtomicFormula} \end{array}
『原子論理式と論理記号の組み合わせ』で
\begin{array}{lcc} φ,ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ \lnot φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ∧ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ∨ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ⇒ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ⇔ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
「変数 x 」を付け加えると
（以下の φ は原子論理式であればなんでもいい）
\begin{array}{lcc} \forall x \,\, φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ \exists x \,\, φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
↑ と合わせてこんな感じになります。
（以下、これの詳細を解説していきます）
論理記号 Logical Symbol
|| 真偽を確定させられる操作を表現する記号
『演繹ができる記号』のことで
\begin{array}{lllllll} 1&\top&\mathrm{T}&&&\mathrm{True} \\ \\ 0&\bot&\mathrm{F}&&&\mathrm{False} \\ \\ \\ \lnot & & &&&\mathrm{not} \\ \\ \land && &&& \mathrm{and} \\ \\ \lor && &&& \mathrm{or} \\ \\ \displaystyle \to & & &&&\mathrm{if}\text{-}\mathrm{then} \\ \\ \leftrightarrow&\equiv& &&&\mathrm{equal} \\ \\ \\ \forall&& &&&\mathrm{All} \\ \\ \exists&& &&&\mathrm{Exist} \\ \\ \\ ()&& &&&\mathrm{unit} \\ \\ \coloneqq&\equiv& &&&\mathrm{define} \\ \\ \\ \vdash&& &&&\mathrm{proof} \\ \\ \vDash&& &&& \mathrm{implication} \\ \\ \\ \therefore&& &&&\mathrm{Therefore} \\ \\ \because && &&&\mathrm{Because} \end{array}
具体的にはこれらのことを指します。
（量化範囲はだいたい一階述語論理に限定される）
非論理記号 Non-(Logical Symbol)
|| 論理記号以外の数学で扱う記号
そのまま「論理記号じゃない記号」のことで
\begin{array}{cccc} 0&1&2&10 \\ \\ >&<&≧&≦ \\ \\ +&-&×&÷ \end{array}
こちらの方が圧倒的に多いです。
（論理記号はあくまで論理の基礎になる操作の表現）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{non}\text{-}\mathrm{ Logical \,\, Symbol }&\equiv&\mathrm{Symbol}\setminus \mathrm{ Logical \,\, Symbol } \end{array}
『人が扱う記号』の内
ほとんどはこれに該当します。
非論理記号の分類
これらは大きく３つに分類することが可能で
\begin{array}{ccl} 定数記号 && 0,1,2,...,a,b,c,... \\ \\ 関数記号 && +,-,...,f,g,h,... \\ \\ 関係記号 && \in, = , <,..., R ,... \end{array}
これらの総称が「非論理記号」になります。
（無数に作れるので重要なのは分類になる）
引数の個数 Arity
「関数記号」「関係記号」の
『引数の個数』については
\begin{array}{ccl} 1+2 && \mathrm{Arity}(+)=2 \\ \\ f(x_1,...,x_n) && \mathrm{Arity}(f)=n \\ \\ \\ a=b && \mathrm{Arity}(=) =2 \\ \\ e \in S && \mathrm{Arity}(\in) =2 \\ \\ R(x_1,...,x_n) && \mathrm{Arity}(R)=n \end{array}
実は「記号の定義時点」で定められるため
必ず固定された値になります。
（変数のように振る舞わない）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Arity}(2) &=&0 \end{array}
また定数のアリティは必ずこうなるため
定数はアリティ 0 の関数記号とも言われます。
関数記号の例外
補足しておくと
\begin{array}{lllrlllll} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k&=&a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n&+&0 \\ \\ \displaystyle \sum_{}^{}&=& & &0 \\ \\ \\ \displaystyle\prod_{k=1}^{n}a_k&=&a_1\times a_2\times a_3 \cdots a_{n-1} \times a_n &\times&1 \\ \\ \displaystyle \prod_{}^{}&=& & &1 \end{array}
このような大型演算子は
\begin{array}{lllll} \displaystyle \sum_{}^{}&=&0 \\ \\ \displaystyle \prod_{}^{}&=&1 \end{array}
『アリティが固定された関数記号』とは言えず
「関数記号」の定義を逸脱します。
しかし「使う引数が最初から分かってる」なら
（引数が可変ではないとして総和演算子を考える）
\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k &&\displaystyle \mathrm{Arity}\left( \sum_{k=1}^{n} \right)=n \end{array}
これは「アリティ n の関数記号」になります。
（つまり引数を数えた後に定義すれば関数になる）
項 Term
|| 分かるようで分からない単語
これは「変数」と「定数」のことで
\begin{array}{ccc} 定数 && 0,1,a,b,c &\in& \mathrm{Term} \\ \\ 変数 && x,y,z &\in& \mathrm{Term} \\ \\ 関数 && 1+1,a+b,f(x,y) &\in& \mathrm{Term} \end{array}
