連立方程式について基本的なところから面倒なところまでいろいろまとめてみた

|| だいたい線形結合の話で見るやつ

たくさんの変数とたくさんの式

連立方程式 Simultaneous Equations

|| 複数の変数を複数の方程式で求める問題

具体的には ↓ みたいな形の式を

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ccc} x+y&=&0 \\ \\ 2x+3y&=&1 \end{array} \right. \end{array}$

「連立方程式」と言います。

（この両方に合う $x,y$ が求められる）

発想としては

「２直線の交点」問題から来ていて

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ccr} y&=& x+2 \\ \\ y&=&-x+5 \end{array} \right. \end{array}$

「連立方程式」はそれを表現する方法の１つになります。

（方程式の形を２直線問題にして更に変形した感じ）

行列 Matrix

|| 連立方程式を考えるための表現方法

これは見たまま「線形性」に由来するもので

$\begin{array}{ccc} ax+by=c &\longrightarrow& (a,b)\cdot (x,y)=c \end{array}$

「ベクトルの内積の形」と「連立方程式の形」

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{1}x+a_{2}y &=&c_1 \\ b_{1}x+b_{2}y &=&c_2 \end{array} \right. &\longrightarrow & \left( \begin{array}{ccc} a_1&a_2 \\ b_1&b_2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2 \end{array}\right) \end{array}$

そして「係数と変数を分離したい」という要望から

そのまま発想される形になります。

（昔は行列ではなく係数の配列）

行列の積 Matrix Product

↑ の形をそのまま表現するとして

（連立方程式の係数と変数の分離）

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} a_1&a_2 \\ b_1&b_2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} x \\ y \end{array}\right) &=& \left( \begin{array}{ccc} a_{1}x+a_{2}y \\ b_{1}x+b_{2}y \end{array} \right) \end{array}$

まずこの形が得られるというのがスタート地点

（復元操作は左の行と右の列を組み合わせる感じ）

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} a_1&a_2 \\ b_1&b_2 \end{array}\right) \end{array}$

この出発地点から

「係数の配列を操作したい」という動機が得られて

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} a&b \\ c&d \end{array}\right)+\left( \begin{array}{ccc} a_*&b_* \\ c_*&d_* \end{array}\right) &=& \left( \begin{array}{ccc} a+a_*&b+b_* \\ c+c_*&d+d_* \end{array}\right) \\ \\ r\left( \begin{array}{ccc} a&b \\ c&d \end{array}\right) &=& \left( \begin{array}{ccc} ra&rb \\ rc&rd \end{array}\right) \end{array}$

「和」や「定数倍」に続く操作として

（最初期は足したり引いたり代入したり）

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} a&b \\ c&d \end{array}\right)\left( \begin{array}{ccc} a_*&b_* \\ c_*&d_* \end{array}\right) &=&？ \end{array}$

「行列同士の掛け算のような操作」が試された。

ここまでが「行列の積」の初期段階で

$\begin{array}{ccc} 行列同士の掛け算 &\to& 意味ある？ \end{array}$

この時点ではまだよく分かっていません。

（設計思想も用途もよく分かっていない）

極座標表示と連立方程式

この操作が意識されるのは

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ccc} x&=& r\cos θ \\ y&=&r\sin θ \end{array} \right. &\to& \left\{ \begin{array}{ccc} x_*&=& r_*r\cos (θ+α) \\ y_*&=&r_*r\sin (θ+α) \end{array} \right. \end{array}$

「任意の座標 $(x,y)$ 」から

「好きな座標 $(x_*,y_*)$ に移動できる」ような

$\begin{array}{ccc} \cos (θ+α) &=& \cos θ\cos α - \sin θ \sin α \\ \sin (θ+α) &=& \sin θ \cos α +\cos θ \sin α \end{array}$

そういった操作を考えた時で

↑ の式から得られる

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{lcl} x_*&=& r_*r\cos (θ+α) \\ &=&r_*\Bigl( r\cos θ\cos α - r\sin θ \sin α \Bigr) \\ &=& r_*\Bigl( x\cos α - y\sin α \Bigr) \\ \\ y_*&=&r_*r\sin (θ+α) \\ &=&r_*\Bigl( r\sin θ \cos α +r\cos θ \sin α \Bigr) \\ &=& r_*\Bigl( y\cos α + x\sin α \Bigr) \end{array} \right. \end{array}$

