重積分について大事なところをできるだけ分かりやすくまとめてみた

|| 2変数以上の積分

変数が１個より多い時の「積分」の名前

$3$ 変数以上はあまり使われません。

多重積分 Multiple Integral

|| ２変数以上を積分する時の積分の呼び方

基本的に２変数の積分（二重積分）しか扱いません。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_D f(z) \,dz &=&\displaystyle\int_D f(x,y) \,d(x,y) &=&\displaystyle\int\int_D f(x,y) \,dxdy \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} a_k \, μ(D_k) \right\} \end{array}$

たまーに三重積分と一般形は見ますが

あまり実用性はないですね。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle D&=&[a_1,b_1]×[a_2,b_2] \\ \\ V&=&\displaystyle \int\int_D f(x,y) \, dxdy \\ \\ \\ \displaystyle D&=&[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×\cdots×[a_n,b_n] \\ \\ V&=&\displaystyle \int\int\cdots\int_D f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \, dx_1dx_2\cdots dx_n \end{array}$

１変数の積分が

『ほぼ線の長方形』の「集まり」から

『面積』を求めたのに対して

$\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x) \, dx \\ \\ f(x,y) \, dxdy\end{array}$

２変数の積分は

『ほぼ線の直方体』の「集まり」から

『体積』を求める操作になります。

ちなみにこの「多重積分」ですが

「重積分」と呼ばれることもあります。

逐次積分 Iterated Integral

|| 変数を１個ずつ積分してく感じの積分

多重積分の基本的な計算方法のこと。

他の名前もあります（累次積分・反復積分）

$\begin{array}{llllll} \displaystyle D&=&[a_1,b_1]×[a_2,b_2] \\ \\ \\ V&=&\displaystyle \int\int_D f(x,y) \, dxdy \\ \\ &=&\displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(x,y) \, dx \right) \, dy \end{array}$

「微分」で言うところの

『偏微分』みたいなものですね。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \int\int_D f(x,y) \, dxdy &&？\\ \\ \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(x,y) \, dx \right) \, dy && 〇\end{array}$

計算ってなると

基本的にこのやり方がメインになります。

多重積分と逐次積分は異なる

逐次積分と多重積分は

常に一致するわけではありません。

（まあだいたい一致するんですが）

$\begin{array}{cll} xy^2 & & \left\{\begin{array}{lcl} -\infty≤x≤\infty \\ \\ -\infty≤y≤\infty \end{array} \right. \\ \\ \\ \displaystyle \frac{x^2-y^2}{\left( x^2+y^2 \right)^2} && \left\{ \begin{array}{lcl} 0≤x≤1 \\ \\ 0≤y≤1 \end{array} \right. \end{array}$

例えばこういうパターンでは

$\begin{array}{llcllll} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} xy^2\, dx \right) \, dy &=&0 \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} xy^2 \, dy \right) \, dx &=& \infty \end{array}$

$\begin{array}{llrllll} \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{\left( x^2+y^2 \right)^2} \, dx \right) \, dy &=& \displaystyle -\frac{π}{4} \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{\left( x^2+y^2 \right)^2} \, dy \right) \, dx &=& \displaystyle \frac{π}{4} \end{array}$

逐次積分を行うと

順番によって積分値が変化します。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{\left( x^2+y^2 \right)^2} \, dx&=&\displaystyle\left[ -\frac{x}{x^2+y^2} \right]_{0}^{1} \\ \\ &=&\displaystyle-\frac{1}{1+y^2} \\ \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{\left( x^2+y^2 \right)^2} \, dy&=&\displaystyle\left[ \frac{y}{x^2+y^2} \right]_{0}^{1} \\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{x^2+1} \end{array}$

ちなみにこれの積分はこんな感じ。

（詳しい計算は長い上に本題から逸れるのでカット）

フビニの定理 Fubini’s Theorem

|| 積分可能なら逐次積分は多重積分と一致する

$[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]$ の範囲で「 $f$ が可積分」なら

（可積分は $f$ が可測関数であることも意味する）

「多重積分」と「逐次積分」は一致する

まあつまるところ

$\begin{array}{lcl}\displaystyle \int_D \Bigl| f(x,y) \Bigr| \, dμ(x,y) &<& \infty \end{array}$

「範囲 $D$ 」内で「積分可能である」ことが

『逐次積分』して良い根拠だとこの定理は主張してます。

（計算結果は不明ですがこの状態を前提とする）

トネリの定理 Tonelli’s Theorem

|| 正の普通の関数なら多重積分と逐次積分は一致

「可測関数」で「非負（正）」ならいける

（可積分は条件に含まれず計算結果が無限でもいい）

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k 1_{D_k}(x)&=& f(x) && 1点\\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k μ({D_k})&=& \displaystyle \int_D f(x) \, dμ(x) &&全域 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k μ({D_k})&=& \displaystyle \int_D f(x,y) \, dμ(x,y) \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \forall n\in N & 0≤a_n \end{array}$

