|| なにかの集まりを指す総称
「集合」より範囲が広い『なんらかの集まり』のこと
スポンサーリンク
目次
素朴集合論「公理が整備されてない頃の集合論」
無制限内包「どこからでも要素を持ってきて良い」
ラッセルのパラドックス「クラスの存在保証」
制限内包性公理「要素のドメインを集合に限定したもの」
Neumann-Bernays-Gödel集合論「クラスを矛盾なく扱いたい」
真のクラス「集合ではないが何かの集まりではある」
素朴集合論
これはいわゆる「発想段階の集合論」で
\begin{array}{ccc} \mathrm{All} &&\to&& \mathrm{Set} \end{array}
特に何か制限や決まりは無く
「集合」という概念自体も特に定義されていません。
\begin{array}{ccc} \mathrm{Naive} && \mathrm{Axiom} \\ \\ \mathrm{Set}？ &≒& \mathrm{Set} \end{array}
なのでここで扱われる「集合」は
厳密には「集合論で扱われる集合」ではなく
この記事の主題である「クラス」に近い概念になります。
無制限内包
どんな条件 φ を考えても
\begin{array}{ccc} φ(x) && \Longleftarrow && x は条件 φ を満たす \end{array}
↓ みたいな集合が作れる
\begin{array}{ccc} φ(x) &&\to&& \{ x \mid φ(x) \} \end{array}
これが「内包的定義」と呼ばれるもので
「素朴集合論」ではこの x に制限がありません。
ラッセル集合
「順序」を考えた時
\begin{array}{ccc} S&\in&S \end{array}
こんな形の集合を作ると順番が分からない
（例えば S=\{S\} とかは一番下が分からない）
\begin{array}{ccc} S & \not\in &S \end{array}
だから「順番が分かるもの」だけ集めてみよう
\begin{array}{ccc} R &=& \{ S \mid S\not\in S \} \end{array}
そんな発想から得られたのがこの集合で
（集合全体という概念を前提にしている点が重要）
\begin{array}{ccc} R&\in& R && ？ \\ \\ R&\not\in& R && ？ \end{array}
後に結果として
これが「素朴集合論」の欠陥を浮き彫りにします。
（素朴集合論では常に集合全体から要素をとる）
ラッセルのパラドックス
|| クラスの存在証明
「素朴集合論」で見つかった矛盾のこと
\begin{array}{lcl} R&=&\{S \mid S∉S\} \end{array}
先ほど考えたこんな集合を考えてみた時
\begin{array}{ccc} R&\in& R && ？ \\ \\ R&\not\in& R && ？ \end{array}
果たしてこの R は R に含まれるのか
あるいは含まれないのか
考えてみるとよく分かりませんが
\begin{array}{ccc} R&\in& R && × \\ \\ R&\not\in& R && × \end{array}
結果、こんな感じになっちゃうので
これは「ラッセルのパラドックス」と呼ばれています。
（ R に含まれるとも含まれないとも言えない）
所在の検証
「排中律」を考えれば
\begin{array}{lcl} A&∨&\lnot A &&\Longleftrightarrow&& \mathrm{True} \\ \\ R\in R &∨& \lnot (R\in R) &&\Longleftrightarrow&& \mathrm{True} \end{array}
これはきちんと２択になるはずで
どちらにもならないとは考え辛いです。
（ R\not\in R の定義は \lnot (R\in R) これ）
しかし確認してみると
\begin{array}{ccc} R\in R &&\to&& R\not\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \end{array}
こちら側はこうなり
（ R 自身は順番を壊さない？）
\begin{array}{ccc} R\not\in R &&\to&& R\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \end{array}
こちら側もこうなるので
（入る方が間違いなら入らないはず）
\begin{array}{ccc} R&\in& R && × \\ \\ R&\not\in& R && × \end{array}
こんな結論が得られてしまいます。
（これがラッセルのパラドックス）
ラッセルのパラドックスの結論
整理すると
\begin{array}{ccc} R&=& \{ S \mid S\not\in S \} \end{array}
簡単に定義できて
「存在するはずのもの」が
（この時点では材料の使用法に制限が無い）
\begin{array}{ccc} R\in R &&\to&& R\not\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \\ \\ R\not\in R &&\to&& R\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \end{array}
「存在しない」というのが
このパラドックスの端的な結論になります。
（パラドックスは R が存在するという仮定の下で成立）
集合論の欠陥という解釈
このパラドックスの発見当時
これは「集合論の不備」と解釈されて
（この時点の集合論は後に素朴集合論と呼ばれる）
\begin{array}{ccc} 集合論？ &&\to&& 素朴集合論 \end{array}
「無制限の内包」を見直すきっかけになり