↓ の形から

$\begin{array}{ccc} r_*\left( \begin{array}{ccc} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} x_* \\ y_* \end{array} \right) \end{array}$

この座標移動操作 $\mathrm{Move}$ を

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Move}(r,θ) &=& r\left( \begin{array}{ccc} \cos θ & -\sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array} \right) \end{array}$

複数回重ねる形を考えてみると

$\begin{array}{rcr} \mathrm{Move}(r_1,α)\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} x_* \\ y_* \end{array} \right) \\ \\ \mathrm{Move}(r_2,β)\mathrm{Move}(r_1,α)\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) &=& \mathrm{Move}(r_2,β)\left( \begin{array}{ccc} x_* \\ y_* \end{array} \right) \end{array}$

これは「計算過程が追跡できる座標」になるので

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Move}(r_2,β)\left( \begin{array}{ccc} x_* \\ y_* \end{array} \right)&=&\left( \begin{array}{ccc} x_{**} \\ y_{**} \end{array} \right) \end{array}$

その計算を正当化するための形式として

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Move}(r_2,β)\mathrm{Move}(r_1,α)\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right)&=&\left( \begin{array}{ccc} x_{**} \\ y_{**} \end{array} \right) \end{array}$

この形を自然に導くことができます。

（こうならないといけないことが分かる）

補足しておくと

$\begin{array}{ccc} r_2\left( \begin{array}{ccc} \cos β & -\sin β \\ \sin β & \cos β \end{array} \right) r_1\left( \begin{array}{ccc} \cos α & -\sin α \\ \sin α & \cos α \end{array} \right) \end{array}$

現代の『行列の積操作を行うのであれば』

（行と列を組み合わせる復元操作と同様の操作）

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Move}(r_2,β)\mathrm{Move}(r_1,α) &=& r_2r_1 \left( \begin{array}{ccc} \cos (β+α) & -\sin (β+α) \\ \sin (β+α) & \cos (β+α) \end{array} \right) \end{array}$

ここから加法定理の形が導かれます。

（これを正当化できる操作が行列積の原型）

また「無回転で伸縮無しの移動」は

（点をその場から動かさない移動）

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Move}(1,0) &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos 0 & -\sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{array} \right) \end{array}$

そのまま直感の通り「単位行列」の形になります。

（これが単位行列の正当性を支える基盤になる）

良い感じに見える定義

こういった具体的な操作から

$\begin{array}{ccc} AB&=&A\left( \begin{array}{ccc} b_{11}& b_{12} &\cdots &b_{1n} \\ \vdots &\vdots && \vdots \\ b_{n1}& b_{n2} &\cdots &b_{nn} \end{array} \right) \\ \\ &=& A\left( \begin{array}{ccc} b_1 &b_2 &\cdots & b_n \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{ccc} Ab_1 &Ab_2 &\cdots & Ab_n \end{array} \right) \end{array}$

「行列の積」の形は予想され

（少なくとも移動操作は正当化できる）

いろいろ調べていった結果

$\begin{array}{ccc} C&=&AB \\ \\ c_{ij} &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} \end{array}$

この操作は定着するに至りました。

（実際良くてそう定義してみたら良い感じだった）

連立方程式の一般形

↑ の表現方法が使えると

$\begin{array}{ccc} A=\left( \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)& X=\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) & C=\left( \begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2 \end{array} \right) \end{array}$

「連立方程式の形」は

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{1}x+a_{2}y &=&c_1 \\ b_{1}x+b_{2}y &=&c_2 \end{array} \right. &\longrightarrow& AX=C \end{array}$

このような「方程式の形」に整理されます。

（だから一般的には行列によって表現される）

行列の性質と解

また「行列の演算」や「逆行列」の性質から

（厳密には係数の配列を調べた結果）

$\begin{array}{lcl} A^{-1}A &=& I \\ \\ A_{2\times 2}^{-1}A_{2\times 2} &=& \left( \begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array} \right) \end{array}$