これはそのまんま

「ルベーグ積分」と「直積測度」の話です。

（有界な単調増加列は収束し極限は一意に定まる）

二重級数とコーシー積

多重積分と逐次積分の関係は

本質的には「二重級数」の話になります。

（つまりはコーシー積の話）

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij} &=& \displaystyle \begin{array}{c} \displaystyle \sum_{j=1}^{m}a_{1j} \\ \displaystyle\sum_{j=1}^{m}a_{2j} \\ \vdots \\ \displaystyle\sum_{j=1}^{m}a_{nj} \end{array} &=& \displaystyle \begin{array}{c} \displaystyle a_{11}+a_{12}+\cdots + a_{1m} \\ \\ a_{21}+a_{22}+\cdots + a_{2m} \\ \\ \vdots \\ \\ a_{n1}+a_{n2}+\cdots + a_{nm} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij} &=& \displaystyle \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{ij} \end{array}$

このような操作で矛盾が出ない

これが多重積分における定理の本質で

↑ はこれを実現するための条件になります。

ちなみに $a_{ij}$ ですが

$\begin{array}{llllll} \displaystyle a_{ij}&=& dxdyd(x,y)\end{array}$

これはこの話の場合だと

「小さくできる直方体の体積」を意味します。

（小さくしつつ無限に集めて全体の体積にする感じ）

発想の元は絶対収束

「ルベーグ測度 $μ^*$ （一意に定まる）」

$\begin{array}{lcl} μ\Bigl( [a,b) \Bigr)&=&b-a \end{array}$

$\begin{array}{lcl} μ^*(I)&=&\displaystyle \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(I_n) \,\middle| \, I⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \end{array}$

「定義関数 $1_D$ 」「定義関数の積分」

（これらは疑問の余地が無いため定義になります）

$\begin{array}{lcl} 1_D(x)&=& \left\{ \begin{array}{ccl} 1 && x\in D \\ 0 && x\not\in D \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 1_{[a,b)}(x) \,dμ(x) &=& b-a &=& μ\Bigl( [a,b) \Bigr) \end{array}$

これらにより定義される

「単関数 $φ$ 」「単関数の積分」により

$\begin{array}{ccc} φ_n(x) &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k \, 1_{D_k}(x) \\ \\ \displaystyle\int_D φ_n(x) \, dμ(x) &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k \, μ(D_k) && \displaystyle D=\bigsqcup_{k=1}^{n}D_k \end{array}$

「ルベーグ積分」は ↓ のように定義されていて

（単関数近似定理より $φ_n$ の存在は保証される）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} φ_n(x) &=& f(x) \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{D}f(x) \,dμ(x) &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} a_k \, μ(D_k) \right\} \end{array}$

「逐次積分」で大切なのは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij} &=& \displaystyle \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}a_{ij} \end{array}$

「並び替えても同じになる」ですから

「絶対収束すれば良さそう」

これが自然な結論として導かれます。

実際

$\begin{array}{ccc} 0&≤&|f(x)| && \mathrm{Fubini} \\ \\ 0 &≤& f(x) && \mathrm{Tonelli} \end{array}$

「トネリの定理」も「フビニの定理」も

両方とも「絶対収束」に近い内容になっています。

（これと二重級数が分かると直感的に正しいと分かる）

可積分 Integrable

|| そのまんま積分できるって意味の単語

「ルベーグ可積分」とかいう定義された用語のこと

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{D} \Bigl| f(x) \Bigr| \,μ(dx)&<&\infty \end{array}$

これは要するに「絶対収束」のことで

「数列を並び替えても総和が変わらない」みたいな

そういう感じの話になります。

σ-有限 σ-finite

|| 一般性を損なわない程度の緩い条件

『測度の一意性を保証するための条件』のこと。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,σ_X,μ) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Measure \,\, Space} \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle (R,\mathrm{Borel}(R),μ_{\mathrm{Lebesgue}})&&\to&& \displaystyle\bigcup_{n∈N}[-n,n]=R \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{Lebesgue}}([-n,n])=2n&<&\infty \end{array}$

「測度空間」に定義される概念で

（測度空間は完全加法性が保証されてる）

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_1,I_2,I_3,...&∈&σ \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}I_n&=&X \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(I_n)<\infty \end{array}$

↑ の条件を満たす時

その「測度空間は σ-有限である」と言います。

主に使われる場面は

「カラテオドリの拡張定理」などの証明です。

（測度の一意性を保証したいという要望から）

直積測度 Product Measure

|| 測度の掛け算的な操作の話

以下の条件を満たす $M_{\mathrm{product}}$ が「直積測度」です。

（「多重積分」の一般形になります）

$\begin{array}{llllll} X\times Y &=&\{ (x,y) \mid x∈X ∧ y∈Y \} \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M_{\mathrm{product}}&=&μ_X\times μ_Y \\ \\ μ_{X\times Y}&=&μ_X\times μ_Y \end{array}$

