|| 順序がちゃんと分かる数
「自然数を拡張した数」のこと
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目次
有限順序数「つまりは自然数のこと」
無限順序数「自然数の範囲を超えた数」
自然数「人間の直感に根差した数」
加法「和を得る操作（足し算のこと）」
大小関係「どちらが大きいか小さいか」
全順序関係「全ての要素の順番を決められる関係」
整列集合「全ての部分集合が最小元を持つ全順序集合」
順序数「自然数から無限まで拡張した数」
順序数の要請的定義「順序数はこんな感じのやつ」
順序数の構成的定義「この形のやつは順序数」
まず感覚的な話からしておくと
\begin{array}{ccc} \mathrm{Natural}+\mathrm{Infinite} &\to& \mathrm{Ordinal} \end{array}
この「順序数」という概念は
「自然数の拡張」という意味で
『数学の背骨』になる概念になります。
というのも
我々が直感的に理解しやすい数は「自然数」です。
\begin{array}{lcl} \mathrm{Natural} &: & 0,1,2,3,...,n,... \\ \\ \mathrm{Ordinal} &:& 0,1,2,3,...,n,...,ω_0,ω_0+1,...,ω_0+ω_0,... \end{array}
これを無限方向に拡張したのが順序数なんですが
\begin{array}{ccc} n &<& ω_0 \end{array}
↑ を見れば分かる通り
「自然数の範囲」には限界がありますから
\begin{array}{ccc} α<ω_0 &∨&ω_0≤α \end{array}
その限界を取り払った「順序数」は
当然より広い範囲に関わることが可能になっています。
（これの詳細は超限帰納法の記事に続く）
有限順序数
まず実感しやすい話からしておくと
\begin{array}{llllll} 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,n,... \end{array}
「有限」とあるように
『有限順序数』は「有限範囲の順序数」のことで
これはそのまま「自然数」を意味しています。
無限順序数
ここからが「自然数」とは完全に異なる部分で
\begin{array}{lcl} ω_0 &=&\displaystyle \bigcup_{n\in N} n \\ \\ &=& \{ k \mid \exists n\in N \,\, k\in n \} \\ \\ &=& \{0,1,2,3,4,5,...,n,...\} \end{array}
『自然数全体の集合』として
「極限順序数 ω_0 」はこのように定義され
（これは基数同様に加算無限を表す順序数）
\begin{array}{lcl} n&\in & \textcolor{skyblue}{ω_0} \\ \\ n&<&\textcolor{skyblue}{ω_0} \end{array}
これの順序および大小関係は
このような形で定義されます。
（推移律を満たす \in は大小関係 < として解釈できる）
加算無限より大きな順序数
補足しておくと
\begin{array}{lcl} α+1 &=& α ∪ \{α\} \\ \\ ω+1&=&ω∪\{ω\} \end{array}
この「順序数の定義」から
（これの詳細は後述）
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0,1,2,3,...&<&ω&<&\textcolor{skyblue}{ω+1} \end{array}
実はこのような
「加算無限より大きな順序数 ω+1 」という
「比較できる無限」を定義することが可能で
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω+(n+1)&=&ω+n∪\{ω+n\} \end{array}
同様に定義を使えば
このような無限もまた構築できます。
以下、同様の手順を用いれば
\begin{array}{lcl} 1,2,3,...,n,...&<& ω \\ \\ ω,ω+1,...,ω+n,...&<&\textcolor{skyblue}{ω+ω} \\ \\ \textcolor{skyblue}{ω+ω},ω+ω+1,...,ω+ω+n,... &<& ω+ω+ω \end{array}
これはどこまでもどこまでも定義でき
\begin{array}{lcl} ω,...,2*ω,...,3*ω,... &<& \textcolor{skyblue}{n*ω} \end{array}
演算方法が存在する限り
\begin{array}{lcl} n*ω,...,\textcolor{skyblue}{(n+1)ω},... &<&\textcolor{skyblue}{ω*ω} \\ \\ \textcolor{skyblue}{ω^2},...,ω^3,...,\textcolor{skyblue}{ω^n},...&<&\textcolor{skyblue}{ω^ω} \\ \\ \textcolor{skyblue}{ω^ω},...,\textcolor{skyblue}{ω^{ω^ω}},... &<& \textcolor{skyblue}{ω^{ω^{ω...}}} \\ \\ \textcolor{skyblue}{ω^{ω^{ω...}}},... &<& \textcolor{skyblue}{ω_1} \\ \\ \textcolor{skyblue}{ω_1},...,\textcolor{skyblue}{ω_2},...,\textcolor{skyblue}{ω_n},... &<& \textcolor{skyblue}{ω_ω} \end{array}
どこまでも大きくすることができます。
（果てが無さ過ぎてとあるエラーが起きます）
自然数 Natural Number
「順序数」の厳密な定義は複雑ですが
「ペアノの公理」について理解していれば
（自然数の構造を一般化したのがペアノの公理）
\begin{array}{rcr} && 0 \in N \\ \\ 0 \in N &\to& 0+1 \in N \\ \\ 1 \in N &\to& 1+1 \in N \\ \\ &\vdots \end{array}
定義の意味を理解しやすいです
（これは厳密には加法の後に定義可能）
数学的帰納法
これは「一般化」という操作を保証するための手段で
（ペアノの5番名の公理はこれを更に一般化したもの）
\begin{array}{ccc} P (0) ∧ \Bigl( \forall n \,\, P (n) ⇒ P (n+1) \Bigr) & ⇒ & \forall n \,\, P (n) \\ \\ P(1) ∧ \Bigl( \forall n \,\, P(n) ⇒ P(n+1) \Bigr) & ⇒ & \forall n \,\, P(n) \end{array}
本質的には
「直感的な予想を裏付ける」ための
\begin{array}{ccc} 0 &≤& 0+1 \\ \\ n &≤& n+1 \end{array}
「代数」操作の基礎になります。
（厳密にはペアノの公理により保証される）
後者関数 Successor
これは「加法 + 」を一般化した概念で
（ + を含めてあらゆる「次」を定義できる）
\begin{array}{ccl} 0 &=& × \\ \\ 1&=&\mathrm{Suc}(0) \\ \\ 2&=&\mathrm{Suc}(1) \\ \\ 3&=&\mathrm{Suc}(2) \\ \\ & \vdots \end{array}
「次の数」を出力する操作になります。
（足し算ではなくあくまで「次」を定義する）
加法 +
これはつまり「足し算」のことで
\begin{array}{ll} \forall n\in N & f_n(0)=n \\ \\ \forall n,m\in N & f_n \Bigl( \mathrm{Suc}(m) \Bigr) = \mathrm{Suc} \Bigl( f_n(m) \Bigr) \end{array}
厳密にはこのような「関数 f_n(m) 」として定義されており
（この f_n(m) が n+m の具体的な中身）
\begin{array}{ccc} \Bigl( \Bigl(n, \mathrm{Suc}(0) \Bigr) , \mathrm{Suc} \Bigl( f(n,0) \Bigr) \Bigr) \\ \\ \Bigl( \Bigl(n, \mathrm{Suc}(m) \Bigr) , \mathrm{Suc} \Bigl( f(n,m) \Bigr) \Bigr) \end{array}
その実体はこのようになっています。
（詳細は加法の唯一存在定理の記事で）
大小関係
これは「大きさ」を比較する操作で
\begin{array}{ccc} \forall n,m\in N & n≤m &\Longleftrightarrow& \exists k\in N \,\, n+k=m \end{array}
厳密には「加法」により定義されています。
（加法が定義されてないと厳密には定義できない）
全順序関係 Total Order
この「大小関係は全順序関係」なんですが
（順序関係＋完全律が全順序関係）
\begin{array}{lcll} 反射律 &:& \forall n\in N & n≤n \\ \\ 反対称律 &:& \forall n,m\in N & n≤m∧m≤n \,\, ⇒ \,\, n=m \\ \\ 推移律 &:& \forall n,m,k\in N &n≤m∧m≤k \,\, ⇒ \,\, n≤k \\ \\ 完全律 &:& \forall n,m\in N &n≤m∨m≤k \end{array}
これの概要は長くなるので
この記事では詳しく扱いません。
（どのみち順序数上でそうなるかはまだ不明）
より広範囲をカバーする順序公理
↑ の形を見ればなんとなくわかると思いますが
\begin{array}{lcll} 反射律 &:& \forall n\in N & n≤n \\ \\ 反対称律 &:& \forall n,m\in N & n≤m∧m≤n \,\, ⇒ \,\, n=m \\ \\ 推移律 &:& \forall n,m,k\in N &n≤m∧m≤k \,\, ⇒ \,\, n≤k \end{array}
実はこの「順序公理」は
「等号 = 」を前提としているため
（関係の定義に = の意味が含まれてる）
\begin{array}{lcll} 反射律 &:& \forall x\in R & x < x && × \\ \\ 反対称律 &:& \forall x,y \in R & x<y∧y<x \,\, ⇒ \,\, x=y && × \end{array}
「大小関係 < 」「帰属関係 \in 」のような
「等号の意味を持たない」ものはカバーできていません。
（逆に言えば等号の意味を持たせればカバーできる）
なのでこれらをカバーするためには
\begin{array}{lcll} 反射律 &:& \forall n\in N & n≤n \\ \\ 反対称律 &:& \forall n,m\in N & n≤m∧m≤n \,\, ⇒ \,\, n=m \\ \\ 推移律 &:& \forall n,m,k\in N &n≤m∧m≤k \,\, ⇒ \,\, n≤k \end{array}
この形の定義ではダメで
（厳密には等号を分離して考える場合）
\begin{array}{lcll} 非反射律 &:& \forall x\in S & \lnot (x<x) \\ \\ 非対称律 &:& \forall x,y\in S & x<y \,\, ⇒ \,\, \lnot (y<x) \\ \\ 推移律 &:& \forall x,y,z\in S & x<y∧y<z \,\, ⇒ \,\, x<z \end{array}
より厳密には
このような形の順序公理が必要になります。
（この時点だとこれは導けない）
順序公理と基礎公理
「集合論」の文脈で考えていくと
「帰属関係 \in 」は基礎的な概念なので
\begin{array}{l} S \in S && × \\ \\ A\in B\in A && × \end{array}
「矛盾してしまうものを否定する」ような
「多くの制限（公理）」が課されます。
（素朴集合論の矛盾を排除する手順）
その中でも
\begin{array}{ccc} \forall S & (S≠∅) \,\, ⇒ \,\, (\exists S_* \in S \,\, S∩S_*≠∅) \end{array}
「基礎の公理（正則性公理）」と呼ばれる制限は
（共通部分を持たない要素 S_* の存在を強制する）
\begin{array}{lcc} S & \in & S \\ \\ S_* & \in & S & \in & S_* \end{array}
特にこれらを否定し
「最小・底・基礎」の存在を間接的に保証します。
（集合論で矛盾してしまうような性質を否定）
そしてこれ
よく見てみると
\begin{array}{lcll} 非反射律 &:& \forall x\in S & \lnot (x<x) \\ \\ 非対称律 &:& \forall x,y\in S & x<y \,\, ⇒ \,\, \lnot (y<x) \end{array}
↑ で紹介した「順序関係」を意味する命題
\begin{array}{lcc} S & \in & S \\ \\ S_* & \in & S & \in & S_* \end{array}
これとよく似ていると思いますがいかがでしょう。
（つまり順序の公理の由来はこれ）
非反射律と基礎公理
これらが意味する
\begin{array}{ccc} 非反射律 &:& \forall x\in S & \lnot (x<x) \end{array}
「自己参照の否定」は