「連立方程式の解」は

$\begin{array}{rcc} A^{-1}AX&=&A^{-1}C \\ \\ IX&=&A^{-1}C \end{array}$

このような操作で得ることができます。

（行列はこれができる操作としても定義されている）

Gabriel Cramer の公式

「行列」の概念が存在せず

「行列の原型」に当たる「係数配列」の時代から

$\begin{array}{ccc} \mathrm{det}(A_{2\times 2}) &=& ad-bc \end{array}$

「逆行列」の原型となる概念と同様

「行列式」の原型に当たるものも既に発見されていて

（この時代はあくまで行列のような表現方法があるだけ）

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rcc} 2変数の解 \\ \\ 3変数の解 \\ \\ 4変数の解 \end{array} &\to& 連立方程式の解 \end{array}$

「2元一次連立方程式の解の形」から

「4元一次連立方程式の解の形」まで

$\begin{array}{ccc} x_n &=&\displaystyle \frac{\det(A_n)}{\mathrm{det}(A)} \end{array}$

「解の形の具体例」から

「連立方程式の一般解」も既に得られていました。

（この時点では帰納的に推測された予想の段階）

補足しておくと

$\begin{array}{lcc} A_1 & \to& \left( \begin{array}{ccc} c_1 &a_{12} \\ c_2 &a_{22} \end{array} \right) \\ \\ A_2 & \to& \left( \begin{array}{ccc} a_{11} &c_{1} \\ a_{12} & c_{2} \end{array} \right) \end{array}$

$A_n$ の中身はこんな感じです。

（ $n$ 列目を $C$ に置き換えた $A$ ）

ガウスの消去法

これは「連立方程式の解を得る」代表的な操作で

「解を得る基本操作」を整理した成果になります。

（これが整理されたのは行列が整理された後）

$\begin{array}{rcrcrcl} a_{11}x&+&a_{12}y&+&a_{13}z &=& c_1 \\ 0x&+&a_{22}y&+&a_{23}z &=& c_2 \\ 0x&+&0y&+&a_{33}z &=& c_3 \end{array}$

発想自体は「解に近い」この形を意味する

（一番下からすぐに解が得られる）

$\begin{array}{ccc} \triangle &=& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ 0 &a_{22}&\cdots &a_{2n} \\ 0 & 0 &\cdots &a_{3n} \\ \vdots &\vdots && \vdots \\ 0 & 0 &\cdots &a_{nn} \end{array} \right) \end{array}$

「三角行列の形」を目指す感じで

$\begin{array}{lcl} 係数配列 &\overset{解に近い形へ}{\longrightarrow} & 解に近い配列 \\ \\ 係数行列 &\overset{三角行列化}{\longrightarrow} & 解に近い行列 \end{array}$

その操作自体はかなり機械的になります。

（操作の発想自体は紀元前から存在していた）

消去行列 Elimination Matrix

「特定の成分を $0$ にする行列」のこと

（対角線 $n行n列$ にある成分は除く）

$\begin{array}{rcr} E_{21}AX &=& E_{21}C \\ \\ E_{31}E_{21}AX &=& E_{31}E_{21}C \\ \\ E_{32}E_{31}E_{21}AX &=& E_{32}E_{31}E_{21}C \end{array}$

これを「三角行列になるまで繰り返す」というのが

「ガウスの消去法」の具体的な中身になります。

発想自体はそのまま

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} a&b \\ c&d \end{array} \right) &\to& \left( \begin{array}{ccc} a_*&b_* \\ 0&d_* \end{array} \right) \end{array}$

「特定の要素を $0$ にできる」なら

「三角行列にできる」よねって話で

$\begin{array}{ccc} E_{21} && 2行1列目の成分を0に \end{array}$

「消去行列」に対する要請は非常に分かり易いです。

（ただし実際の操作は分かり辛い）

消去行列の中身

これは実はたくさんあって

$\begin{array}{ccc} I&\overset{単位行列をベースに}{\longrightarrow}&E \end{array}$

その中でもあまり計算せずに済むものは

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ * &*&* \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{lll} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21} &a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ * &*&* \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right) \end{array}$