「測度空間」への「直積」操作

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_X&∈&σ_X \\ \\ I_Y&∈&σ_Y \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{X\times Y}(I_X\times I_Y)&=&μ_X(I_X)μ_Y(I_Y) \end{array}$

その自然な拡張としてこのように定義されています。

（測度空間 $(X,σ_X,μ_X) \,\, (Y,σ_Y,μ_Y)$ 上の話）

この記事では

これで図形を表現して多重積分を説明する感じです。

（特にルベーグ積分はこの定義に依存します）

σ-有限測度上での直積測度

「直積測度」の元となる

「測度空間 $(X,σ_X,μ_X) \,\, (Y,σ_Y,μ_Y)$ 」が

「σ-有限な測度空間」である時

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M_{\mathrm{product}}&=&μ_X\times μ_Y \end{array}$

「直積測度 $M_{\mathrm{product}}$ 」は一意に定まります。

（測度の一意性については別記事で）

この事実と「絶対収束」を利用したのが

「フビニの定理」「トネリの定理」で

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \int\int_D f(x,y) \, dxdy &=&\displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(x,y) \, dx \right) \, dy \\ \\ \displaystyle \int\int_D f(x,y) \, dxdy&=&\displaystyle \int_{a_1}^{b_1} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(x,y) \, dy \right) \, dx \end{array}$

「極限の一意性」「測度の一意性」から

当然の結果としてこの結論が導かれます。

（現状では直感的に明らかだと分かる程度）

長方形 Rectangle

|| 面積を定義する最小単位

「図形」「集合」「区間」「面積の定義」から

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Rect}&⊂&X\times Y \end{array}$

「長方形 $\mathrm{Rect}$ 」は

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_X&⊂&X \\ \\ I_Y&⊂&Y \end{array}$

「区間 $I_X,I_Y$ 」の直積として

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Rect}&=&I_X \times I_Y \\ \\ &=& \{ (x,y) \mid x∈I_X ∧ y∈I_Y \} \end{array}$

「測度論」的には

このような形で定義されています。

（点を意味する座標 $(x,y)$ の集合）

可測長方形 Measurable Rectangle

|| そのまま可測な長方形（集合）のこと

「面積を求めることができる長方形」のこと

$\begin{array}{cccc} 長方形の面積&=&底辺×高さ \\ \\ \displaystyle |\mathrm{Rect}| &=& μ_X(I_X)μ_Y(I_Y) \end{array}$

「可測である」という条件が付いただけで

$\begin{array}{llllll} \displaystyle I_X&∈&σ_X \\ \\ I_Y&∈&σ_Y \end{array}$

基本的には「長方形」の定義と同様です。

（この定理における図形はこれを拡張したもの）

ルベーグ積分 Lebesgue Integral

|| 単関数近似定理を根拠にした積分

明確に「測度」と関連付けられた積分のこと

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{(-\infty,\infty)} 1_{[a,b)}(x) \,dμ(x) &=& μ\Bigl( [a,b) \Bigr) \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y} 1_{I_X\times I_Y}(x,y) \,dμ(x,y) &=& μ_{X\times Y}(I_X\times I_Y) \end{array}$

「定義関数の積分」と「測度」の関係から

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_{X} f \, dx &\to& \displaystyle\int_{X} f \, dμ \\ \\ \displaystyle\int_{X\times Y} f \, dxdy &\to& \displaystyle\int_{X\times Y} f \, dμ \end{array}$

「多重積分」と「逐次積分」は

$\begin{array}{lcl} φ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{ I_k }(x) \\ \\ φ_n(x,y) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{ ( I_X\times I_Y )_k }(x,y) \end{array}$

「単関数」の性質と

$\begin{array}{rcl} φ_n(x,y) &≤& f(x,y) \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} φ_n(x,y) &=& f(x,y) \end{array}$

「単関数近似定理」を根拠として

$\begin{array}{ccc} I &=& \displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} I_k \\ \\ \displaystyle \int_{I} φ_n(x) \, dμ(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k μ(I_k) \end{array}$

「単関数の積分」から

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{I} f(x) \,dμ(x) &=& \displaystyle \sup\left\{ \int_{I} φ_n(x) \, dμ(x) \right\} \\ \\ \displaystyle \int_{I} f(x) \,dμ(x) &=& \displaystyle \sup\left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k μ(I_k) \right\} \end{array}$

「測度」を使うことにより

このような形で厳密に定義されています。

（測度の一意性から順序交換の根拠が得られる）

ルベーグ積分の線型性

「多重積分」を厳密に定義する時

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int f &=& \displaystyle \int f^+ - \int f^- && ？ \\ \\ \displaystyle\int f &=& \displaystyle \int \Bigl( f^+ + (-1)f^- \Bigr) && 〇 \end{array}$

