|| どう見ても正しい論理式全部
あらゆる理論で正しいと言える「基礎的な公理」
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論理公理の概要
これは主に３系統に分けることができて
\begin{array}{ccc} 論理公理 & \left\{ \begin{array}{l} 命題論理の公理 && \lnot ∧∨→ \\ \\ 述語論理の公理 && \forall \exists \\ \\ 等号の公理 && = \end{array} \right. \end{array}
その３系統が論理公理の基礎になっています。
（以下の基礎から生成される論理式も全て論理公理）
命題論理の公理 Propositional
見た目は少し複雑ですが
\begin{array}{lcc} 後付け無意味 && p\to (q\to p) \\ \\ 抽象三段論法 && \Bigl( p\to (q\to r) \Bigr) \to \Bigl( (p\to q) \to ( p\to r) \Bigr) \\ \\ 背理法の根拠 && (\lnot q \to \lnot p )\to (p \to q) \end{array}
言ってること自体は当たり前だったりします。
（これらの公理は基礎的な証明の根拠になる）
命題論理公理の真理値
「公理」である以上は
\begin{array}{ccc} 無条件で真 &\to& 公理 &\to& 真のはず \end{array}
『常に真でなければならない』わけですが
まだ分からないので念のため確認しておきます。
まず「含意 \to 」の定義から確認
\begin{array}{ccc} p&q && p\to q \\ \\ 1 & 1 && 1 \\ \\ 1 & 0 && 0 \\ \\ 0 & 1 && 1 \\ \\ 0 & 0 && 1 \end{array}
これを参考にすると
\begin{array}{ccc} p&q && q\to p & p\to (q\to p) \\ \\ 1 & 1 && 1 & 1 \\ \\ 1 & 0 && 1 & 1 \\ \\ 0 & 1 && 0 & 1 \\ \\ 0 & 1 && 1 & 1 \end{array}
「後付けの前提は無意味になる」はこうなります。
（偽のパターンがきちんと全て消える）
\begin{array}{lcl} A&\Longleftrightarrow& p\to (q\to r) \\ \\ B &\Longleftrightarrow& (p\to q) \to ( p\to r) \\ \\ A\to B&\Longleftrightarrow& \Bigl( p\to (q\to r) \Bigr) \to \Bigl( (p\to q) \to ( p\to r) \Bigr) \end{array}
また「抽象化された三段論法」も
\begin{array}{ccc} p&q & r && q\to r & A && p\to q & p\to r & B && A\to B \\ \\ 1&1&1 && 1 &1&&1&1&1&& 1 \\ \\ 1&1&0 && 0&0 &&1&0 &0&&1 \\ \\ 1&0&1 && 1 &1&&0&1&1&& 1 \\ \\ 1&0&0 && 1 &1&&0&0&1&& 1 \\ \\ 0&1&1 && 1 &1&&1&1&1&& 1 \\ \\ 0&1&0 && 0 &1&&1&1&1&& 1 \\ \\ 0&0&1 && 1 &1&&1&1&1&& 1 \\ \\ 0&0&0 && 1 &1&&1&1&1&& 1 \end{array}
ちょっと長いですがきちんとこうなり
（これはほぼ機械的な処理なので覚える必要は無いです）
\begin{array}{ccc} p&q && \lnot q\to \lnot p & p\to q && (\lnot p \to \lnot q )\to (p \to q) \\ \\ 1 & 1&& 1&1 && 1 \\ \\ 1 & 0 && 0 & 0 && 1 \\ \\ 0 & 1 && 1&1 && 1 \\ \\ 0 & 0 && 1&1 &&1 \end{array}
同様に「背理法の根拠」もこうなるので
これでこれらが「公理」であることが確認できました。
述語論理の公理 First-order Quantifier
これは「量化子」について理解していれば
\begin{array}{lcccccl} 具体化 && \forall x \,\, φ(x) &\to & φ(t) && x\in D \to t\in D \\ \\ 存在宣言 && φ(t) &\to& \exists x \,\, φ(x) && t\in D \to x\in D \end{array}