\begin{array}{ccc} \forall S & (S≠∅) \,\, ⇒ \,\, (\exists S_* \in S \,\, S∩S_*≠∅) \end{array}
「基礎公理」が保証したいことの１つで
（基礎公理は矛盾の形から予想できる）
これは以下のような
\begin{array}{ccl} S &\in & S \\ \\ && S&=&\{S\} \end{array}
「空ではない」「自己参照する」ものを想定すると
（ S=\{S\} が存在すると仮定する）
\begin{array}{lcc} S∩S &=& S \end{array}
明らかに「基礎公理」に反することから
「基礎公理」上ではアウトだとすぐに分かります。
（公理を満たす S だけが集合と定義されます）
非対称律と基礎公理
「順序」をぐちゃぐちゃにできる
\begin{array}{ccc} 非対称律 &:& \forall x,y\in S & x<y \,\, ⇒ \,\, \lnot (y<x) \end{array}
この「サイクル y<x<y を否定する」ことも
\begin{array}{ccc} \forall S & (S≠∅) \,\, ⇒ \,\, (\exists S_* \in S \,\, S∩S_*≠∅) \end{array}
「基礎公理」が保証したいことの１つで
（自己参照と合わせこれらを否定できるのがこの形）
似たような手順を経れば
\begin{array}{ccc} A &\in & B &\in& A &\in & B \end{array}
これらの要素を持つものとして
（このサイクルが存在すると仮定する）
\begin{array}{ccc} A,B &\in &S \\ \\ && S &=& \{ A,B \} \end{array}
このようなものが構成できるので
\begin{array}{ccc} S∩A &=& B \\ \\ S∩B &=& A \end{array}
これが「基礎公理に矛盾する」ことから
（ S の全ての要素の共通部分が空集合じゃない）
\begin{array}{ccc} A &\in & B &\in& A &\in & B \end{array}
このサイクルは存在しないと言えます。
（ S を含む集合も S が無いため存在しません）
基礎公理の掘り下げ
↑ だけだと
\begin{array}{ccl} S&=&\{S,e\} \\ \\ S&=&\{A,B,e\} \end{array}
例えばこういうものを考えた時
どうなるんだろうってなると思うんですが
\begin{array}{lcccl} S=\{S,e\} &&\to&& S_*=\{S\} \\ \\ S=\{A,B,e\} &&\to&& S_*=\{A,B\} \end{array}
これは ↑ が「存在する」とした
「仮定（間違ってるだろう）を否定する」形で
（要は和集合や部分集合の基礎操作で違反してしまう）
\begin{array}{ccc} S &⊂& S_*∩S \\ \\ \\ B &⊂& S_*∩A \\ \\ A &⊂& S_*∩B \end{array}
同様の理屈を用いればすぐに示すことができます。
（基礎公理はこうならないと制限して集合を定義している）
無限降下列の否定
↑ では主に
「自己参照」「サイクル」について見てきましたが
\begin{array}{ccc} \cdots &\in& S &\in & S_1 &\in& S_0 \end{array}
「基礎公理」には
このような「無限降下列」を否定する役割もあります。
（非可算でも降下列の集合を部分集合とすれば適用可）
証明は同様の手順で
\begin{array}{ccc} S_* &=& \{S_0,S_1,S_2,...\} \end{array}
このような S_* を考えることにより
（無限降下列が存在すると仮定して）
\begin{array}{ccl} S_*∩S_0 &=& S_1 \\ \\ S_* ∩ S_n &=& S_{n+1} \end{array}
このように共通部分をとれば
矛盾することを確認することができます。
（非可算無限集合でも可算無限範囲で降下列を選べる）
基礎公理により得られる要素は極小元になる
また「基礎公理」には
\begin{array}{ccc} \forall S & (S≠∅) \,\, ⇒ \,\, (\exists S_* \in S \,\, S∩S_*≠∅) \end{array}
「極小元」を提供する役割もあって
（極小元の定義には二項関係 <,\in が必要）
\begin{array}{ccc} \inf(S)=s &\Longleftrightarrow& s\in S ∧ \lnot \exists g\in S \,\, g<s \\ \\ \inf(S)=s &\Longleftrightarrow&s\in S ∧ \lnot \exists g\in S \,\, g\in s \end{array}
S_* は必ず「極小元 s 」になります。
（ここでは帰属関係 \in での順序付けの話とします）
極小元ではない要素が存在する？
証明は他と同様です。
\begin{array}{ccc} \forall S & (S≠∅) \,\, ⇒ \,\, (\exists α \in S \,\, S∩α≠∅) \end{array}
こういう α が存在するとして
（基礎公理により α の存在は保証される）
\begin{array}{ccc} γ &\in& S \\ \\ γ&\in& α \end{array}
「極小元である」ことを否定する要素 γ を考えると
（これの存在は間違ってるだろう仮定）
「 S,α の共通部分」をとれば
\begin{array}{ccc} ？ && \mathrm{definition} \\ \\ S∩α=\{γ\} && S∩α=∅ \end{array}
すぐに「 α の定義」と矛盾することが分かります。
（このような γ は存在しないので α は極小元）
帰属関係が順序関係になるとは限らない
念のため確認しておくと
\begin{array}{ccc} ∅ &\in& \{∅\} &\in & \Bigl\{ \{∅\} \Bigr\} \\ \\ ∅ &{} & &\not\in & \Bigl\{ \{∅\} \Bigr\} \end{array}
「帰属関係 \in 」は
一般的には「推移律」を満たしません。
（集合の構成に制限が必要だと分かる）
\begin{array}{lcc} S_n &\in & S_{n+1} && 〇 \\ \\ S_{0} &\in& S_{n+1} &&？ \end{array}
なのでこれは「順序関係ではない」んですが
（あくまで推移律を満たさないのであれば）
\begin{array}{ccc} S_{n+1} &=& 2^{S_n} \end{array}
例えばこのような
『推移律を満たす』構造を用意した場合
\begin{array}{ccc} S_{k<n} &\in & S_n \end{array}
この集合上では推移律を満たすようになるので
この場合の \in は「順序関係」になります。
順序集合 Order
「大小の比較ができる」とは何か
（順序を定める基礎的な要素は何か）
\begin{array}{lcll} 反射律 &:& \forall n\in N & n≤n \\ \\ 反対称律 &:& \forall n,m\in N & n≤m∧m≤n \,\, ⇒ \,\, n=m \\ \\ 推移律 &:& \forall n,m,k\in N &n≤m∧m≤k \,\, ⇒ \,\, n≤k \end{array}
この最小単位として
（ ↑ は順序の公理と呼ばれる R が満たすべき性質）
\begin{array}{lcll} 非反射律 &:& \forall x\in S & \lnot (x<x) \\ \\ 非対称律 &:& \forall x,y\in S & x<y \,\, ⇒ \,\, \lnot (y<x) \\ \\ 推移律 &:& \forall x,y,z\in S & x<y∧y<z \,\, ⇒ \,\, x<z \end{array}
「集合上の関係」を意味するセットという形で
\begin{array}{ccc} (S,R) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Ordered \,\, Set} \end{array}
これはこのように定義されています。
（集合 S 上の二項関係 R を意味するペアが本体）
最小元の定義
「最大」「極大」「極小」を含め
「最小」という概念はこの時点で定義されていて
\begin{array}{ccc} \min (S) =m &\Longleftrightarrow& m\in S ∧ \forall x\in S \,\, m ≤ x \end{array}
具体的にはこんな感じになっています。
（厳密には (S,≤) 上の話として定義されている）
少々ややこしいですが
例えば「 (S,\in ) のような順序集合」上の話としては
\begin{array}{ccc} \min (S) =m &\Longleftrightarrow& m\in S ∧ \Bigl( \forall S_* \in S \,\, m \in S_*∨m = S_* \Bigr) \end{array}
「全ての集合 S_* に含まれる」ものが
「最小元」と呼ばれる集合になります。
（全ての要素と比較できない場合は存在しない）
全順序集合 Total Order
この「順序集合」の中でも
\begin{array}{lcll} 反射律 &:& \forall n\in N & n≤n \\ \\ 反対称律 &:& \forall n,m\in N & n≤m∧m≤n \,\, ⇒ \,\, n=m \\ \\ 推移律 &:& \forall n,m,k\in N &n≤m∧m≤k \,\, ⇒ \,\, n≤k \\ \\ 完全律 &:& \forall n,m\in N &n≤m∨m≤k \end{array}
特に「完全律（全順序律）」を満たすものは
（より一般的には三分律・三択律を満たす場合）
\begin{array}{lcll} 非反射律 &:& \forall x\in S & \lnot (x<x) \\ \\ 非対称律 &:& \forall x,y\in S & x<y \,\, ⇒ \,\, \lnot (y<x) \\ \\ 推移律 &:& \forall x,y,z\in S & x<y∧y<z \,\, ⇒ \,\, x<z \\ \\ 三択律 &:& \forall x,y\in S & x<y ∨y<x∨x=y \end{array}
「全順序集合」と呼ばれ
この記事の主題である
「順序数上の関係 \in 」は
\begin{array}{ccc} (\mathrm{Ordinal},\in) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Totally} \,\, \mathrm{Ordered \,\, Set} \end{array}
「全順序関係」になります。
（より厳密には全順序になるよう順序数は定義されてる）
整列集合 Well-Order
そしてこの「全順序集合」の中でも
\begin{array}{ccc} \exists \min( S_* ) & (S_* ⊂S) ∧ (S_*≠∅) \end{array}
特に「全ての部分集合に最小元が存在する」ものは
「整列集合（整列順序が定義された集合）」と呼ばれ
\begin{array}{ccc} (\mathrm{Ordinal},\in) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Ordered \,\, Set} \end{array}
「順序数上の関係 \in 」は
「整列順序（全順序＋最小元）」の条件を満たします。
（つまり最小元原理を一般化したものが整列集合）
順序数 Ordinal Number
この記事の本題であるこれは
「無限」で「自然数を拡張した」としても
「整列集合になる」よう定義された概念で
\begin{array}{l} 0, 1 , 2 ,..., n ,... \\ \\ 0, 1 , 2 ,..., n ,..., ω_0 , ω_0+1 ,..., ω_0+n ,..., ω_0+ω_0 ,... \end{array}
その具体的な構成は
\begin{array}{lcl} 推移律 &:& \forall x \,\, (x\in α) ⇒ (\forall y \,\, y\in x → y\in α) \\ \\ 全順序律 &:& \forall x \forall y \,\, (x\in α ∧y\in α)⇒(x\in y∨y \in x∨x=y) \end{array}
「全順序になる」という要請と
（整列順序になるための要望の１つ）
\begin{array}{lcc} 最小元存在保証 &:& \forall α_* \,\, (α_*⊂α∧α_*≠0)⇒ \Bigl( \exists m \,\, m=\min(α_*) \Bigr) \end{array}
\begin{array}{ccc} m =\min(S) &\Leftrightarrow & (m\in S)∧\Bigl( \forall S_* \,\, (S_*\in S∧S_*≠m)⇒(m\in S_*) \Bigr) \\ \\ && 最小元mはm以外の全てのS_*に含まれる \end{array}
「全ての部分集合が最小元を持つ」という要請により
（全順序である＋全ての部分集合が最小元を持つ）
『抽象的な定義を実現できるもの』として
（整列集合になって欲しいというのが抽象的な定義）
\begin{array}{lcccl} 0 &=& ∅ &&初期値 \\ \\ α+1 &=& α∪\{α\} && 後続順序数 \\ \\ ω &=& \displaystyle \bigcup_{β<ω} β &{}& 極限順序数\end{array}