操作を変えない「単位行列」から得られています。

（操作が変わらないものに手を加えて一部を変えたい）

より具体的には

$\begin{array}{lcc} E_{21}&=&\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ -k &1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \\ \\ E_{31}&=&\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0 &1&0 \\ -k&0&1 \end{array} \right) \end{array}$

こういう行列がそうで

（これは非対角成分を指定して消去できる）

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ -k &1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{lll} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21} &a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right) \\ \\ ↓ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} \textcolor{gray}{a_{11}}&\textcolor{gray}{a_{12}}&\textcolor{gray}{a_{13}} \\ -ka_{11}+a_{21}& -ka_{12}-a_{22} & -ka_{13}-a_{23} \\ \textcolor{gray}{a_{31}}&\textcolor{gray}{a_{32}}&\textcolor{gray}{a_{33}} \end{array} \right) \end{array}$

$\begin{array}{ccc} 0&=& -ka_{11}+a_{21} \\ \\ k&=& \displaystyle\frac{a_{21}}{a_{11}} \end{array}$

これは具体的な操作から予想することができます。

（変更された行以外は行列の積では変更されない）

操作の一般性

↑ の操作が全ての $n$ で成立することは

「単位行列の性質」から示すことができます。

（この感覚を使って得られたのが ↑ の消去行列）

というのも

「数学的帰納法」で使う命題 $P$ は

$\begin{array}{ccc} I_k &\Longleftrightarrow& k行目だけ変更された単位行列 \\ \\ A_{n} &\Longleftrightarrow& n\times nの正方行列 \end{array}$

具体例を一般化したこの行列から

$\begin{array}{ccc} P(n) &\Longleftrightarrow& 行列積 I_kA_{n} はA_nとk行目以外が一致 \end{array}$

こういう形で定義できて

（ $k$ の範囲は $k\leqn$ でこの時点では固定された定数）

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1&0 \\ *&* \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right)&=& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} \\ *&* \end{array} \right) \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} *&* \\ 0&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right)&=& \left( \begin{array}{ccc} *&* \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right) \end{array}$

初期状態 $2\times 2$ で確実に成立します。

（ここまでが数学的帰納法の材料）

数学的帰納法による整理

帰納法のステップを踏んで

$\begin{array}{ccc} P(n) &\Longleftrightarrow& 行列積 I_kA_{n} はA_nとk行目以外が一致 \end{array}$

$n$ の場合での成立を仮定し

$n+1$ で $P$ の成立を確認してみても

$\begin{array}{ccc} A_{n+1} &=& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&\cdots&a_{1n}&a_{1,n+1} \\ \vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}&a_{n,n+1} \\ a_{n+1,1}&\cdots&a_{n+1,n}&a_{n+1,n+1} \end{array} \right) \end{array}$

この部分と

（ $A_n$ に成分を付け足したもの）

$\begin{array}{ccc} I_k^{n+1} &\Longleftrightarrow& I_kをn+1×n+1にしたもの \end{array}$

$\begin{array}{ccc} I_k^{n+1} &=& \left( \begin{array}{ccc} 1&0&\cdots &0&0 \\ \vdots & \vdots && \vdots &\vdots \\ *&*&\cdots &*&0 \\ \vdots & \vdots && \vdots &\vdots \\ 0&0&\cdots &1&0 \\ 0&0&\cdots &0&1 \end{array} \right) \end{array}$

この部分から得られる

（ $P(n)$ の成立のみなので $k$ 行 $n+1$ 列目を $0$ とおく）

$\begin{array}{ccc} I_k^{n+1}A_{n+1} &=& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&\cdots&a_{1n}&a_{1,n+1} \\ \vdots & &\vdots &\vdots \\ *& \cdots&*& * \\ \vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}&a_{n,n+1} \\ a_{n+1,1}&\cdots&a_{n+1,n}&a_{n+1,n+1} \end{array} \right) \end{array}$

ここまでの計算は

（ $n+1$ 行目と $n+1$ 列目だけ見れば良い）

$\begin{array}{lcl} I_k^{n+1}のn+1行目 &\to& n+1列目が1で他0 \\ \\ &\to& n+1行目の計算結果が分かる \end{array}$