「一般の可測関数」について考えたくなるので

（ $f^+$ は正の部分 $f^-$ は負の部分で両方とも正）

$\begin{array}{ccc} f(αx+βy) &=& αf(x) + βf(y) \\ \\ \displaystyle \int αf+βg &=& \displaystyle α\int f + β\int g \\ \\ \displaystyle \int f^+ +(-1)f^- &=& \displaystyle \int f^+ + (-1)\int f^- \end{array}$

「ルベーグ積分」を考える上で

これはほぼ必須の操作になります。

（見やすさのために略記）

線型性についての雑な証明

厳密な証明については

長くなるので別記事で行います。

$\begin{array}{ccc} f(αx+βy) &=& αf(x) + βf(y) \\ \\ f(αx+βy) &=& f(αx) + f(βy) \\ \\ &=& αf(x) + βf(y) \end{array}$

この記事では

「線型性」を構成する「斉次性」「加法性」について

$\begin{array}{rcr} φ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) \\ \\ αφ_n(x) &=& \displaystyle α\sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) \end{array}$

「非負単関数」までしか扱いません。

（一般の可測関数でも線型性は成立）

単関数積分の斉次性の証明

詳しくはやりませんが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle α\sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k} (x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} αc_k 1_{D_k} (x) \end{array}$

「総和の斉次性」さえ理解していれば

「単関数のルベーグ積分」が「斉次性」を持つ

（正の単関数としたいので $0\leqα$ とする）

$\begin{array}{lclcl} \displaystyle \int αφ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (α c_k) μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} α c_k μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle α\sum_{k=1}^{n} c_k μ(D_k) &=& \displaystyle α\int φ_n(x) \end{array}$

この事実については

特に疑問なくすぐ分かると思います。

（有限総和の斉次性については明らかなので省略）

単関数積分の加法性の証明

これも ↑ と同様

$\begin{array}{lcl} φ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k 1_{D_k} (x) \\ \\ ψ_n(x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_k 1_{D_k} (x) \end{array}$

「非負の単関数」で考えていくと

「細分割」という概念を認めれば

$\begin{array}{ccccl} i≠j⇒D_i ∩ D_j=∅ && \to && \displaystyle D=\bigcup_{k=1}^{n}D_k \\ \\ i≠j⇒D_i ∩ D_j=∅ && ← && \displaystyle D=\bigsqcup_{k=1}^{n}D_k \end{array}$

「共通の積分範囲 $D$ 」の

「共通の分割 $D_k$ 」で単関数を再定義できるので

その再定義により得られた単関数を比較すれば

$\begin{array}{ccc} φ_n+ψ_n \\ \\ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k 1_{D_k} (x) + \sum_{k=1}^{n} b_k 1_{D_k} (x) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k) 1_{D_k} (x) \end{array}$

「単関数の和」の形と

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D φ_n + \int_D ψ_n &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k μ(D_k) + \sum_{k=1}^{n} b_k μ(D_k) \end{array}$

「非負単関数の積分」の定義により

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k μ(D_k) + \sum_{k=1}^{n} b_k μ(D_k) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k μ(D_k) + b_k μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) μ(D_k) \\ \\ &=& \displaystyle \int_D \left( \sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k) 1_{D_k} (x) \right) \end{array}$

これはこのような流れで証明できます。

（これを基礎として非負可測関数の場合は証明される）

多重積分の定理の証明

以上の話を理解していれば

多重積分の各定理は証明できます。

$\begin{array}{lcl} 0≤|f(x)| &\to& 逐次積分が一致 \\ \\ 0≤f(x) &\to& 逐次積分が一致 \end{array}$

具体的には

「測度」「外測度」「直積測度」の一意性

（厳密には $σ$ -有限な測度が一意に定まる）

$\begin{array}{lcl} μ\Bigl( [a,b) \Bigr) &=& b-a \\ \\ μ^*(I)&=&\displaystyle \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(I_n) \,\middle| \, I⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \\ \\ μ_X \times μ_Y (I_X \times I_Y) &=& μ_X(I_X) μ_Y(I_Y) \end{array}$

「極限」「絶対収束」の一意性

$\begin{array}{ll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} φ_n(x) &=& f(x) \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| &<& \infty \end{array}$

そして ↓ の一意性を利用することで

$\begin{array}{lcl} 1_D(x)&=& \left\{ \begin{array}{ccl} 1 && x\in D \\ 0 && x\not\in D \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 1_{[a,b)}(x) \,dμ(x) &=& b-a &=& μ\Bigl( [a,b) \Bigr) \end{array}$

「一意性がある状態」を維持しながら

欲しい結論に寄せていくという形でこれは証明できます。

（要するに良い感じの定義が定理の本質）

多重積分の問題点

「多重積分」の問題点は

『多重積分の解が複数存在する』こと

（測度・面積を求める関数が一意に定まらないこと）

つまり『逐次積分が一致するとは限らない』ことで

（この原因が $σ$ -有限ではないからだと推定）

$\begin{array}{lcccl} 0≤f(x,y) &&→&& \mathrm{Toneli} \\ \\ \displaystyle 0≤|f(x,y)| &&→&& \mathrm{Fubini} \end{array}$