このように定義されています。
（ペアノの公理＋無限和集合の定義＋整列集合）
順序数の定義と無限和集合
この「順序数」という概念は
\begin{array}{ccc} α &\in& α+1 &\in& α+2 \\ \\ α &{}& &\in& α+2 \end{array}
基本的には「自然数」であると考えて良いです。
（自然数では非有界は意識しても無限は考えない）
この「自然数」に
（自然数の持つあらゆる性質も含めて）
\begin{array}{ccc} \displaystyle x\in \bigcup_{n\in N} A_n && ⇔ && \exists n\in N \,\, x\in A_n \end{array}
「無限和集合」の概念を持ち込み
（無限の話でも自然数の性質が成立するように）
\begin{array}{ccc} \displaystyle k\in \bigcup_{n\in N} n && ⇔ && \exists n\in N \,\, k\in n \end{array}
「可算無限」を付加したものが「順序数」で
（存在量化により無限和集合は定義可能）
\begin{array}{ccc} ω_0 &=& \displaystyle \bigcup_{n\in N} n \end{array}
「自然数との違い」はこの部分だけになります。
（他に違いが無いように定義されている）
順序数の定義と自然数の性質
より厳密には
「無限を考える」こと以外は
\begin{array}{ccc} \mathrm{Natural} \,\, \mathrm{Number} &&\to&& \mathrm{Ordinal} \,\, \mathrm{Number} \\ \\ n<ω_0 && {}&& α <ω_0 ∨ ω_0≤α \end{array}
「同じになるよう調整された」のが「順序数」で
（よく分からない定義はこの調整に由来する）
\begin{array}{lcl} 推移律 &:& \forall x \,\, (x\in α) ⇒ (\forall y \,\, y\in x → y\in α) \\ \\ 全順序律 &:& \forall x \forall y \,\, (x\in α ∧y\in α)⇒(x\in y∨y \in x∨x=y) \end{array}
この「推移律」「全順序律」
これらが成立するという抽象的な定義と
\begin{array}{lcc} 最小元存在保証 &:& \forall α_* \,\, (α_*⊂α∧α_*≠0)⇒ \Bigl( \exists m \,\, m=\min(α_*) \Bigr) \end{array}
\begin{array}{ccc} m =\min(S) &\Leftrightarrow & (m\in S)∧\Bigl( \forall S_* \,\, (S_*\in S∧S_*≠m)⇒(m\in S_*) \Bigr) \\ \\ && 最小元mは m以外の 全てのS_*に含まれる \end{array}
「全ての部分集合に最小元がある」という保証は
「自然数の最小元原理」に由来するものになります。
（これは無限集合でもこうなるという宣言）
具体的な実体と順序数の構成
「自然数の後者 \mathrm{Suc} 」のような
「後続順序数」の具体的な中身である ↓ は
\begin{array}{ccc} \mathrm{Suc}(α) &=& α∪\{α\} \end{array}
「推移律」を軸とした
「考えられる具体的な形」から
\begin{array}{lcc} 0 &\in& 1 \\ \\ 0 &\in & \{ 0 \} \\ \\ 0,1 &\in &2 \\ \\ 0,1 &\in & \{ 0,1 \} \end{array}
「予想される形」の１つとして
（この時点では帰納的な推論）
\begin{array}{ccc} 1∪\{1\} = 2 &&\to&& α∪\{α\} = α+1 \end{array}
自然な推測により得ることができます。
（この段階ではまだ予想の範疇）
Burali-Forti のパラドックス
↑ の順序数の定義
これには特に問題がなさそうですが
\begin{array}{ccc} \forall α &\in& \mathrm{ON} \end{array}
実は「順序数全体 \mathrm{ON} 」なるものを考えた時
（全ての順序数を考える時にドメインが必要）
\begin{array}{ccc} \mathrm{ON} & \in & \mathrm{ON} \end{array}
これは「集合ではない」という判定を受け
「真のクラスである」という結果が得られます。
（クラスは集合を含む「何かの集まり」のこと）
説明すると
\begin{array}{ccc} \mathrm{ON} &\mathrm{is}& \mathrm{Ordinal \,\, Number} && ？ \end{array}
これが「順序数である」と仮定した場合
（つまり集合であると考えてみた場合）
\begin{array}{ccc} \mathrm{ON} &\in & \mathrm{ON} \end{array}
「順序数である（仮定）」以上
このようにできてしまうわけですが
（順序数は順序数全体に含まれる）
\begin{array}{ccc} S &\in & S && × \end{array}
これは「基礎公理」に反するため
「集合である」という仮定と矛盾してしまいます。
（順序数は集合として定義されている）
結果
「順序数全体」は「順序数ではない」となり
\begin{array}{ccc} \forall α &\in& \mathrm{ON} \end{array}
つまり「集合でもない」ので
「 \mathrm{ON}\in \mathrm{ON} ではない」ということになります。
（順序数はあくまで集合である）
順序数の要請的定義
現代の「順序数の抽象的な定義」は
（順序数はこうあって欲しいという要望）
\begin{array}{ccl} 推移律 &:& \forall β \,\, (β \in α) ⇒ (\forall γ \,\, γ \in β → γ\in α) \\ \\ 推移律 &:& \forall β \,\, (β \in α) ⇒ (β⊂α) \end{array}
集合を階層的に追跡できることを意味する
「推移的な集合である」を前提として
\begin{array}{ccl} \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall γ,β \,\, ( γ \in β∧β\in α → γ\in α) \\ \\ \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall β \,\, (β \in α) ⇒ (\forall γ \,\, γ \in β → γ\in α) \\ \\ \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall β \,\, (β \in α) ⇒ (β⊂α) \end{array}
「整列集合である」ことを基礎とし
（全順序であり全ての部分集合に最小元が存在）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) &\equiv& (α,\in ) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order} \end{array}
正確には
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\,\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \end{array}
このような形で定義されています。
（この形から構成的定義が導かれる）
「整列性」を取り外したものとして
↓ のような定義も存在していますが
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\, \forall β \in α \,\, \mathrm{Trans}(β) \end{array}
こちらを完成させるためには
「整列集合」と同値の「 ε-帰納法」が必要になります。
（いずれにせよ整列性は切り離せない）
推移的な集合でなければならない
念のため補足しておくと
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall γ,β \,\, ( γ \in β∧β\in α → γ\in α) \end{array}
この「推移的集合である」の宣言と
\begin{array}{ccc} \forall δ,γ,β \in α & δ\in γ ∧ γ\in β \to γ\in β \end{array}
「整列集合である」に含まれる
「要素が推移的である」という宣言は
\begin{array}{ccc} &{}& γ &\in& β &\in& α \\ \\ δ &\in& γ &\in& β \end{array}
「集合」か「要素」かという点で
階層に違いがある明確に異なる概念になります。
（ α についての保証の有無で差がある）
実際、順序数を「整列集合のみ」で定義し
「推移的集合である」という条件を外した場合
\begin{array}{ccc} α_*&=& \Bigl\{ \{0\},\{0,1\},\{0,1,2\} \Bigr\} \end{array}
「順序数」以外の集合が形成できてしまうので
（要素の推移性は満たされている）
\begin{array}{ccc} 0&\in& \{0\} &\in& α \end{array}
その違いは実感できると思います。
（推移的集合であれば 0 は要素でなければならない）
空ではない順序数の要素もまた順序数である
↑ の定義の中でも
特に後者の方は一見するとよく分かりませんが
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall β \,\, (β \in α) ⇒ (\forall γ \,\, γ \in β → γ\in α) \\ \\ \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\, \forall β \in α \,\, \mathrm{Trans}(β) \end{array}
↓ の具体例や
\begin{array}{ccc} α+1 &=& \{0,1,2,3,4,5,...,α\} \end{array}
「順序数 α の要素 β 」の「要素 γ 」
\begin{array}{ccc} γ &\in& β &\in& α \end{array}
この繋がりを考えると
言いたいことがなんとなく掴めてきます。
というのも
まず「 \mathrm{Trans}(α) 」と定義されている以上
（これは順序数の定義であり求められる性質）
\begin{array}{ccc} γ &\in& β &\in& α \\ \\ γ &{}& &\in& α \end{array}
これはこうなります。
（ β の要素 γ もまた必ず α の要素になる）
そして \forall β \in α \,\, \mathrm{Trans}(β) である以上
「空ではない順序数 α の要素 β 」は
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(β) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(β) & ∧ & \forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ) \\ \\ && 〇 && ？ \end{array}
自動的に「推移的である」という条件を満たします。
（順序数であるための条件の１つを満たす）
ここで問題になるのが
\forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ)
この部分なんですが
（これが確認できれば β は順序数だと言える）
思い返せば
\begin{array}{ccc} γ &\in& β &\in& α \\ \\ γ &{}& &\in& α \end{array}
「 α が順序数である」以上
「 α の要素でもある γ 」もまた「推移的」です。
（ α の要素である β の中に γ も含まれる）
ということは
\begin{array}{ccll} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longrightarrow& \forall γ \in α & \mathrm{Trans}(γ) \\ \\ \forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ) &\Longleftrightarrow& \forall γ \in β \in α & \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
こうなるということなので
（全ての γ が α に含まれることから）
「 β の要素 γ も推移的である」ことより
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(β) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(β) & ∧ & \forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ) \\ \\ 〇 && 〇 && 〇 \end{array}
「 α の要素 β 」もまた
「順序数」の定義を満たすと言えます。