この計算だったり

（ $1$ の部分だけ見れば良いので確認可能）

$\begin{array}{lcl} k行目以外i行i列目は1で他0 \\ \\ k行目以外のn+1列目の計算結果が分かる \end{array}$

この計算だったりでけっこうややこしいですが

（ $k$ 行目は $P$ の内容的に確認不要）

$\begin{array}{ccc} P(n)が成立（仮定） &\to& P(n+1)も成立 \end{array}$

やはり同様の結果が得られるため

「全ての $n$ で $P(n)$ は成立する」と言えます。

（数学的帰納法の要件を満たす）

厳密な形式

ちょっと大変なので結論だけ話しますが

$\begin{array}{ccl} I_k &\Longleftrightarrow& k行目だけ変更された単位行列 \\ \\ P(k,n,A) &\Longleftrightarrow & 行列積 I_kA はAとk行目以外が一致 \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \forall k & \forall n≥k & \forall A & P(k,n,A) \end{array}$

この定理の正確な表現はこんな感じです。

（ ↑ の話を更に整理して厳密な表現にしたもの）

$\begin{array}{ll} kを任意にとる \\ \\ k以上のnを任意にとる \\ \\ nに合ったAをとる \end{array}$

こちらの方の証明は

↑ の証明での $A$ の固定タイミングがずれるくらいで

$\begin{array}{ccl} kを任意にとる &\to& ここからP(n+1)を示す \\ \\ &\to& 証明初期で A は固定されてない \end{array}$

基本的にはほぼ同じ内容になります。

（ $P(n)$ の成立という仮定の後に $A$ は任意にとれる）

解の存在条件

直感的に分かる通り

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ccc} 2x+3y &=& 1 \\ 0x+0y&=&0 \end{array} \right. \end{array}$

連立方程式の形の中には

明らかに「解が得られないもの」が存在します。

（こういった場合は任意定数解を設定する）

現代ではこれが整備され

$\begin{array}{lcl} 一意解がある && \mathrm{Rank}(A)=n∧\mathrm{det}(A)≠0 \\ \\ 任意解がある && \mathrm{Rank}(A)<n \\ \\ 解無し && n<\mathrm{Rank}(A) \end{array}$

「解の条件」は明確化されていますが

（階数 $\mathrm{Rank}$ や解の詳細は後述）

ここまでガチガチに考えなくても

$\begin{array}{lcl} 一意解の存在 && 式の数 = 変数の数 \\ \\ 任意解の存在 && 式の数<変数の数 \end{array}$

こんな感じの条件であることは

帰納的な推測により予想できます。

（実際、遥か昔から予想段階の条件は存在していた）

解 Solution

そもそも「連立方程式の解」とはなんなのか

$\begin{array}{ccc} 連立方程式 &\to& x=0,y=1 \end{array}$

これについても直感的には分かるわけですが

よく考えるとちょっと曖昧だと思います。

（変数がとれる定数とかなんとか）

$\begin{array}{ccc} x+2y=-1 &\to& x+2y+1=0 \\ \\ &\to& f(x,y)=0 \end{array}$

現代では ↓ のような形から

（連立方程式を方程式系と定義する）

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{lcc} f_{1}(x_1,x_2,...,x_n) &=& 0 \\ \\ f_{2}(x_1,x_2,...,x_n) &=& 0 \\ \\ & \vdots \\ \\ f_{m}(x_1,x_2,...,x_n) &=& 0 \end{array} \right. \end{array}$

「全ての方程式 $f_i$ の解」になるような

（連立方程式を方程式に分解して定義する）

$\begin{array}{ccc} (x_1,x_2,...,x_n)&=&(c_1,c_2,...,c_n) \end{array}$

「ペア」として定義されてるわけですが

（右の「解」は全ての方程式 $f_i$ を成立させる）

$\begin{array}{lcl} 直感的な解 &\to& ペアという形式 \\ \\ 良い感じの定数 &\to&全ての方程式を満たす定数ペア \\ \\ x=1,y=0 &\to& (x,y)=(1,0) \end{array}$

なんかあ～って感覚になると思います。

（形式的に定義するとけっこうややこしい）

階数 Rank

これは「解の存在条件」を直接的に意味する数で

（これは近現代の整理により定義された概念）

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Rank}(A) &\Longleftrightarrow& Aの階段形の非0行の総数\end{array}$