\begin{array}{ccc} パラドックスの回避 &&\to&& 公理的集合論 \end{array}
果ては「集合論」自体を厳密に定義し
そのルールを整備するきっかけにもなりました。
（現代の公理的集合論はこれがあったから生まれた）
真クラスの存在保証という解釈
この結果として
「集合」という概念が厳密に定義され
（集合の公理に矛盾しないものだけが集合）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Axiom} &&\to&& \mathrm{Set} \end{array}
「集合ではないが存在する」ものとして
（クラスはこれと集合の総称）
\begin{array}{ccc} R &\not\in& \mathrm{SET} \\ \\ R &\mathrm{is}& \mathrm{Class} && \mathrm{NBG} \end{array}
これは解釈されるようになりました。
（これに真クラスという名前が付いた）
制限内包性公理
↑ を解決したい
この要請により得られた成果が
\begin{array}{lcccr} φ(x) &&\Longrightarrow && \{ x \mid φ(x) \} && △ \\ \\ φ(x) &&\Longrightarrow && \{ x\in S \mid φ(x) \} && 〇 \end{array}
「無制限の内包」を制限する
「制限内包性公理（分出公理・分離公理）」で
\begin{array}{ll} \forall S&\exists{}S_{\mathrm{intension}}{}&{}\forall x&\Bigl(&x\in{}S_{\mathrm{intension}}⇔\Bigl(x\in{}S∧\varphi(x)\Bigr)&\Bigr) \end{array}
これは「要素を持ってくる場所」を
『議論領域』ではなく『集合』に限定することで
\begin{array}{l}R&\in&S\end{array}
こうならないようにしています。
（ R はどの集合にも含まれないことを利用）
論理式から見る違い
比較しておくと
\begin{array}{ccc} x\in S_{\mathrm{intension}} &\Longleftrightarrow& \varphi(x) \end{array}
「無制限の内包」はこうで
（議論領域全体から述語 φ により要素が定義される）
\begin{array}{ccc} x\in S_{\mathrm{intension}} &\Longleftrightarrow& \Bigl(x\in S∧\varphi(x)\Bigr) \end{array}
「制限内包性公理」はこうです。
（議論領域内で定義されている集合 S から要素をとる）
制限内包性公理の発想
なんでこうするとうまくいくのか
\begin{array}{ccc} R\in R &&\to&& R\not\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \\ \\ R\not\in R &&\to&& R\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \end{array}
これは「ラッセルのパラドックス」で得られた結果から
（集合に含むとも含まないとも言えない）
\begin{array}{ccc} R &\not\in& \mathrm{SET} \end{array}
このような「 R を追い出す」という方向で考えると
（ R が集合の要素にならないようにする）
\begin{array}{ccc} \varphi(x) &&\to&& x\in S∧\varphi(x) \end{array}
なんとなく自然な発想であることが分かります。
（集合 S の要素に R はならない）
制限内包性公理と無制限内包
発想の流れを追っていくと
\begin{array}{ccc} ラッセルのパラドックス \\ \\ ↓ \\ \\ 例外となるRを排除したい \end{array}
まず始めは「例外の排除」
これはまあ普通の発想ですね。
\begin{array}{ccc} 例外となるRを排除したい \\ \\ ↓ \\ \\ Rをそもそも作れなくしたい \end{array}
そしてここから
「 R という矛盾が作られない」ような
そんな理屈を考えるという発想に繋がるわけですが
\begin{array}{ccc} Rをそもそも作れなくしたい \\ \\ ↓ \\ \\ Rを作れる材料に問題が？ \end{array}
この時点では
まだ「 R を作れなくする方法」は曖昧です。
ただこれは
「無制限の内包」という
\begin{array}{ccc} φ(x) &\to& x \in S \end{array}
直感的に考えてまずそうな操作が普通にあるので
（他の操作は帰属関係 \in と \lnot くらい）
\begin{array}{ccc} Rを作れる材料の問題点 \\ \\ ↓ \\ \\ 無制限内包に注目 \\ \\ ↓ \\ \\ 内包の範囲は制限が必要？ \end{array}
ここまでは普通に分かります。
そしてここまで分かれば
\begin{array}{ccc} 内包の範囲は制限が必要？ \\ \\ ↓ \\ \\ どのように制限すれば良いのか \\ \\ ↓ \\ \\ とりあえず問題の無い集合だけで考えてみる \end{array}
こういった発想には自然に繋がるので
\begin{array}{ccccl} φ(x) &&\to&& x\in 有限集合 &∧&\varphi(x) \\ \\ φ(x) &&\to&& x\in 有限の自然数 &∧&\varphi(x) \\ \\ φ(x) &&\to&& x\in 自然数全体 &∧&\varphi(x) \\ \\ φ(x) &&\to&& x\in 実数全体 &∧&\varphi(x) \end{array}
後は帰納的に推論をしていけば