（つまりこの定義は順序数の要素も順序数だとしている）
整列集合であるということは
補足しておくと
\begin{array}{ccc} \forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
この「要素が推移的である」という条件は
\begin{array}{lcll} 非反射律 &:& \forall γ\in α & \lnot (γ\in γ) \\ \\ 非対称律 &:& \forall γ,δ\in α & δ\in γ \,\, ⇒ \,\, \lnot (δ\in γ) \\ \\ 推移律 &:& \forall γ,δ,η \in α & η\in δ∧δ\in γ \,\, ⇒ \,\, η\in γ \\ \\ 三択律 &:& \forall γ,δ\in α & δ\in γ ∨γ\in δ∨δ=γ \end{array}
「整列順序である」より緩い条件であり
（これは「全順序である」ことよりも厳しい）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order} ∧ \forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ) & \Longleftrightarrow & \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Ordered}\,\,\mathrm{Set} \end{array}
「ε-帰納法（整列原理）」を認めなければ
この条件と同値になることはありません。
そして条件の緩さだけではなく
適用範囲にも大きな差があり
\begin{array}{ccl} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) &∧&\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \\ \\ \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) & ∧ & \forall γ \in α \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
「 α が整列集合である」という要請的な条件は
「 α の要素 γ の性質」には直接言及していません。
「順序数 α 」内の要素 γ,δ が
\begin{array}{ccc} \forall γ,δ\in α & δ\in γ ∨γ\in δ∨δ=γ \end{array}
「三分律」により「全て比較できる」
これは分かっていますが
\begin{array}{ccc} \forall δ \in γ \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
「推移律」なんかの他の性質については
まだ「要素が満たすか」は分かってない状態です。
（推移的なのはあくまで整列集合である α ）
順序数の要素は順序数である
↑ で先に確認した
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(β) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(β) & ∧ & \forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
これとはまた違って
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\to& \forall γ\in α \,\, \mathrm{Ordinal}(γ) \end{array}
「順序数の要素もまた順序数である」ことを示すには
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) &∧&\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \end{array}
↑ とは別の証明が必要になります。
（要素もまた推移的でかつ整列集合である必要がある）
確認しておくと
\begin{array}{lcll} 非反射律 &:& \forall γ\in α & \lnot (γ\in γ) \\ \\ 非対称律 &:& \forall γ,δ\in α & δ\in γ \,\, ⇒ \,\, \lnot (δ\in γ) \\ \\ 推移律 &:& \forall γ,δ,η \in α & η\in δ∧δ\in γ \,\, ⇒ \,\, η\in γ \\ \\ 三択律 &:& \forall γ,δ\in α & δ\in γ ∨γ\in δ∨δ=γ \end{array}
「順序数 α の要素 γ 」に求められる性質は
「全順序性」と「最小元の存在」の２つです。
順序数の要素が整列集合になるかどうか
まず「非反射」「非対称」ですが
\begin{array}{ccll} 非反射律 &:& \forall γ\in α & \lnot (γ\in γ) \\ \\ 非対称律 &:& \forall γ,δ\in α & δ\in γ \,\, ⇒ \,\, \lnot (δ\in γ) \end{array}
これは明らかであるとします。
（基礎公理により集合は確実に満たす）
そして「三分律」については
\begin{array}{ccc} δ &\in & γ &\in &α \\ \\ δ & {} & &\in &α \end{array}
『順序数 α の要素である』以上
（ α が推移的集合であることより）
\begin{array}{ccc} A⊂B &\Longleftrightarrow& \forall x \,\, x\in A \to x\in B \end{array}
「推移性」と「部分集合」の定義を考えれば
（ここで使えるのは α の推移性のみ）
\begin{array}{ccc} \forall δ \,\, δ\in γ \to δ \in α &\Longleftrightarrow& γ⊂α \end{array}
こうなるので
（ γ の要素は全て α の要素でもある）
\begin{array}{ccc} \forall γ,δ\in α & δ\in γ ∨γ\in δ∨δ=γ \end{array}
「 α は三分律を満たす」ことから
「 γ の要素もまた三分律を満たす」ことが分かり
\begin{array}{ccc} \forall γ,δ,η \in α & η\in δ∧δ\in γ \,\, ⇒ \,\, η\in γ\end{array}
同時に「推移律を満たす」ことも分かります。
（ α の要素である以上 δ の要素もまた α の要素になる）
また ↑ と同様に
（ α の推移律より要素の要素も α の要素になる）
\begin{array}{ccc} S_γ &\subset& γ &\subset& α \end{array}
「任意の γ の部分集合」は
「 α の部分集合」でもあるため
（これは直感と部分集合の定義より明らか）
\begin{array}{ccc} \min (S) =m &\Longleftrightarrow& m\in S ∧ \Bigl( \forall S_* \in S \,\, m \in S_*∨m = S_* \Bigr) \end{array}
「 α の任意の部分集合は最小元を持つ」ことから
「 γ の任意の部分集合もまた最小元を持つ」と言えます。
（この話の場合 α の整列性をそのまま適用できる）
順序数の整列性と要素の推移性
「 γ が整列集合である」ことは分かりましたが
\begin{array}{ccc} \forall δ,η \in γ & η\in δ∧δ\in γ \,\, ⇒ \,\, η\in γ \end{array}
「 α の要素 γ の推移性」はまだ保証されていません。
（後はこれさえ示されれば証明は終了する）
「 α の推移性」は分かっていますが
\begin{array}{ccc} \forall γ,δ \in α & δ\in γ∧γ\in α \,\, ⇒ \,\, δ\in α \end{array}
これは「 α の要素 γ の推移性」とは別の話です。
（構成的な定義ではここを保証している）
なので「 α の推移性」から直接は導けませんが
\begin{array}{ccc} \forall γ,δ \in α & δ\in γ∧γ\in α & ⇒ & δ\in α \\ \\ \forall δ,η \in α & η\in δ∧δ\in α & ⇒ & η\in α \end{array}
「 γ の要素 δ 」も α の要素であるように
「 δ の要素 η 」もまた α の要素ですから
\begin{array}{ccc}\forall γ,δ\in α & δ\in γ ∨γ\in δ∨δ=γ \end{array}
「三分律」が適用できるので
「順序数の要素 γ 」と
「 γ の要素 δ の要素 η 」の関係は
\begin{array}{ccc} \forall γ,η\in α & η\in γ ∨γ\in η∨η=γ \end{array}
必ずこのいずれかになります。
（この時点では η \in γ になるとは限らない）
しかし η=γ を認める場合
\begin{array}{ccc} γ &\in& δ &\in& γ \end{array}
「基礎公理」「非対称律」に反し
\begin{array}{ccc} η &\in& δ &\in & γ &\in& η \end{array}
同様に γ\in η の場合でも「基礎公理」に反するので
結果として
\begin{array}{ccc} \forall δ,η \in γ & η\in δ∧δ\in γ & ⇒ & η\in γ \end{array}
「 γ の要素 δ の要素 η 」と
「順序数 α の要素 γ 」の関係は必ずこのようになります。
（三分律により全ての η が γ とこうなる）
順序数の要素は順序数の条件を満たす
まとめると
「 γ の要素は α の要素でもある」ことから
\begin{array}{lcll} 非反射律 &:& \forall δ\in γ & \lnot (δ\in δ) \\ \\ 非対称律 &:& \forall δ,η\in γ & η\in δ \,\, ⇒ \,\, \lnot (δ\in η) \\ \\ 推移律 &:& \forall δ,η,ζ \in γ & ζ\in η∧η\in δ \,\, ⇒ \,\, ζ\in δ \\ \\ 三択律 &:& \forall δ,η\in γ & η\in δ ∨δ\in η∨η=δ \end{array}
「順序数の要素 γ 」は「全順序律」を満たし
\begin{array}{ccc} S_γ &\subset& γ &\subset& α \end{array}
その「任意の部分集合」は「最小元を持つ」ので
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(γ) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(γ) & ∧ & \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(γ,\in ) \end{array}
結果、こうなると言えます。
またこの結論から
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(γ) &\Longrightarrow& \mathrm{Trans}(γ) & ∧ & \forall δ \in γ \,\, \mathrm{Trans}(δ) \end{array}
こうなるということも導けます。
（逆は ε-帰納法を使わないと示せない）
順序数の比較可能性
「順序数の要素」が順序数になることは分かりました。
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\,\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \end{array}
しかしこの定義が保証しているのは
「 α が整列集合である」という事実です。
\begin{array}{ccc} \mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \end{array}
「順序数 α の要素である」なら
「全順序である」というのがこの定義の主張なので
\begin{array}{llc} \forall δ,γ \in α & δ\in γ ∨ γ\in δ ∨ δ = γ \end{array}
この「三分律」の成立は
あくまで「 α の要素」に限った話になります。
（順序数の要素だからその要素は順序数だと分かる）
定義より
\begin{array}{ccc} α &\in& \mathrm{ON} \\ \\ β &\in& \mathrm{ON} \end{array}
この関係は保証されていますが
（順序数全体 \mathrm{ON} は順序数ではない）
\begin{array}{ccc} α\in β &∨& β\in α &\in& α=β \end{array}
「異なる順序数 α,β 」同士を比較した時
必ずこうなるという根拠はまだ提示されていません。
異なる順序数の関係
まず話をシンプルにするために
\begin{array}{ccc} α &=& β \end{array}
このパターンは明らかとし
（明らかに三分律の α=β を満たす）
\begin{array}{ccc} ∅ &\in& α ∩ β \end{array}
このパターンも明らかとしておきます。
（これの詳細は構成的定義のところで後述）
その上で
α≠β の時に考えられるパターンとして