各定理は

『どれが答えか分からない』この問題を解消するための

「計算結果が一致する条件」を求めたものになります。

多重積分と逐次積分の厳密な定義

この話を進めるために

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D f(z) \,dz &=&\displaystyle\int_D f(x,y) \,d(x,y) &=&\displaystyle\int\int_D f(x,y) \,dxdy \end{array}$

まずこれの曖昧さを取り除くため

良い感じの明確な定義を行っておきます。

（ ↓ の定義は各定理が明確に関わる定義）

具体的には

「測度」と「直積測度」

「単関数近似定理」「ルベーグ積分」を使って

$\begin{array}{ccc}\displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} a_k \, μ(D_k) \right\} \end{array}$

より厳密に取り扱えるよう再定義してみます。

（これにより明確に $σ$ -有限などの条件が推定できる）

多重積分の定義

リーマン積分的な感覚だと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D f(z) \,dz &=&\displaystyle\int_D f(x,y) \,d(x,y) &=&\displaystyle\int\int_D f(x,y) \,dxdy \end{array}$

このように表現できる「多重積分」という概念は

（この時点じゃまだ定義がそこそこ曖昧）

$\begin{array}{ccccl} D &=& I_X\times I_Y &&D⊂ X\times Y \\ \\ D&=& \displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} D_k && D_k=(I_X\times I_Y)_k \end{array}$

記号をこのように定めると

$\begin{array}{ccc} μ_{X}\times μ_{Y}(I_X\times I_Y)&=&μ_X(I_X)μ_Y(I_Y) \end{array}$

「直積測度空間」上の「ルベーグ積分」として

（この時点で $f$ に可測関数という制限が付く）

$\begin{array}{lcccl} \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& μ(D) && fが定義関数 \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k \, μ(D_k) && fが単関数 \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} a_k \, μ(D_k) \right\} && fが非負の可測関数 \\ \\ \end{array}$

「単関数の積分」から

このような形で厳密に定義できます。

（直積測度により可測長方形の面積として定義できる）

負になり得る一般の可測関数

↑ までは直感的にも明確

なので「一般の可測関数」の場合は

$\begin{array}{lclcl} f^+&=&\displaystyle\max\{0,f\} && 負の部分が全て0 \\ \\ f^-&=&\displaystyle\max\{0,-f\} &&正の部分が全て0 \end{array}$

「負の値」を排除するために

「正になる部分」と「負になる部分」に分け

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=&\displaystyle \int_{X\times Y}f^+ \,dμ - \int_{X\times Y}f^- \,dμ \end{array}$

「非負可測関数の分割」という形で

「線型性」を使ってこのように定義してみます。

（現時点では問題が無さそうな定義）

逐次積分の定義

「逐次積分」は ↑ を分解してみたもので

（直積の分解を試してみた感じ）

$\begin{array}{lccclcl} μ_{X\times Y}=μ_Xμ_Y &&\to&& \displaystyle \int_Y \left( \int_X f(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ μ_{X\times Y}=μ_Xμ_Y &&\to&& \displaystyle \int_X \left( \int_Y f(x,y) \,dμ(y) \right) \,dμ(x) \end{array}$

それぞれこのように

「１変数で表現したもの」が厳密な定義になります。

（片方の変数を固定すればルベーグ積分の定義そのまま）

多重積分と逐次積分の一致

↑ の定義は直感的かつ単純ですが

まだ２つに明確な関連が無いので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=&\displaystyle \int_Y \left( \int_X f \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& \displaystyle \int_X \left( \int_Y f \,dμ(y) \right) \,dμ(x) \end{array}$

こうなるかどうかは今のところ不明です。

なのでこの等式の成立については

きちんと確認する必要があります。

可測関数 $f$ が定義関数の場合

まず根本となる

$\begin{array}{lcl} 1_{I_X\times I_Y}(x,y) &=& 1_{I_X}(x)1_{I_Y}(y) & & I_X \times I_Y & I_X & I_Y \\ &{} & {}& & ↓ & ↓ & ↓{} \\ 1_{D}(x,y) &=& 1_A(x)1_B(y) & & D & A & B \end{array}$

「定義関数」から確認しておくと

（ $1_{D}(x,y)$ は $(x,y)\in D$ で $1$ になるとします）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& \displaystyle μ(D) \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y} 1_{D}(x,y) \,dμ(x,y) &=& \displaystyle μ_{X\times Y}(A\times B) \end{array}$

まず「多重積分」はこうなると言えます。

（ $D$ が可測集合である場合に定義できる）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_Y \left( \int_X f\,dμ(x) \right) \,dμ(y) &=& \displaystyle \int_Y \left( \int_X 1_{D}(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y \left( \int_X 1_{A}(x) 1_B(y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y \left( 1_B(y) \int_X 1_{A}(x) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y 1_B(y) μ_X(A) \,dμ(y) \\ \\ &=& \displaystyle μ_X(A) \int_Y 1_B(y) \,dμ(y) \\ \\ &=&μ_X(A)μ_Y(B) \end{array}$

