量化子 Quantifier

|| 量を扱うための形式的な表現

「量を表す時の表現方法」のこと

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目次

全称量化子「条件を満たすもの全てを表す」

存在量化子「条件を満たすものが存在することを表す」

量化子と数学の関係「なんで真偽が判定できるのか」

全称量化と存在量化の関係「全の否定と存在の否定」

真偽と量化子

そもそもの話

量化子（全て・存在するなど）は

\begin{array}{ccc} 全て～だ &\to& 真偽確定 &&？ \end{array}

どうして数学で扱えるんでしょう。

\begin{array}{ccc} 自然言語 &\to& 全て &\to& \forall \\ \\ 自然言語 &\to& 存在 &\to& \exists \\ \\ 自然言語 &\to& ほとんど &\to& a.e. \end{array}

「全て」も「ほとんど」も「存在する」も

あくまで『人間の作った言語』で

\begin{array}{ccc} 数学 &\to& ∀ && × \end{array}

初めから『数学的に扱える』と

『分かった上でデザインされたもの』ではありません。

（あくまで由来は直感的な自然言語）

真偽と記号

「数学的に扱える」とは何か

「真偽が確定する」とは何か

\begin{array}{ccc} 真偽 &←& 言語の解釈 \end{array}

これを考えるためには

『意味』について考察する必要があるんですが

（これの詳細はモデル理論の記事で）

\begin{array}{ccc} AはBだよ &\to& 正しい？ &\to& 真偽確定 \end{array}

この辺りを考察していくと

\begin{array}{ccc} 主張の意味 &\to& 個人の解釈 &\to& 真偽確定 \end{array}

最終的には

必ず「人間の直感」に行き着き

\begin{array}{ccc} 真偽が確定するとは \\ \\ ↓ \\ \\ 真偽を確定できる対象が存在する \\ \\ ↓ \\ \\ なんらかの主張はそれに該当する \end{array}

その『解釈を行う対象』として

「主張・言明」を意味する「文」が出てきて

\begin{array}{ccc} 主張を表現するもの \\ \\ ↓ \\ \\ 文で表現される \\ \\ ↓ \\ \\ 文は記号で表現される \end{array}

その「文」を表現する「記号」が出てきます。

（現代数学ではこの『記号』が主な考察対象になっている）

記号と量化子の役割

この「記号」という表現方法の『省略』

\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} 1&は自然数 \\ \\ 2&は自然数 \\ \\ 3 & は自然数 \\ \\ \vdots \end{array} &\to& 全てのnは自然数 \end{array}

実はこれが「量化子」と呼ばれる記号の役割で

\begin{array}{ccc} n は自然数 &\Longleftrightarrow& \mathrm{Natural}(n) \end{array}

単純な話

\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} \mathrm{Natural}(1) \\ \\ \mathrm{Natural}(2) \\ \\ \mathrm{Natural}(3) \\ \\ \vdots \end{array} &\to& \forall n \,\, \mathrm{Natural}(n) \end{array}

「正しい主張を全て集める」なら

\begin{array}{ccc} 正しい主張 &\to& 正しい主張の全て &&先 \\ \\ その中の１つが正しい &←& 全て正しい && 後 \end{array}

「全て正しい」という主張は当然正しくなります。

（この感覚を公理として扱うのが現代数学）

全称量化子 \mathrm{All,Any}

|| 全てそうだという主張の形式表現

「 \mathrm{All,Any} 」の頭文字を逆にした記号 \forall のこと

\begin{array}{llllllllllll} \displaystyle \mathrm{For \,\, any} &x&,P(x) &&\Longleftrightarrow&& \forall x &P(x) \\ \\ P(x)&\mathrm{for \,\, any} &x &&\Longleftrightarrow&& \forall x &P(x) \\ \\ \\ \mathrm{For \,\, all} &x&,P(x) &&\Longleftrightarrow&& \forall x &P(x) \\ \\ P(x)&\mathrm{for \,\, all} &x &&\Longleftrightarrow&& \forall x &P(x) \end{array}

意味はこんな感じで

\begin{array}{ccc}∀x &P(x) &&\Longleftrightarrow&&P(a_1)∧P(a_2)∧ \cdots \\ \\ &{} &&\Longleftrightarrow&& \displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x) \end{array}

厳密な中身はこんな感じです。

（超限帰納法を用いれば無限方向に拡張できる）

記号の意味

全称量化の定義は

\begin{array}{ccc} \mathrm{For \,\, all} &x&,P(x) \end{array}

こんな感じで

（英語だとほんとそのまま）

\begin{array}{ccc} 全てのxについて、xはPである \end{array}

これのこういう直訳をよく見るんですが

これ、なんかよく分かんなくないですか？

（「について」の部分がなんかぼやけてる気が）

分かるならいいんですけど

\begin{array}{ccc} 全てのxは&Pという条件を満たす \\ \\ xは全て&条件Pを満たす \\ \\ \\ 条件Pを満たす&（全てのxは） \\ \\ 条件Pは満たされる&（全てのxで） \end{array}

こんな感じの意味で覚えた方が

たぶん理解しやすいと思います。

（どれも意味に差はありません）

命題記号との関連

「全称量化」は ↓ を意味する

\begin{array}{c} \forall x &P(x) &&\Longleftrightarrow&& \displaystyle\bigwedge_{x∈X}P(x) \end{array}

これについては

\begin{array}{ccc} \forall x\in \{0,1,2\} \,\, P(x) &\Longleftrightarrow& P(0)∧P(1)∧P(2) \end{array}