（ α=β と α∩β=∅ にはならないことから）
\begin{array}{ccc} α ？ β \end{array}
こういう関係が考えられますが
\begin{array}{ccc} α &⊂& β \\ \\ β &⊂& α \end{array}
このパターンは記号を変えただけなので
（記号を入れ替えれば同じ話になる）
\begin{array}{ccc} α ⊂ β \\ \\ \lnot (α⊂β ∨ β⊂α) \end{array}
この2つのパターンを考えれば
「三分律」は示せそうだということが分かります。
（直感的には α\in β のような結果になるはず）
整理しておくと
\begin{array}{lcc} α=β \\ \\ α≠β &\to& \left\{\begin{array}{lcc} α∩β=∅ \\ \\ α∩β≠∅ &\to& \left\{\begin{array}{rcc} α⊂β∨β⊂α \,\,\, \\ \\ \lnot (α⊂β∨β⊂α) \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}
「排中律」の中身はこんな感じです。
（これで全体を調べていることが分かる）
比較できないかもしれない？
↓ のいずれかになるという予想から
（この話の出発点になるのはこの推定）
\begin{array}{ccc} α\in β & ∨ & β \in α &∨ & α=β \end{array}
とりあえず
「どれにもならない α,β 」
\begin{array}{ccc} α_* \not\in β_* & ∧ & β_* \not\in α_* &∧ & α_* ≠ β_* \end{array}
この「存在」を「仮定」して
\begin{array}{ccc} β &\setminus & α \\ \\ β &∩& α \end{array}
こういった集合を使うことでその中身を考えてみます。
（つまり背理法を採用しこの存在を否定する結論を得る）
補足しておくと
仮定される状態を実現する「集合」は
\begin{array}{ccc} \{0,a\} &≠& \{0,b\} \\ \\ \{0,a\} &\not\in& \{0,b\} \\ \\ \{0,b\} &\not\in& \{0,a\} \end{array}
制限が無いなら普通にあり得ます。
（順序数に制限されたら無さそう）
\begin{array}{ccc} \{0,a\} &\setminus& \{0,b\} &=& \{ a \} \end{array}
また「二つの集合の差」を見れば
「帰属しない要素」なんかを調べることができます。
（これが存在すれば三分律の不成立を証明できたりする）
α\subset β のパターン
直感と仮定から分かるように
\begin{array}{ccc} α &⊂& β \end{array}
こうであると考えるなら
\begin{array}{ccc} α&\in&β \end{array}
こうなるはずで
（この時点ではまだ仮定を考えない）
\begin{array}{rcc} μ ∩ (β\setminus α) &=& ∅ \\ \\ α ∩ (β\setminus α) &=& ∅ \end{array}
「基礎公理」により得られる要素 μ と α の関係は
\begin{array}{ccc} μ &=& α \end{array}
こんな感じになると予想できます。
（ μ は最小元の候補でもある）
より具体的には
\begin{array}{ccc} μ=α &\Longleftrightarrow& μ\subset α & ∧ & α\subset μ \end{array}
こういう形になるはずで
（この場合の \subset はイコールの意味も含む）
\begin{array}{ccc} μ & \subset & α && ？ \\ \\ α & \subset & μ &&？ \end{array}
このどちらも導くことができるか
\begin{array}{ccc} α &\in& β \end{array}
あるいはそのままこうなると予想されます。
μ⊂α はすぐに分かる
実際確認してみると
\begin{array}{ccc} μ &⊂& α \end{array}
こちらの方に関しては
「 β が順序数である」以上
「 β の要素である μ もまた順序数」なので
\begin{array}{ccc} γ \in β\setminus α &\Longleftrightarrow& γ \in β ∧ γ \not\in α \end{array}
差集合の定義を考えれば
\begin{array}{ccc} γ &\in& μ &\in& β \\ \\ γ && &\in& β \end{array}
「任意の μ の要素」を考えた時
「 β の推移性」より必ずこうなるので
この事実から
\begin{array}{ccc} γ_* \in μ &∧& γ_* \not\in α \end{array}
「 α に無い μ の要素 γ_* の存在」を仮定してみると
\begin{array}{ccc} γ_* &\in& β \end{array}
必ずこうなるので
\begin{array}{ccc} μ ∩ (β\setminus α) &=& {γ_*} \end{array}
「基礎公理に矛盾する」という結論が得られます。
（ μ は β\setminus α と共通部分を持たないはず）
整理すると
\begin{array}{ccc} γ_* \in μ &∧& γ_* \not\in α && × \\ \\ γ_* \in μ &∧& γ_* \in α && 〇 \end{array}
「 α に無い μ の要素 γ_* の存在」
これが間違いなので
\begin{array}{ccc} \forall γ \,\, γ\in μ ⇒ γ\in α &\Longleftrightarrow& μ⊂ α \end{array}
「 μ の全ての要素 γ を α は持つ」と言えます。
（ μ にのみ存在する要素は無い）
一致方向に近付けても同様になる
以上のことから
\begin{array}{ccc} μ=α &\Longleftarrow& α\setminus μ = ∅ \end{array}
この形が予想できるわけですが
\begin{array}{ccc} η∩(α \setminus μ)&=&∅ \end{array}
「基礎公理」により得られる η を考えると
（ α \setminus μ が空集合にならない場合をここで仮定する）
\begin{array}{lccclcl} γ_*\in η∧γ_* \not\in μ &&\to && γ_* \in α && \because \mathrm{Ordinal}(α) \\ \\ && \to && η∩(α\setminus μ)=\{γ_*\} && \because γ_* \not\in μ \\ \\ && \to && \mathrm{False} && \because η∩(α \setminus μ)=∅ \end{array}
「 η と α\setminus μ には共通部分が無い」上に
「 η だけが持つ μ の要素は存在しない」ので
\begin{array}{ccc} η &\subset& μ \end{array}
結果としてこうなり
これは ↑ の話とほぼ同じになります。
（これは α \setminus μ ≠∅ という仮定から得られる結論）
じゃあ意味無いんじゃ？って話ですが
実はこれを調べたことによって
\begin{array}{ccc} η &\subset& μ &\in& β \\ \\ η &\in& α &\subset& β \end{array}
「 α が持つ β の要素 η が存在する」
これを保証することができました。
（ η はあくまで仮定の下で存在する）
深い位置の要素と矛盾の導出
このままでは堂々巡りで
\begin{array}{ccc} η &\subset & μ &\subset & α \end{array}
答えが出ないようにも思えますが
\begin{array}{ccc} \forall γ,δ \in α & γ\in δ∨δ\in γ∨γ=δ \end{array}
「順序数の整列性」における
「三分律」を考慮すると
\begin{array}{ccc} η &\subset& μ &\in& β \\ \\ η &\in& α &\subset& β \end{array}
こうであることから
\begin{array}{ccc} η\in μ & ∨ & μ\in η &∨ &η=μ \end{array}
「 η,μ は β の要素」なので必ずこのようになり
（ (β,\in ) の整列性により三分律が保証される）
この保証から
\begin{array}{ccc} μ\in η &\to& μ\in μ &&\because η\subset μ \end{array}
このパターンが明らかにダメで
\begin{array}{ccc} η \not\in μ && \because η\in (α\setminus μ) \end{array}
このパターンもダメだと分かって
\begin{array}{ccc} η=μ &\to& μ \in (α\setminus μ) && \because η\in (α\setminus μ) \\ \\ μ\not\in α &\to& μ\not\in (α\setminus μ) && \because μ \in (β\setminus α) \end{array}
最後のこのパターンもダメだと分かるので
その結論として
\begin{array}{ccc} α \setminus μ &≠& ∅ \end{array}
この仮定が矛盾するということが分かります。
（つまりこの差集合は空集合になる）
α と μ の関係
まとめると
\begin{array}{ccc} μ &\subset & α \end{array}
こうであり
\begin{array}{ccc} α\setminus μ &=& ∅ \end{array}
こうであるということは
（ μ が α の要素を全て持つ）
\begin{array}{ccc} μ &=& α \end{array}
これ以外ありえないということなので
（お互いにお互いの要素を全て持つ）
その結論として
\begin{array}{ccc} α \subset β &\Longrightarrow& α\in β \end{array}
この結果を得ることができます。
（つまりこのパターンでは三分律が成立する）
順序数の定理として機能する
確認した通り
\begin{array}{ccc} A \subset B &\Longrightarrow& A\in B \end{array}
「一般的な集合」でこれは成立しませんが
（こうならない具体例がたくさん）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &∧& \mathrm{Ordinal}(β) \end{array}
「順序数である」場合に限っては
（正確には推移的な整列集合であれば）
\begin{array}{ccc} α &⊂& β \end{array}
この前提に立つとすると
\begin{array}{ccc} α \subset β &\Longrightarrow& α\in β \end{array}
これが成立します。
（順序数であれば α\subset β 以外の前提を必要としない）
念のため確認しておくと
\begin{array}{lcc} α=β \\ \\ α≠β &\to& \left\{\begin{array}{lcc} α∩β=∅ \\ \\ α∩β≠∅ &\to& \left\{\begin{array}{rcc} α⊂β∨β⊂α \,\,\, \\ \\ \lnot (α⊂β∨β⊂α) \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}
まずこの排中律の構成はただの事実
\begin{array}{rcc} μ ∩ (β\setminus α) &=& ∅ \\ \\ α ∩ (β\setminus α) &=& ∅ \end{array}
「 α≠β 」を前提とした「 μ の存在」も
「集合である」を意味する公理で
\begin{array}{lccclcl} γ_*\in μ∧γ_* \not\in α &&\to && γ_* \in β && \because \mathrm{Ordinal}(β) \\ \\ && \to && μ∩(β\setminus α)=\{γ_*\} && \because γ_* \not\in α \\ \\ && \to && \mathrm{False} && \because μ∩(β \setminus α)=∅ \end{array}
これも「順序数の定義」から分かるただの事実です。
（この結果から μ\subset α だと分かる）
「 η の存在」については
\begin{array}{ccc} η∩(α \setminus μ)&=&∅ \end{array}
「 α \setminus μ≠∅ である」という
「間違っているだろう仮定」の下での話であり
\begin{array}{lccclcl} γ_*\in η∧γ_* \not\in μ &&\to && γ_* \in α && \because \mathrm{Ordinal}(α) \\ \\ && \to && η∩(α\setminus μ)=\{γ_*\} && \because γ_* \not\in μ \\ \\ && \to && \mathrm{False} && \because η∩(α \setminus μ)=∅ \end{array}
実際、間違いであるため
（ α \setminus μ が空なら η は存在しない）