そして「逐次積分」はこうなるので

（詳しい話は長くなるのでここではざっくり）

以上の結果から

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y} 1_{D}(x,y) \,dμ(x,y) &=& \displaystyle μ_{X\times Y}(A\times B) \\ \\ \displaystyle \int_Y \left( \int_X 1_{D}(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) &=&μ_X(A)μ_Y(B) \\ \\ \displaystyle \int_X \left( \int_Y 1_{D}(x,y) \,dμ(y) \right) \,dμ(x) &=&μ_Y(B)μ_X(A) \end{array}$

「直積測度」の定義より

「多重積分と逐次積分は一致する」と言えます。

（測度の直積じゃないなら一致するとは限らない）

可測関数 $f$ が単関数の場合

↑ の話から直感的には明らかですが

$\begin{array}{ccl} φ_n(x,y) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k}(x,y) \\ \\ \displaystyle\int_D φ_n(x,y) \,dμ(x,y) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k μ_{X\times Y}(D_k) \end{array}$

こちらも念のため確認しておきます。

（これが実際の計算に近い形になります）

使う式変形は ↑ の結果に寄せるだけ。

足し算である単関数

というわけで

まず「多重積分」についてですが

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\int_D f \,dμ &=& \displaystyle\int_D φ_n(x,y) \,dμ(x,y) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k μ_{X\times Y}(D_k) \end{array}$

こちらは特に何をするでもなく

そのまま定義から求めることができます。

「逐次積分」については

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int \sum_{k=1}^{2} c_kf_k &=& \displaystyle \int c_1f_1 + \int c_2f_2 \\ \\ &=& \displaystyle c_1\int f_1 + c_2\int f_2 \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{k=1}^{2} c_k\int f_k \end{array}$

これを飲み込めるなら

（見やすさ重視で略記してます）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_Y \left( \int_X f \,dμ(x) \right) \,dμ(y) &=& \displaystyle \int_Y \left( \int_X φ_n(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y \left( \int_X \sum_{k=1}^{n} c_k 1_{D_k}(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y \left( \sum_{k=1}^{n} c_k \int_X 1_{D_k}(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k\int_Y \left( \int_X 1_{D_k}(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \end{array}$

このようにすれば

「定義関数」の話にできるため

意外と単純な式変形で

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y} φ_n(x,y) \,dμ(x,y) &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} c_k μ_{X\times Y}(D_k) \\ \\ \displaystyle \int_Y \left( \int_X φ_n(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) &=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c_kμ_X(A_k)μ_Y(B_k) \\ \\ \displaystyle \int_X \left( \int_Y φ_n(x,y) \,dμ(y) \right) \,dμ(x) &=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c_kμ_Y(B_k)μ_X(A_k) \end{array}$

この結論を導くことができます。

（こちらも測度の直積が定義されてなければならない）

トネリの定理と多重積分の定義

↑ の話を続けていくと

今度は「非負の可測関数」の話になるわけですが

$\begin{array}{ccccl} 0 &≤& \displaystyle f(x,y) &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k \, 1_{D_k}(x,y) \right\} \\ \\ && \displaystyle \int_{X\times Y}f(x,y) \,dμ &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k \, μ(D_k) \right\} \end{array}$

実はこのパターンの話が

そのまま「トネリの定理」になります。

分かり辛いですが

証明自体はわりとシンプルで

$\begin{array}{lcc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} φ_n(x,y) &=&f(x,y) \\ \\ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_D φ_n(x,y) dμ(x,y) &=&\displaystyle \int_D f(x,y) \,dμ(x,y) \end{array}$

「単関数近似定理」を理解していれば

（単関数は非負であれば単調増加列）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_D φ_n(x,y) dμ(x,y) &=& \displaystyle \int_D \left(\lim_{n\to\infty} φ_n(x,y) \right) dμ(x,y) \end{array}$

「単調収束定理」や「優収束定理」などの

「極限と積分の交換」が可能な条件下で

（一般的には交換できない）

$\begin{array}{lclcl} \displaystyle \int_{X\times Y} φ_n(x,y) \,dμ(x,y) &=&\displaystyle \int_Y \left( \int_X φ_n(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y} φ_n(x,y) \,dμ(x,y) &=&\displaystyle \int_X \left( \int_Y φ_n(x,y) \,dμ(y) \right) \,dμ(x) \end{array}$

「単関数での一致」という

↑ で得られた事実をそのまま適用すれば

（以下見やすさのために略記）

$\begin{array}{lclcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{X\times Y} φ_n &=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_Y \left( \int_X φ_n \right) \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{X\times Y} φ_n &=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_X \left( \int_Y φ_n \right) \end{array}$

「非負可測関数」における

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y} f(x,y) \,dμ(x,y) &=&\displaystyle \int_Y \left( \int_X f(x,y) \,dμ(x) \right) \,dμ(y) \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y} f(x,y) \,dμ(x,y) &=&\displaystyle \int_X \left( \int_Y f(x,y) \,dμ(y) \right) \,dμ(x) \end{array}$