言いたいことはすぐに分かると思います。
（これはとても単純なことを言っている）
変数 x と項 t の厳密な定義
これもちょっとややこしいんですが
\begin{array}{lcl} 数理モデル段階 && 論理式や代入規則 & メタレベル \\ \\ 公理段階 && 記号だけある &構文レベル \\ \\ 局所モデル段階 && 記号に意味を付与 &意味レベル \end{array}
厳密には「代入規則」で定義されていて
（「項 t は変数 x に代入可能である」が正確な定義）
\begin{array}{lcl} 構文段階 && 公理は記号の形であるだけ \\ \\ メタ段階 && 問題無く代入できるという宣言が付く \\ \\ 意味段階 && 記号に局所モデルの意味が与えられる \end{array}
「ドメイン（集合）」では定義されていません。
（問題の無い代入ができるという形で定義されている）
等号の公理 Identity
これも他と同様に当たり前の話で
\begin{array}{cc} && x=x \\ \\ x=y &\to& \Bigl( φ(x)↔ φ(y) \Bigr) \\ \\ x_1=y_1∧\cdots ∧x_n=y_n &\to& R(x_1,...,x_n)=R(y_1,...,y_n) \end{array}
こういうのが基礎的な公理になります。
（どういう時に「同じ」かを宣言してるだけ）
念のため補足しておくと
\begin{array}{ccc} 全般 && x=x & 自身 \\ \\ 論理 && φ(x)↔φ(y) & 同値 \\ \\ 値 && R(x)=R(y) & 一致 \end{array}
上からそれぞれこんな感じです。
（３つめの関係 R は関数 f と述語 P の両方）
生成できる論理公理
↑ の基礎となる論理公理を用いると
\begin{array}{ccc} (P\to Q)∧(Q\to R) &\to& P\to R \end{array}
例えば「三段論法」なんかは
\begin{array}{ccc} p,p\to q &\vdash& q \end{array}
「 Modus Ponens 」を用いる形で
（ \mathrm{MP} は代表的な妥当な推論規則）
\begin{array}{ccc} \Bigl( P\to (Q\to R) \Bigr) \to \Bigl( (P\to Q) \to ( P\to R) \Bigr) \end{array}
「抽象三段論法」から
\begin{array}{ccc} \textcolor{pink}{(P\to Q)∧(Q\to R)} &\to& P\to R \end{array}
「三段論法の前提」より
（ P\to Q と Q\to R は真であるとできる）
\begin{array}{ccc} \Bigl( P\to (Q\to R) \Bigr) &\Longleftrightarrow& \Bigl( P\to \mathrm{True} \Bigr) \end{array}
「含意 → 」の真理値を考えると
（ p\to q の q が偽の場合だけ偽）
\begin{array}{lcl} p && \Bigl( P\to (Q\to R) \Bigr) \\ \\ p\to q && \Bigl( P\to (Q\to R) \Bigr) \to \Bigl( (P\to Q) \to ( P\to R) \Bigr) \\ \\ \\ p && P\to Q \\ \\ p\to q && (P\to Q) \to ( P\to R) \end{array}
\mathrm{MP} の順次適用によって
\begin{array}{ccc} (P\to Q),(Q\to R) &\vdash& (P\to R) \\ \\ (P\to Q)∧(Q\to R) &\to& (P\to R) \end{array}
このような手順で導出することができます。
（論理積と含意は \vdash の式と同一視できる）
記号の対応とシークエント計算
ここで詳細は扱いませんが
\begin{array}{ccc} A&,&B &&\vdash&& C \\ \\ A&∧&B &&\to&& C \end{array}
この変換の根拠は
\begin{array}{ccc} Γ\vdash φ &\Longleftrightarrow& \displaystyle \left( \bigwedge_{ψ\in Γ}ψ \right) \to φ \end{array}
「シークエント計算」という概念から来ています。
（記号整理の段階で自然に得られる定理）