\begin{array}{ccc} α \setminus μ&=&∅ \end{array}
その結果としてこうなります。
（排中律の片側がこの結論）
ここまで
特に新たな定義や公理を用いていない
\begin{array}{ccc} α \subset β &\Longrightarrow& α\in β \end{array}
この事実が確認できるので
\begin{array}{ccc} α = β &\Longrightarrow& α= β \\ \\ α \subset β &\Longrightarrow& α\in β \end{array}
これは「順序数である」なら成立すると言えます。
（記号を入れ替えれば逆も成立することが分かる）
部分集合と順序数の推移性
そしてこの事実を前提とすると
\begin{array}{ccc} α \subset β &\Longrightarrow& α\in β \end{array}
「順序数 β の推移性」により
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(β) &\Longrightarrow& α\in β ⇒ α\subset β \end{array}
この結論が導かれるので
\begin{array}{ccc} α \subset β &\Longleftrightarrow& α\in β \end{array}
「異なる順序数」において
「推移律が満たされる」ということも分かります。
（ただしこれらが同値なのは α≠β の場合に限る）
共通部分は順序数である
同様に
\begin{array}{ccc} γ\in α∩β &\Longleftrightarrow& γ \in α ∧γ \in β \end{array}
「順序数の共通部分」は
\begin{array}{ccl} γ \in α ∧γ \in β &\Longrightarrow& γ \in α \\ \\ γ \in α ∧γ \in β &\Longrightarrow& γ \in β \end{array}
こうなることから
（より厳密には全ての要素でこうなるため）
\begin{array}{ccc} A⊂B &\Longleftrightarrow& x\in A ⇒ x\in B \end{array}
「部分集合」になると言えるので
\begin{array}{ccc} α \subset β &\Longleftrightarrow& α\in β \end{array}
こうであることから
（ α=β は明らかなので α≠β とします）
\begin{array}{ccc} α∩β & = & α \\ \\ α∩β & \in & β \end{array}
「順序数の共通部分」は順序数であることが分かります。
（ α\in β が分かればこれは明らかだと言える）
\lnot (α⊂β ∨ β⊂α) のパターン
これは「順序数」の構成を思えば
直感的にはあり得ない状態なので
（推移性を考えると α⊂β∨β⊂α になるはず）
\lnot (α⊂β ∨ β⊂α)
この状態を「仮定」する場合
なんらかの矛盾が出るということが予想できます。
具体的には
\begin{array}{ccc} β\setminus α≠∅ &∧& α\setminus β≠∅ \end{array}
このような状態は成立し得ないことから
（仮定を正しいとした場合にのみ存在する）
\begin{array}{ccc} (α∪β)\setminus (α∩β) &≠& ∅ \end{array}
こういった仮定の下で話を進めていくと
\begin{array}{ccc} \lnot (α⊂β ∨ β⊂α) &\Longleftrightarrow& \lnot(α⊂β) ∧ \lnot(β⊂α) \end{array}
なんらかの矛盾が出てくるはずです。
（上記３つはいずれも同様の主張）
前提と仮定から分かること
以上のことから
α∩β
「共通部分の存在」と
（ α≠β という前提と空集合の存在により）
\begin{array}{ccc} α∩β &\subset& α \\ \\ α∩β &\subset& β \end{array}
「共通部分の性質」を考えてみると
（順序数が共通部分を持つことは仮定に依存しない前提）
「 α,β の整列性」により
\begin{array}{ccc} \forall η,ζ \in α∩β & η\in ζ ∨ ζ\in η ∨ η=ζ \end{array}
これらの「三分律」が保証されると分かって
（全て α,β の要素と比較できる）
「仮定」を意味する ↓ からも
\begin{array}{ccc} β\setminus α≠∅ &∧& α\setminus β≠∅ \end{array}
「 β には無い α にのみある要素 γ 」
「 α には無い β にのみある要素 δ 」
\begin{array}{rcr} γ\in α &∧& γ\not\in β \\ \\ δ\not\in α &∧& δ\in β \end{array}
これらが存在するということが分かります。
（これは仮定が正しい場合にのみ存在する）
共通部分と極小元
先述したように
記号 α,β は入れ替えれば良いだけなので
\begin{array}{ccc} β\setminus α&≠&∅ \end{array}
まずこれを前提としてみると
（ α≠β なのでどちらかは確定で成立）
\begin{array}{ccc} μ∩(β\setminus α) &=&∅ \end{array}
「基礎公理」により
\begin{array}{ccc} μ\not\in α &∧& μ\in β \end{array}
このようになるはずの
「具体的な要素 μ 」を得ることができます。
（ β\setminus α≠∅ という仮定の下で μ は存在）
補足しておくと
\begin{array}{rcc} (α∩β)∩(β\setminus α) &=& ∅ \\ \\ μ∩(β\setminus α) &=& ∅ \end{array}
この μ は
\begin{array}{ccc} × &\in& μ \end{array}
「極小元」であることから
（ \in の順序付けで下を持たない）
\begin{array}{ccc} (α∩β) \subset β &\Longleftrightarrow& (α∩β)\in β \end{array}
「順序数の整列性」を考えると
（ β の要素は全て三分律を満たす）
\begin{array}{ccc} × \in α∩β &&\to&& (α∩β)∩(β\setminus α)=∅\end{array}
「共通部分」と一致することが分かります。
（ β\setminus α≠∅ という仮定に依存する話）
部分集合と矛盾
整理しておくと
\begin{array}{ccc} α \subset β &∨& β\subset α \end{array}
予想ではこうなるはずで
（仮定は成立せず部分集合になるはず）
\begin{array}{ccc} α\subset β &&\to&& α∩β=α \end{array}
この場合は確実にこうなり
（ α∩β≠α ではないので α∩β\in α にはならない）
\begin{array}{ccc} μ&=& α∩β \end{array}
これが成立します。
（ここまでは仮定に依存していない）
そして α\subset β じゃない場合も
\begin{array}{ccc} β\setminus α≠∅ &∧& α\setminus β≠∅ \end{array}
これは片側しか成立しないはずで
（小さい順序数は大きい順序数の中にあるはず）
\begin{array}{ccc} β\setminus α &≠& ∅ \end{array}
こちら側を前提とした場合
\begin{array}{ccc} α\setminus β &≠& ∅ \end{array}
これは「偽」になるはず。
（仮定ではこれが偽にならないとする）
実際、 α の要素を調べてみると
\begin{array}{lcccl} β\setminus α ≠ ∅ &&\to&& α∩β≠β \\ \\ α\setminus β ≠ ∅ &&\to&& α∩β≠α \end{array}
α\setminus β の要素を α∩β は持たないので
（部分集合と帰属関係の定理が使える）
\begin{array}{ccc} α\setminus β ≠ ∅ && (α∩β) \subset α &&\to && (α∩β) \in α \\ \\ β\setminus α ≠∅ && (α∩β) \subset β &&\to && (α∩β) \in β \end{array}
このようになることから
（上側も成立するということが不可解の核）
\begin{array}{ccc} (α∩β) &\in & α \\ \\ (α∩β) & \in & β \end{array}
こうなりそうですが
\begin{array}{ccc} (α∩β) &\in & (α∩β) \end{array}
↑ からはこの形が導かれるので
明らかな矛盾が得られてしまいます。
順序数同士は \lnot (α⊂β ∨ β⊂α) にならない
まとめると
\begin{array}{ccc} α = β && {} &\Longrightarrow& α= β \\ \\ α≠β && α \subset β &\Longrightarrow& α\in β \end{array}
この順序数の定理から
（異なる順序数であることが重要）
\begin{array}{ccc} α\setminus β ≠ ∅ && (α∩β) \subset α &&\to && (α∩β) \in α \\ \\ β\setminus α ≠∅ && (α∩β) \subset β &&\to && (α∩β) \in β \end{array}
これが導かれて
（これは仮定の下で成立すること）
\begin{array}{ccc} (α∩β) &\in & (α∩β) \end{array}
矛盾してしまうので
（ \lnot( α⊂β∨β⊂α ) という仮定が間違い）
\begin{array}{rcc} \lnot( α⊂β∨β⊂α ) && × \\ \\ ( α⊂β∨β⊂α ) && 〇 \end{array}
「異なる順序数の関係」は
必ず α⊂β∨β⊂α になることが分かります。
順序数は三分律を満たす
以上をまとめると
\begin{array}{lcc} α=β \\ \\ α≠β &\to& \left\{\begin{array}{lcc} α∩β=∅ \\ \\ α∩β≠∅ &\to& \left\{\begin{array}{rcc} α⊂β∨β⊂α \,\,\, \\ \\ \lnot (α⊂β∨β⊂α) \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}
↓ がこのようになることから
\begin{array}{ccccccl} α=∅∨β=∅ &\to& α∩β=∅ && 〇 &{}& \because ∅∩S=∅ \\ \\ α≠∅∧β≠∅ &\to& α∩β=∅ && × &{}& \because ∅\in α ∧∅\in β \end{array}
\begin{array}{ccc} \lnot (α⊂β∨β⊂α) &&\to&& α∩β\in α∩β && × \end{array}
全てのパターンで
\begin{array}{ccc} \forall α,β \in \mathrm{ON} & α=β∨α\in β ∨β\in α \end{array}
このようになると言えるため
「順序数」は「三分律」を満たすと言えます。
順序数の構成的定義
「 ↓ のような性質を持っている」という
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) &∧&\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \\ \\ \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) & ∧ & \forall β \in α \,\, \mathrm{Trans}(β) \end{array}
『順序数に求められること』は決まっていますが
まだこの時点では
\begin{array}{lcccl} 0 &=& ∅ &&初期値 \\ \\ α+1 &=& α∪\{α\} && 後続順序数 \\ \\ ω &=& \displaystyle \bigcup_{β<ω} β &{}& 極限順序数\end{array}
「具体的な順序数の形」を意味するこれと
要請的定義に直接的な繋がりはありません。
（まだ順序数であるかが分かっていない）
初期値は空集合になる
これは「要請的定義」から導かれる事実
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\, \forall β \in α \,\, \mathrm{Trans}(β) \end{array}
その１つとして
\begin{array}{ccc} \forall S & (S≠∅) \,\, ⇒ \,\, (\exists S_* \in S \,\, S∩S_*≠∅) \end{array}
定理という形で確認することができます。
（これに関しては要請的定義から直接導けると言える）
順序数は空集合を持つ
これを示すには
まず「順序数 α 」を考えて
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\, \forall β \in α \,\, \mathrm{Trans}(β) \end{array}
その要素である β の中に
「空集合が無い」と仮定する必要があります。
（あると直接確認するのは難しいので背理法を用いる）
というのも