（ここのドメインを「問題の無い集合」に拡張）
\begin{array}{ccc} φ(x) &&\to&& x\in 問題の無い集合 &∧&\varphi(x) \end{array}
この形を推測することができます。
（これがそのまま制限内包性公理になった）
\mathrm{Neumann}\text{-}\mathrm{Bernays}\text{-}\mathrm{Gödel} 集合論
これは「 \mathrm{Zermelo}\text{-}\mathrm{Fraenkel} 集合論」に
\begin{array}{ccc} \mathrm{ZF}+\mathrm{Class} &&\to&& \mathrm{NBG} \end{array}
「クラス」を矛盾なく導入した集合論のことで
（要はクラス周りを整備した成果物）
\begin{array}{lc} 全ての集合 &\to& \mathrm{SET} \\ \\ 全ての順序数 &\to& \mathrm{ON} \end{array}
こういった「クラス」を扱う時に
『矛盾が発生しないようなルール』
これを提供するという役割を担っています。
\mathrm{ZF} ではクラスを扱えない
「 \mathrm{ZF} 集合論」で扱えるのは
「問題の無い集合（集合の厳密な定義）」のみで
\begin{array}{ccc} \mathrm{Set} &\to& \mathrm{Class} && × \end{array}
「クラス（真クラス）」を記述することはできません。
（ \mathrm{ZF} 内で触れるのは集合だけ）
\mathrm{ZF} 内における「クラス」とは
あくまで「理論の外側」にあるもので
理論内では「存在しない」という扱いになります。
導入された定義
この狭さを取り払った
\begin{array}{ccl} \mathrm{Set}(X) &←& Xは集合である \\ \\ \mathrm{ProperClass}(X) &←& Xは真のクラスである \end{array}
「拡張された \mathrm{ZF} 」が \mathrm{NBG} で
\begin{array}{ccc} \mathrm{Set}(X) &\Longleftrightarrow& \exists Y \,\, X\in Y \end{array}
「集合である」の厳密な定義を筆頭に
（要素になれるというのが集合の定義）
\begin{array}{ccc} \mathrm{ProperClass}(X) &\Longleftrightarrow& \lnot \mathrm{Set}(X) \end{array}
「真クラス」の厳密な定義や
（真のクラスは要素になれない）
\begin{array}{ccc} C &=& \{ x \mid x=x \} \end{array}
「全体クラス」なんかを
\mathrm{NBG} は \mathrm{ZF} に追加しています。
真クラスは要素では無いとする
「ラッセルのパラドックス」や
\begin{array}{ccc} R\in R &&\to&& R\not\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \\ \\ R\not\in R &&\to&& R\in R && \because R=\{ S\mid S\not\in S \} \end{array}
「ブラリ=フォルティのパラドックス」を見れば
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(\mathrm{ON}) &\Longrightarrow& \mathrm{ON} \in \mathrm{ON} \end{array}
「帰属関係」で
\begin{array}{ccc} R &\in& ～ \\ \\ \mathrm{ON} &\in& ～ \end{array}
問題のやつらが
「要素側に来る」ことが問題だと推測できるので
（全体は α\in \mathrm{ON} 常に右側だとするのが自然）
その結果として
\begin{array}{ccl} \mathrm{ProperClass}(X) &\Longleftrightarrow& \lnot \mathrm{Set}(X) \\ \\ \mathrm{ProperClass}(X) &\Longleftrightarrow& \lnot \Bigl( \exists Y \,\, X\in Y \Bigr) \end{array}
「真クラス」は
「要素にならない」と定義されています。
（後で検証してみたら問題が見つからなかった）
拡張された公理
この定義における C がドメインになる
\begin{array}{ccc} \mathrm{Set} &\to& \mathrm{Class} \end{array}
この結果として
\mathrm{ZF} の各公理のドメインは
「集合」から「クラス」に拡張されていて
\begin{array}{ccc} \forall X \forall Y & \Bigl( \forall S \,\, S\in X ⇔S\in Y \Bigr) ⇒ X=Y \end{array}
例えば「外延性公理」における
S\in X の X は「クラス」になります。
（他の公理も形は変わらずドメインだけ広がっている）
再調整された内包性公理
\mathrm{ZF} の公理で違いがあるのは
\begin{array}{ccc} \{ S\in U \mid \mathrm{Set}(U) ∧φ(S) \} \end{array}
「制限内包性公理」のみで
（他はドメインがクラスになるだけ）
これは \mathrm{NBG} では
\begin{array}{ccc} \exists C & \forall S & S\in C ⇔ φ(S) \end{array}
「無制限内包」に近い形で
このように拡張されています。
（ φ で量化できるのは集合に限る）