有限範囲を考えるとすぐに分かると思います。

（命題記号である論理積の知識は必要）

存在量化子 \mathrm{Exists}

|| 存在するという主張の形式表現

「 \mathrm{Exist} 」の頭文字を逆にした記号 \exists のこと

\begin{array}{llllll} \mathrm{There \,\,exists} &x& \mathrm{such \,\, that} &P(x) &&\Longleftrightarrow&&\exists x &P(x) \end{array}

意味はこんな感じで

\begin{array}{c} \exists x & P(x) &&\Longleftrightarrow&& P(a_1)∨P(a_2)∨\cdots \\ \\ & &&\Longleftrightarrow&& \displaystyle\bigvee_{x∈X}P(x) \end{array}

こっちは全称量化と対になっています。

（あっちは論理積でこっちは論理和）

記号の意味

こっちも英語はそのままなんですが

\begin{array}{ccc} \mathrm{There \,\,exists} &x& \mathrm{such \,\, that} &P(x) \end{array}

よく見る直訳は

\begin{array}{ccc} P(x) となるような x が存在する \end{array}

ちょっと分かり難い感じがします。

（「 P(x) となるような」の部分がなんか曖昧な気が）

なのでよく見る方が分かり辛いなら

\begin{array}{ccc} 条件Pを満たす & xが存在する \\ \\ xが存在する & （条件Pを満たすような） \end{array}

こっちの方で覚えてはいかがでしょうか。

（こっちの方が直感的なはず）

命題記号との関連

これも有限範囲で考えると

\begin{array}{c} \exists x & P(x) &&\Longleftrightarrow&& \displaystyle\bigvee_{x∈X}P(x) \end{array}

「１つでも成立すればいい」ということから

\begin{array}{ccc} \exists x\in \{0,1,2\} \,\, P(x) &\Longleftrightarrow& P(0)∨P(1)∨P(2) \end{array}

意味的に同じことが直感的に分かると思います。

（全部の x で P(x) が偽なら両方とも偽）

量化記号の解釈

この「量化記号」についてですが

\begin{array}{ccc} \forall x \,\, P(x) &\to& 全てのxは条件Pを満たす \\ \\ \exists x \,\, P(x) &\to& 条件Pを満たすxが存在する \end{array}

これらは『こうだ！』と言っているので

\begin{array}{ccc} xは条件Pを満たす &\to& P(x)は真である \\ \\ 条件Pを満たすxが存在する &\to& P(x) は真である \end{array}

実はこのような『主張』を意味しています。

（構成としては「～は～である」と同型）　

全と存在の関係

これもまた解釈になりますが

\begin{array}{ccc} 全てのxがP(x)を満たす &\Longrightarrow& P(x)を満たさないxが無い \\ \\ 全てのxがP(x)を満たさない &\Longleftarrow& P(x)を満たすxが存在しない \end{array}

この２つはこのような意味も持つことから

（下の P(x) を \lnot P(x) に入れ替えれば）

\begin{array}{lcl} \forall x \,\, P(x) &\Longleftrightarrow& \lnot \exists x \,\, \lnot P(x) \\ \\ \forall x \,\, \lnot P(x) &\Longleftrightarrow& \lnot \exists x \,\, P(x) \\ \\ \\ \exists x \,\, P(x) &\Longleftrightarrow& \lnot \forall x \,\, \lnot P(x) \\ \\ \exists x \,\, \lnot P(x) &\Longleftrightarrow& \lnot \forall x \,\, P(x) \end{array}

こういった関係であると言えるので

これもまた公理として定められています。

集合と量化子

「量化子」の中でも特に「全称量化」は

「内包性公理」に深く関わっていて

\begin{array}{ccc} \forall x\in \{x\in D \mid P(x) \} &\Longleftrightarrow& \forall x \,\, x\in D⇒φ(x) \end{array}

このような集合を厳密に考える時

「全称量化」が必要になります。

ややこしい表現

この感覚から

\begin{array}{lcc} \{ x\in D \mid P(x) \} \\ \\ \{ x\in D \mid \forall x \,\, P(x) \} \end{array}

これらの意味があやふやになりますが

（内包性公理は条件 P(x) を満たす全ての x をとってくる）

\begin{array}{lcl} x\in D⇒P(x) &\Longleftrightarrow& D内のxの１つが条件P(x)を満たす \\ \\ x\in D⇒\forall x \,\, P(x) &\Longleftrightarrow& D内の全てのxが条件P(x)を満たす \end{array}

実は定義的にはこんな風になるので

\begin{array}{ccc} \{ x\in D \mid \forall x \,\, P(x) \} \\ \\ ↓ \\ \\ DにPを満たさないxが１つでもあれば空集合 \end{array}

ちゃんと分解すると全然違うものだと分かります。

（内包性を使う集合表現で量化は条件にあまり来ない）

全と存在の視覚イメージ

「集合」を使うと

\begin{array}{ccc} \forall x\in \{x\in D \mid P(x) \} &\Longleftrightarrow& \forall x \,\, x\in D⇒φ(x) \\ \\ \exists x\in \{x\in D \mid P(x) \} &\Longleftrightarrow& \exists x \,\, x\in D⇒φ(x) \end{array}

「 x をとる範囲 D 」を使えば

実はこれらのイメージはしやすくて

\begin{array}{ccc} \forall x \,\, x\in D⇒φ(x) \end{array}

「全称量化」と「存在量化」は

\begin{array}{ccc} \exists x \,\, x\in D⇒φ(x) \end{array}

それぞれこんな感じになっています。

（満ちてるのが全称で点在しているのが存在）