\begin{array}{lc} \exists α\in \mathrm{ON} & ∅\not\in α && ？ \\ \\ \forall β \in α & β≠∅ && ？ \end{array}
こういった論理式が真になると仮定すると
（いずれも空集合を持たないことを意味する命題）
\begin{array}{ccc} β_1 &\in& β_0 &\in & α \\ \\ β_1 && &\in & α \end{array}
「推移的である」という定義を考える場合
（これは順序数の定義なので仮定とは関係無い）
\begin{array}{lcl} β_1 & \in & β_0 \\ \\ β_{n+1} & \in & β_n \end{array}
これは必ずこうなります。
（ β が空集合を持つと α も空集合を持つ）
そして「順序数の要素は順序数である」ことから
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(β) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(β) \,∧\, \forall γ \in β \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
「推移律」を考えると
β_n \in \cdots \in β_2 \in β_1 \in β_0
いずれの β_n も空集合ではなく
また空集合を持たないため
\begin{array}{ccc} \cdots \in β_n \in \cdots \in β_2 \in β_1 \in β_0 \end{array}
結果としてこうなることから
（全ての β_n はなんらかの空ではない集合を持つ）
「無限降下列が生成できてしまう」ので
\begin{array}{ccc}\forall β \in α & β≠∅ \end{array}
この仮定から
\begin{array}{ccc} \forall S & (S≠∅) \,\, ⇒ \,\, (\exists S_* \in S \,\, S∩S_*≠∅) \end{array}
「基礎公理に矛盾する」という結論が得られてしまいます。
まとめると
「空集合を持たない順序数」を仮定すると
「基礎公理に矛盾する」という結果が得られるので
\begin{array}{ccc} \forall α\in \mathrm{ON} & ∅\in α \end{array}
「全ての空ではない順序数 α 」は
『必ず空集合を要素に持つ』と言えます。
整列性を考えても同様
そしてこの理屈は
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) &∧&\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \end{array}
この定義でもそのまま使えるので
（順序数の要素が順序数であることが重要）
\begin{array}{ccc} \cdots \in β_n \in \cdots \in β_2 \in β_1 \in β_0 \end{array}
同様の結論を得ることができます。
（存在しないとすると無限降下列が生成できる）
空集合は最小元になる
以上の事実と
\begin{array}{ccc} \forall α\in \mathrm{ON} & ∅\in α \end{array}
「最小元」の定義
\begin{array}{lcrcl} \min (α) =α_0 &\Longleftrightarrow& α_0\in α &∧& \Bigl( \forall β \in α \,\, α_0 \in β ∨ α_0 = β \Bigr) \\ \\ \min (α) =∅ &\Longleftrightarrow& ∅\in α & ∧ & \Bigl( \forall β \in α \,\, ∅ \in β ∨ ∅ = β \Bigr) \end{array}
そして「順序数の要素も順序数である」ことから
「空集合は最小元である」という結論が得られます。
（最小元が無いという仮定はこれを間接的に否定する）
後続順序数の形
「空集合」は演繹で得られますが
「後続順序数」については
\begin{array}{lcccl} ∅ &\to& 0 \\ \\ \{0\} &\to& 1 &\to& \{∅\} \\ \\ \{0,1\} &\to& 2 &\to& \{∅,\{∅\}\} \\ \\ \{0,1,2\} &\to& 3 &\to& \{∅,\{∅\},\{∅,\{∅\}\}\} \\ \\ & & \vdots \end{array}
先に述べたように
「推移律」に由来するこの形から
\begin{array}{ccc} 2 &=& 1 ∪\{1\} \\ \\ α+1 &=& α∪\{α\} \end{array}
「予想される形の１つ」として自然に導かれます。
（この時点ではほぼ正しいということしか分からない）
予想される形と順序数の要請的定義
これが果たして順序数の定義を満たすのか
これが問題なんですが
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\, \forall β \in α \,\, \mathrm{Trans}(β) \end{array}
直感的にも分かる通り
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α+1) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α+1) \,∧\, \forall γ \in α+1 \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
これは確実に順序数の定義を満たします。
確認しておくと
\begin{array}{ccl} \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall β \,\,\forallγ \,\, ( γ \in β ∧ β \in α ) → γ\in α \\ \\ \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall β \,\, (β \in α) \,\, → \,\, ( \forall γ \,\, γ \in β → γ\in α ) \\ \\ \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall β \,\, β \in α ⇒ β⊂α \end{array}
「推移律」はこんな感じです。
（いろいろありますが要素の所在は全て同じ）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall β \,\, β \in α ⇒ β⊂α \end{array}
この中でも
表記が楽な上に
\begin{array}{ccc} A⊂B &\Longleftrightarrow& \forall x \,\, x\in A \to x\in B \end{array}
部分集合が使えるものを採用するとして
（ A=B のパターンは明らかなので他を考えます）
確認すべき２点について考えてみると
\begin{array}{lcl} \mathrm{Trans}(α+1) &\Longleftrightarrow& \forall γ \,\, γ \in α+1 ⇒ γ⊂α+1 \\ \\ \mathrm{Trans}(γ) &\Longleftrightarrow& \forall δ \,\, δ\in γ ⇒ δ⊂γ \end{array}
その表現はこのようになります。
（この時点で分かるのは α が順序数であることだけ）
後続順序数と中身の推移性
再度確認しておくと
後続順序数の定義は
\begin{array}{ccc} α+1 &=& α∪\{α\} \end{array}
こうであり
（ α との差は α 自身を持つかどうか）
\begin{array}{lcl} α &⊂& α \\ \\ α &⊂& α∪\{α\} \end{array}
後続順序数 α+1 は
確実に「 α の要素を全て持ちます」
そして「順序数の要素は順序数」なので
\begin{array}{ccl} γ &\in& α \\ \\ γ &\in& α∪\{α\} \end{array}
「順序数 α の要素 γ 」は「全て順序数」です。
（ α が順序数であることから明らかとしても良い）
以上のことから
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(γ) &\Longleftrightarrow& \forall δ \,\, δ \in γ ⇒ δ⊂γ \end{array}
「推移的である」という要請的定義を
「 α+1 の要素は全て満たす」ので
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α+1) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α+1) &∧& \forall γ \in α+1 \,\, \mathrm{Trans}(γ) \\ \\ ？ && ？ && 〇 \end{array}
「順序数である」ための片方の条件は
確実に満たされると言えます。
後続順序数と推移性
もう片方の \mathrm{Trans}(α+1) については
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(α+1) &\Longleftrightarrow& \forall γ \,\, γ \in α+1 ⇒ γ⊂α+1 \end{array}
「 α が順序数である」ことから
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall γ \,\, γ \in α ⇒ γ⊂α \end{array}
こうなると言えて
\begin{array}{ccc} γ &⊂ &α & ⊂ & α∪\{α\} \end{array}
後続順序数の定義より
間違いなくこうなると言えるので
\begin{array}{ccr} α & \in & \{α\} \\ \\ α & \in & α∪\{α\} \end{array}
後続順序数は α を要素に持つことから
\begin{array}{clcl} \forall γ & γ \in α &⇒& γ⊂α \\ \\ \forall γ & γ \in α+1 &⇒& γ⊂α+1 \end{array}
こうなるという結論を導けます。
（ α と α+1 の違いは α を要素に持つかどうか）
後続順序数は順序数の定義を満たす
まとめると
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) &∧& \forall γ \in α \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
順序数の定義はこうで
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(α+1) &\Longleftrightarrow& \forall γ \,\, γ \in α+1 ⇒ γ⊂α+1 \\ \\ \forall γ \in α+1 \,\, \mathrm{Trans}(γ) &\Longleftrightarrow& \forall γ \in α+1 \,\, \Bigl( \forall δ \,\, δ \in γ ⇒ δ⊂γ \Bigr) \end{array}
これが確認できたので
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α+1) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α+1) &∧& \forall γ \in α+1 \,\, \mathrm{Trans}(γ) \\ \\ 〇 && 〇 && 〇 \end{array}
その結果として
「後続順序数は順序数である」ことが確認できました。
（厳密には要請的定義を満たすことが分かった）
整列性の定義では
補足しておくと
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\,\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \end{array}
この場合の「後続順序数」については
\begin{array}{ccc} γ &\in& α & \in & α∪\{α\} \end{array}
「要素が全て順序数である」ことから
（ α は順序数でありその要素 γ も順序数）
\begin{array}{ccc} \forall γ \in α∪\{α\} & γ \in α ∧ α \in α∪\{α\} ⇒ γ \in α∪\{α\} \end{array}
「推移性」がただの事実として導かれ
（この着地がそのまま事実を表している）
「整列性」についても
\begin{array}{ccc} γ &\in& α∪\{α\} \end{array}
「 α が推移的である」ことから
\begin{array}{ccc} α &\subset& α∪\{α\} \end{array}
そのまま α の性質が使えるので
簡単に確認することができるため
（ γ\in α は確定なので整列性はほぼ明らか）
この定義によれば
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}\Bigl( α∪\{α\} \Bigr) \,∧\,\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}\Bigl( α∪\{α\} , \in \Bigr) \end{array}