その中身はこんな感じになっています。
（関数は定数か変数を出力します）
関数という単語の注意点
この「項」は記号ベースというより
\begin{array}{ccc} 1+2, \,\, 2\times 3, \,\, a+b, \,\, 1+x, \,\, f(x,y) && 〇 \\ \\ +,\times, f && × \end{array}
「定数」「変数」ベースなので
「関数記号」は定義に含まれていません。
項と関数記号の組み合わせ
「関数」は「定数か変数を出力する」ので
\begin{array}{ccc} f(x) &\to& c,x \end{array}
↑ の定義のままでも特に問題は無いんですが
\begin{array}{ccc} 1+1+1&=&1+(1+1) \\ \\ & & f(a,f(b,c)) \end{array}
同様の理屈で
これも「項」だと言えるので
\begin{array}{ccc} \mathrm{Constant} &\in& \mathrm{Term} \\ \\ \mathrm{Variable} &\in& \mathrm{Term} \\ \\ \\ \mathrm{Function}(\mathrm{Constants}) &\in& \mathrm{Term} \\ \\ \mathrm{Function}(\mathrm{Variables}) &\in& \mathrm{Term} \end{array}
↑ の定義を踏まえた上で
\begin{array}{ccc} \mathrm{Function}(\mathrm{Term}) &\in& \mathrm{Term} \end{array}
これもまた「項」と呼ばれます。
（ここまでが項の厳密な定義）
原子論理式 Atomic Formula
|| 最小サイズの論理式
これは「真偽を判定できる最小単位」になるもので
\begin{array}{ccc} a=b, \,\, e\in S, \,\, x<y &\in& \mathrm{AtomicFormula} \\ \\ R(t_1,t_2,...,t_n) &\in& \mathrm{AtomicFormula} \end{array}
その定義はこのようになっています。
（項と同様に関係記号は含まない）
補足しておくと
\begin{array}{ccc} a=b &\to& R(t_1,t_2) &\to& =(a,b) \\ \\ e\in S &\to& R(t_1,t_2) &\to& \in (e,S) \\ \\ x<y &\to& R(t_1,t_2) &\to& <(x,y) \end{array}
私たちが扱う関係はだいたい「二項関係」です。
（無いことはないけど他はあんまり見ない）
整論理式 Well-Formed Formula
|| 数学のスタンダードな言語になるもの
「論理式」というとだいたいこれを指していて
\begin{array}{ccc} φ,ψ &\in& \mathrm{AtomicFormula} \end{array}
↑ で紹介したように
\begin{array}{lcc} φ,ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ \lnot φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ∧ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ∨ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ⇒ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ⇔ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
「命題記号」の部分については
このような形で定義されています。
「量化」に関しても
\begin{array}{lcc} \forall x \,\, φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ \exists x \,\, φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
紹介した通りなんですが
\begin{array}{ccc} \forall x & & \exists x \end{array}
この部分については
「一階述語論理の範囲」という制限があり
（個体『自由変数または束縛変数』の量化まで）
\begin{array}{ccc} f(x) &\to& \forall x && 〇 \\ \\ f(x) &\to& \forall f && × \end{array}
具体的にはここまでしか許されてません。
（二階以上だと f も量化が許される）
帰納的に定義するために
実は ↑ の定義はまだ不足していて
\begin{array}{ccc} φ,ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
↑ までの定義から得られたこれから
（原子論理式と記号の組み合わせのみ）
\begin{array}{lcc} φ,ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ \lnot φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ∧ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ∨ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ⇒ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ φ⇔ψ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
「命題記号」についてと
\begin{array}{lcc} \forall x \,\, φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \\ \\ \exists x \,\, φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
「量化記号」についての定義を
それぞれまた追加でする必要があります。
（ ↑ と合わせてここまでが整論理式の厳密な定義）
というのも
↑ の時点では
\begin{array}{ccc} \forall x \,\, \Bigl( \forall y \,\, φ \Bigr) \end{array}
こういった「整論理式と記号の組み合わせ」は
「整論理式」とは呼べない状態にありました。
しかし「論理式」に対する要請は
（論理式にしたいという直感的な要求）
\begin{array}{ccc} \forall x \,\, \forall y \,\, φ &\in& \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Formed}\mathrm{Formula} \end{array}
これも「論理式である」ことを求めているので
結果、この定義が必要になります。