こんな感じの意味を持つ数になります。

（「解に関わる式の数」の意味を厳密にした結果）

$\begin{array}{lcl} A=\left( \begin{array}{ccc} 1&1 \\ 0&3 \end{array} \right) &\to&\mathrm{Rank}(A)=2 \\ \\ A=\left( \begin{array}{ccc} 1&1&2 \\ 0&1&3 \end{array} \right) &\to&\mathrm{Rank}(A)=2 \\ \\ A=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&3 \\ 0&3&1 \\ 0&0&0 \end{array} \right) &\to&\mathrm{Rank}(A)=2 \\ \\ \\ A=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 0&5&1 \\ 0&0&7 \end{array} \right) &\to&\mathrm{Rank}(A)=3 \\ \\ A=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3&4 \\ 0&4&7&3 \\ 0&0&2&5 \end{array} \right) &\to&\mathrm{Rank}(A)=3 \end{array}$

具体的にはこんな感じです。

（三角化あるいは階段化した後に判断する感じ）

行基本変形 Elementary Row Operations

「階段の形（三角化の一般形）」にする操作のこと

（ガウスの消去法を一般化して整理したもの）

$\begin{array}{lcl} 正方行列 &\to& 三角行列 \\ \\ 一般の行列 &\to& 階段行列 \end{array}$

「正方行列への操作」から一般化され

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) &\to& \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \end{array} \right) \end{array}$

「正方行列以外」も整理できるようにしたのがこれで

（階数の定義に必要不可欠であることから）

具体的には

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1&0 &0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} & a_{13} &a_{14} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} &a_{34} \end{array} \right) \\ \\ ↓ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} & a_{13} &a_{14} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} &a_{34} \end{array} \right) \end{array}$

この操作の形から分かるように

（行と列の数が一致していればいい）

$\begin{array}{ccc} E\left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} &a_{34} \end{array} \right) \end{array}$

そのまま「ガウスの消去法」を使えば実現できます。

（一般化の証明も正方行列とほぼ同じロジックで可能）

解の分類

これは古代の時点でかなり分かっていて

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ccc} y&=& 3x+1 \\ y&=& 2x-3 \end{array} \right. \end{array}$

「直線と式の数」問題の考察から

$\begin{array}{lcl} 式と未知数が同じ && 交点あり \\ \\ 式が少ない && 交点が無限に \\ \\ 式が多い && 交点が無いことがある \end{array}$

大まかな分類は古くから確立されていました。

（現代では精度は上がったが分類上の変化は無い）

一意解 Unique Solution

これになる条件はけっこう直感的で

$\begin{array}{ccc} 式の数 = 未知数の数 &\to& 一意解 \end{array}$

↑ で紹介したように

古い時代ではこのようになっていて

$\begin{array}{ccc} 式の数=未知数の数&∧&\mathrm{det}(A)≠0 \end{array}$

「行列式の原型 $\mathrm{determinant}$ 」の発見から

このような条件が加えられた後

（逆行列の形に由来する）

現代ではそのまま

「階数（整理された式の数）」で

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Rank}(A) =|X| &∧&\mathrm{det}(A)≠0 \end{array}$

このように表現されています。

（ $|X|$ は未知変数の数を表しているとする）

任意定数解 Arbitrary Constant Solution

これの条件は

↑ が分かっていれば非常にシンプル

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Rank}(A) &<& |X| \end{array}$

直感通りこのままで

他の条件は特にありません。

（ $0$ のみの行がカウントされない定義）

また直感的な条件である

$\begin{array}{ccc} Aの行数 &<& 変数の数 \\ \\ \mathrm{Row}(A) &<& |X| \end{array}$

「式の数（ $A$ の行数）」をそのまま使っても

$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ 0&a_{22}&a_{23} \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right) \end{array}$

これもまた同様に「任意定数解」の条件になります。

（より正確かつ広範囲なのが階数による定義）

解無し No Solution

これは一般形だと実感し辛いですが

$\begin{array}{ccc} |X|&<&\mathrm{Rank}(A) \end{array}$

「階数」が「階段化された行列」に定義されているため

条件自体は非常に分かり易いです。

目次