「順序数である」ことはすぐに確認することができます。
（ α と α∪\{α\} にほとんど差が無いため）
整列性と部分集合の最小元
念のため補足しておくと
\begin{array}{ccl} α &\not\in& α \\ \\ α &\in& α∪\{α\} \end{array}
「 α と α∪\{α\} の差」は
「 α を要素として含むかどうか」だけなので
\begin{array}{ccc} \forall γ & γ \in α \end{array}
「 α が整列集合である」ことから
「三分律」「推移律」はすぐに導くことができます。
（ α と γ の関係だけ確認が必要）
同様に
\begin{array}{ccc} S_* &\subset& α∪\{α\} \end{array}
「任意の部分集合 S_* の最小元」については
\begin{array}{ccc} \forall γ\in(S_*\setminus \{α\}) & γ \in α \end{array}
「要素に α を含まないもの」が
\begin{array}{ccc} S_*\setminus \{α\}&\subset&α \end{array}
「任意の α の部分集合である」ことから
\begin{array}{ccc} α &\in& S_* \end{array}
確認する必要があるのは
「 α を要素に持つ部分集合」だけなので
\begin{array}{ccc} S_*\setminus \{α\}&\subset&α \end{array}
これをそのまま使えば
\begin{array}{ccc} μ &\in& S_*\setminus \{α\} \end{array}
これが「 α の部分集合である」ことから
「全ての S_* には最小元 μ が存在する」と言えて
（全ての S_* の差集合 S_*\setminus \{α\} でこれは言える）
\begin{array}{ccc} μ \in α &∨& μ=α \end{array}
その最小元との関係はこうなるため
（ \{α\} の場合で μ=α になる）
\begin{array}{ccc} S_* &\to& S_*\setminus \{α\} & \to& S_* \\ \\ ？ && 〇 && μ\in α \end{array}
「全ての部分集合 S_* は最小元を持つ」と言えます。
（ α を持つやつから α を抜いてその後また入れる）
極限順序数と無限集合
これは「集合論」における
\begin{array}{ccc} \displaystyle x \in \bigcup_{n\in N} A_n &\Longleftrightarrow& \exists n \in N \,\, x\in A_n \end{array}
「量化」を根拠とする「無限」の定義と
（全てのものが有限の範囲で存在し得る）
\begin{array}{ccc} \displaystyle x \in \bigcup_{n\in N} n &\Longleftrightarrow& \exists n∈N \,\, x \in n \end{array}
「自然数全体」という集合の定義から
\begin{array}{ccc} \displaystyle γ \in \bigcup_{α \in λ} α &\Longleftrightarrow& \exists α \in λ \,\, γ \in α \end{array}
かなり直接的な形で予想することができます。
（少なくともこの形が無ければ無限を定義できない）
念のため補足しておくと
\begin{array}{ccc} \forall γ \,\, \Bigl( & \displaystyle γ \in \bigcup_{α \in λ} α &\Longleftrightarrow& \exists α \in λ \,\, γ \in α & \Bigr) \end{array}
正確な論理式はこんな感じになります。
（要素の全称量化により「全て」が表現される）
極限順序数の形と順序数の要請的定義
確認しておくと
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) &∧& \forall γ \in α \,\, \mathrm{Trans}(γ) \end{array}
順序数の定義はこうであり
\begin{array}{ccc} \displaystyle γ \in \bigcup_{α \in λ} α &\Longleftrightarrow& \exists α \in λ \,\, γ \in α \end{array}
「極限順序数であると予想される形」は
（極限順序数の要素 α は全て順序数であるとする）
\begin{array}{ccc} λ &=& \displaystyle \bigcup_{α \in λ} α \end{array}
こんな感じです。
（この λ は \mathrm{Limit} の頭文字 L が由来）
そしてそういうことであれば
「後続順序数」の時のように
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(λ) & \Longleftrightarrow& \forall α \,\, α \in λ ⇒ α⊂λ \\ \\ \forall α \in λ \,\, \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall α \in λ \,\, \Bigl( \forall γ \,\, γ \in α ⇒ γ⊂α \Bigr) \end{array}
確認すべきことはこのように表現できるので
\begin{array}{ccc} \forall α \in λ \,\, \mathrm{Trans}(α) &\Longleftrightarrow& \forall α \in λ \,\, \Bigl( \forall γ \,\, γ \in α ⇒ γ⊂α \Bigr) \end{array}
これが証明不要であることから
（要素 α が全て順序数なので定義より明らか）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(λ) & \Longleftrightarrow& \forall α \,\, α \in λ ⇒ α⊂λ \end{array}
これだけ示せれば良いということが分かります。
極限順序数と推移性
問題となる
\begin{array}{ccc} \mathrm{Trans}(λ) & \Longleftrightarrow& \forall α \,\, α \in λ ⇒ α⊂λ \end{array}
これについては
\begin{array}{ccc} \displaystyle γ \in \bigcup_{α \in λ} α &\Longleftrightarrow& \exists α \in λ \,\, γ \in α \end{array}
極限順序数の候補 λ の定義と
\begin{array}{ccc} \forall γ & γ \in α &⇒& γ⊂α \end{array}
「順序数の要素は順序数である」
「順序数は推移的である」
\begin{array}{ccc} x \in A∪B &\Longleftrightarrow& x\in A ∨ x\in B \end{array}
そして「和集合の定義」より
\begin{array}{ccc} α_* \in λ \end{array}
\begin{array}{ccc} \displaystyle γ \in \bigcup_{α \in λ} α &\Longleftrightarrow&\displaystyle γ \in α_* ∨ γ \in \left( \left(\bigcup_{α \in λ} α \right) \setminus \{α_*\} \right) \end{array}
このようになることから
（これは λ の要素 α を１つ選んで調べる形）
\begin{array}{ccl} A&⊂& A∪B \\ \\ α_* &⊂& α_* ∪(λ \setminus α_*) \end{array}
α_* の要素は λ の要素でもあると言えるため
\begin{array}{ccc} α_{*} &⊂& \displaystyle \bigcup_{α \in λ} α \end{array}
「部分集合である」という事実が導かれるので
（ λ の要素である α の要素 γ を全て持つ）
\begin{array}{ccc} γ &\subset& α &\subset & λ \end{array}
けっこう簡単に示すことができます。
（ γ が全て λ の要素なので推移的だと言える）
補足しておくと
\begin{array}{ccc} \displaystyle \mathrm{Trans}\left( \bigcup_{α \in λ} α \right) & \Longleftrightarrow& \displaystyle \forall α_* \,\, α_* \in \left( \bigcup_{α \in λ} α \right) ⇒ α_*⊂\left( \bigcup_{α \in λ} α \right) \end{array}
これが示されたと言えるので
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(λ) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(λ) &∧& \forall α \in λ \,\, \mathrm{Trans}(α) \\ \\ 〇 && 〇 && 〇 \end{array}
「極限順序数」が順序数の定義を満たすことから
\begin{array}{ccc} λ &=& \displaystyle \bigcup_{α \in λ} α \end{array}
この λ が順序数であるという保証が得られます。
（前述したように正確には要請的定義を満たす）
整列性の定義では
この話はそのまま使えて
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(α) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(α) \,∧\,\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(α,\in ) \end{array}
この定義で考えた場合でも
\begin{array}{ccc} γ &\subset& α &\subset & λ \end{array}
この関係から
（これは構成的定義から導かれる結論）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ordinal}(λ) &\Longleftrightarrow& \mathrm{Trans}(λ) \,∧\,\mathrm{Well}\text{-}\mathrm{Order}(λ,\in ) \end{array}
すぐにこの結論を得ることができます。
（ λ の中身が全て順序数であるため直感的に明らか）
整列性と最小元
念のため確認しておくと
\begin{array}{ccc} γ &\subset& α &\subset & λ \end{array}
まず「部分集合の最小元」については
この時点で明らかだと分かります。
「推移性」や「三分律」も
\begin{array}{ccc} \forall γ \,\, \Bigl( & \displaystyle γ \in \bigcup_{α \in λ} α &\Longleftrightarrow& \exists α \in λ \,\, γ \in α & \Bigr) \end{array}
「極限順序数の定義」を考えれば
『要素が全て順序数である』という前提と
\begin{array}{ccc} \forall α & α \in λ \end{array}
『順序数の三分律』を考えれば
明らかなこととして導くことができます。
（順序数同士を比較できるということがこの話の肝）
後続順序数と極限順序数の一般形
以上のことから
\begin{array}{ccl} n&=&\{ 0,1,2,3,4,5,6,...,n-1 \} \\ \\ ω&=&\{ 0,1,2,3,4,5,6,...,n,... \} \end{array}
これらを統合する形として
（後続順序数も極限順序数も本質的に似ている）
\begin{array}{ccc} β &=& \{ γ \mid γ∈β ∧ \mathrm{Ordinal}(γ) \} \end{array}
このような「順序数の一般形」を求めることができます。
（これで後続と極限を統一的に扱えるようになる）
一般形の正確な定義
念のため補足しておくと
\begin{array}{ccc} β &=& \{ γ \mid γ∈β ∧ \mathrm{Ordinal}(γ) \} \end{array}
↑ は正確には正しい記述ではありません。
というのも
ここで使われている β には
\begin{array}{ccc} α+1 &=& α∪\{α\} \\ \\ λ &=& \displaystyle \bigcup_{α \in λ} α \end{array}
「空集合」「後続順序数」「極限順序数」
この縛りが付いていて
\begin{array}{ccc} β &=& ∅ \\ \\ β &=& γ∪\{γ\} \\ \\ β &=& \displaystyle \bigcup_{γ\in λ} γ \end{array}
この形しかとり得ないという制限が付いています。
（つまり β は必ず順序数になる）