「多重積分と逐次積分の一致」は

わりと簡単に示すことができます。

（これに必要な各条件がトネリの定理の前提になる）

トネリの定理で必要になる前提を整理

以上のことを踏まえると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_{X\times Y}f \,dμ &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} a_k \, μ_{X\times Y}(D_k) \right\} \end{array}$

まず「ルベーグ積分」で積分される

「可測関数 $f$ の存在」を保証する基盤として

$\begin{array}{lcl} μ_{X\times Y} &=& μ_Xμ_Y \end{array}$

「直積測度 $μ_{X\times Y}$ の存在」を保証するために

$\begin{array}{lll} X & σ_X & μ_X \\ \\ Y & σ_Y & μ_Y \end{array}$

まずこれらは「測度空間」であることが求められます。

（この辺りの詳細は測度論の話になるので省略）

加えて

「直積測度」には「一意性」が求められるので

$\begin{array}{lcl} \begin{array}{lcl} μ_X &1つだけ \\ \\ μ_Y &1つだけ \end{array} &&\to&& μ_{X\times Y}&1つだけ \end{array}$

この「直積測度」の一意性を保証するために

$\begin{array}{lcl} μ_{X\times Y}^1 &=& μ_Xμ_Y \\ \\ μ_{X\times Y}^2 &=& μ_Xμ_Y \\ \\ &\vdots \end{array}$

「測度 $μ_X,μ_Y$ 」は

「σ-有限」である必要があると言えます。

（これも直積測度の定義の話なので詳細はカット）

そして以上を前提とすると

「可測集合上の話」になるので

$\begin{array}{lcl} 普通の関数 &\to& 可測関数 \end{array}$

「ほぼ全ての普通の関数」を意味する

「可測関数」を全て扱えることになります。

（一意性を実現しようという方針からこれに繋がる）

ただこの時点では

「積分する関数 $f$ 」に特に制限が無いので

$\begin{array}{lcl} fが無制限 &\to& fは非負可測関数 \end{array}$

「定義関数」「単関数」の流れから

「非負（正）の可測関数である」として

欲しい結果が得られるか確認

↑ で示したように

「多重積分と逐次積分の一致」という

欲しかった結果が得られたことから

$\begin{array}{lcl} 多重積分=逐次積分 &&←&& \left\{ \begin{array}{ll} σ\text{-}有限測度空間の直積 \\ \\ 積分されるのは非負値可測関数 \end{array} \right. \end{array}$

「σ-有限測度空間」と「非負値可測関数」

これらが必要な前提になるということが分かります。

フビニの定理と多重積分の定義

「非負可測関数」についてはわかったので

最後は「一般の可測関数」について考えてみます。

$\begin{array}{ccl} \displaystyle f(x,y) &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k \, 1_{D_k}(x,y) \right\} \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y}f(x,y) \,dμ(x,y) &=& \displaystyle\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k \, μ(D_k) \right\} \end{array}$

「トネリの定理」の結果を見れば分かる通り

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y} |f(x,y)| \,dμ(x,y) &<& \infty \end{array}$

「ルベーグ可積分」という条件の有無に関わらず

「トネリの定理」を適用しさえすれば

「非負値可測関数」までは

確実にこうなると言えます。

（負の可測関数が混ざると分からない）

一般の可測関数の時だけ不明瞭

問題となるのは

「一般の可測関数」の場合で

$\begin{array}{lclcl} f^+&=&\displaystyle\max\{0,f\} && 負の部分が全て0 \\ \\ f^-&=&\displaystyle\max\{0,-f\} &&正の部分が全て0 \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f \,dμ &=& \displaystyle \int_D f^+ \,dμ - \int_D f^- \,dμ \end{array}$

「非負可測関数」により定義されてはいますが

これはこのままでは扱い辛いです。

（負の場合どうなるか不明）

非負可測関数の場合は分かっている

「非負可測関数」の話にするために

それぞれ分解して考えてみると

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f \,dμ &=& \displaystyle \int_D f^+ \,dμ - \int_D f^- \,dμ \end{array}$

「トネリの定理」より

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y} f^+ \,dμ^* &=&\displaystyle \int_Y \left( \int_X f^+ \,dμ \right) \,dμ &=&\displaystyle \int_Y \left( \int_X f^+ \,dμ \right) \,dμ \\ \\ \displaystyle \int_{X\times Y} f^- \,dμ^* &=&\displaystyle \int_X \left( \int_Y f^- \,dμ \right) \,dμ &=&\displaystyle \int_X \left( \int_Y f^- \,dμ \right) \,dμ \end{array}$

それぞれ「正 $f^+$ 」と「負 $f^-$ 」の積分については

「多重積分と逐次積分が一致する」

これは間違いないと言えます。

可測関数のルベーグ積分と引き算

「トネリの定理」より

「非負可測関数」で ↓ のようになることは明らか

（この部分だけ見ると多重積分と逐次積分は一致）

ということは

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f \,dμ &=& \displaystyle \int_D f^+ \,dμ - \int_D f^- \,dμ \end{array}$

「一般の可測関数」の積分では

少なくとも「積分値が両方とも有限」であれば

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f \,dμ &=& \displaystyle \int_D f^+ \,dμ - \int_D f^- \,dμ \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y \left( \int_X f^+ \,dμ \right) \,dμ - \int_Y \left( \int_X f^- \,dμ \right) \,dμ \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y \left( \left( \int_X f^+ \,dμ \right) - \left( \int_X f^- \,dμ \right) \right) \,dμ \\ \\ &=& \displaystyle \int_Y \left( \int_X \left( f^+ - f^- \right) \,dμ \right) \,dμ \end{array}$

「ルベーグ積分の線型性」を認めるなら

「多重積分と逐次積分は一致する」と言えます。

（この時の積分順序は交換しても同じなのでいずれも成立）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_D f^+ \,dμ - \int_D f^- \,dμ \end{array}$

しかし「積分値が有限でない」場合

これには問題が生じるので

まだ無条件で一致するとは言えません。

不定形の排除

まず確実に言えることは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D f^+ \,dμ &-& \displaystyle\int_D f^- \,dμ \\ \\ \infty &-& \infty \end{array}$

これは定義できないということで

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D f^+ \,dμ < \infty &\mathrm{or}& \displaystyle \int_D f^- \,dμ < \infty \end{array}$

それ故に

こんな条件が付くのは間違いないと言えます。

（まだルベーグ可積分の条件より緩い）

片方の積分値が無限になる場合

両方とも無限になる

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D f^+ \,dμ &-& \displaystyle\int_D f^- \,dμ \\ \\ \infty &-& \infty \end{array}$

このパターンでは明らかにダメですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \int_D f^+ \,dμ &-& \displaystyle\int_D f^- \,dμ \\ \\ \infty & & α \\ \\ α & & \infty \end{array}$

これらのパターンで大丈夫かどうか

現時点ではよく分かっていません。

しかし「正 $f^+$ と負 $f^-$ の積分」の場合

「逐次積分と多重積分が一致する」

これはすでに分かっているので

等式はこのまま使えますから

そのままの形で計算できます。

$\begin{array}{ccccr} \displaystyle \int_D f^+ \,dμ &-& \displaystyle\int_D f^- \,dμ \\ \\ \infty &- & α &=& \infty \\ \\ α & - & \infty &=& -\infty \end{array}$

するとこれらが一致するという結果は

わりと単純な形で求めることができるため

このパターンでは問題なく一致することが分かります。

結果としてルベーグ可積分の条件が必要

以上の話をまとめると

「両方とも無限にならない」

これが条件になると分かるため

$\begin{array}{ccccc} |f| &=& f^+ &+& f^- \\ \\ \displaystyle \int_D |f| \,dμ &=& \displaystyle \int_D f^+ \,dμ &+& \displaystyle\int_D f^- \,dμ \end{array}$

その結果として

それを意味する「ルベーグ可積分」

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y} |f| \,dμ &<& \infty \end{array}$

あるいは

「無限」になる場合も定義する

「ルベーグ積分可能」というのが

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \int_{X\times Y} f^+ \,dμ < \infty &∨& \displaystyle \int_{X\times Y} f^- \,dμ < \infty \end{array}$

「一般の可測関数」の場合における

「多重積分と逐次積分の一致条件」になります。

（まあつまり矛盾を排除した定義がこれということ）

目次

多重積分 Multiple Integral

逐次積分 Iterated Integral

多重積分と逐次積分は異なる

フビニの定理 Fubini’s Theorem

トネリの定理 Tonelli’s Theorem

二重級数とコーシー積

発想の元は絶対収束

可積分 Integrable

σ-有限 σ-finite

直積測度 Product Measure

σ-有限測度上での直積測度

長方形 Rectangle

可測長方形 Measurable Rectangle

ルベーグ積分 Lebesgue Integral

ルベーグ積分の線型性

線型性についての雑な証明

単関数積分の斉次性の証明

単関数積分の加法性の証明

多重積分の定理の証明

多重積分の問題点

多重積分と逐次積分の厳密な定義

多重積分の定義

負になり得る一般の可測関数

逐次積分の定義

多重積分と逐次積分の一致

可測関数 f が定義関数の場合

可測関数 f が単関数の場合

足し算である単関数

トネリの定理と多重積分の定義

トネリの定理で必要になる前提を整理

フビニの定理と多重積分の定義

一般の可測関数の時だけ不明瞭

非負可測関数の場合は分かっている

可測関数のルベーグ積分と引き算

不定形の排除

片方の積分値が無限になる場合

結果としてルベーグ可積分の条件が必要

可測関数 $f$ が定義関数の場合

可測関数 $f$ が単関数の場合