|| 「正しい」に根拠を与えるもの
数学は「正しさを決めていく学問」です
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導入
まず結論から入ると
\begin{array}{ccc} 数学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 目的 && 正しいとは何かを考察 \\ \\ 整理 && 論理的な根拠の提示 \\ \\ 運用 && 大まかな未来予測 \end{array} \right. \end{array}
「数学のざっくりとした全体像」はこんな感じです。
（この中身を厳密に表現した単語がよく分からない用語）
一般的なイメージ
いろいろ説明するために
まず事実確認をしておくと
\begin{array}{c} \left. \begin{array}{l} 学校教育 \\ \\ マスメディア \end{array} \right\} &\to& イメージ \end{array}
ほとんどの人の中にある「数学のイメージ」は
これらが提供する情報によって形作られています。
\begin{array}{ccc} 一般的な印象 & \left\{ \begin{array}{lcl} 分かり辛い \\ \\ とにかく難しい \\ \\ 面白くない \end{array} \right. \end{array}
なのでだいたいの人は
こんな感じのイメージを持ってるはずです。
（得意な人には申し訳ありませんがこっちのが正常）
数学とは
しかし実態はイメージとはかなり離れていて
\begin{array}{ccc} 正しさを決めていく &\to& 数学 \\ \\ やりたいこと &\to& 成果 \end{array}
「実際の数学」はこういうことをやっています。
（こうじゃね？の中身を分解して説明する感じ）
\begin{array}{ccc} 算数 && +-\times ÷ \\ \\ 方程式 && x=1 \\ \\ 関数 && y=f(x) \\ \\ 微分 && f^{\prime}(x) \\ \\ 積分 && \displaystyle \int \end{array}
こういった「学校の数学」は限られた領域で
\begin{array}{lcl} \mathrm{Set}(X) &\Longleftrightarrow& Xは集合である \end{array}
（学校数学の認識だと拒否反応が出ると思います）
\begin{array}{ccc} 実際の数学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 自然言語を厳密に扱う && ほぼメイン \\ \\ 具体的な値を求める && ほぼしない \end{array} \right. \end{array}
学校では散々やらされましたが
『具体的な値を計算する』ことはほぼありません。
（出力が最初から決まってるか関数の設計がほとんど）
数学のおおまかな全体像
用語をあまり使わず
ふわっとした感覚を書いていくと
\begin{array}{ccc} 数学の方向性 & \left\{ \begin{array}{lcl} 複雑 &\to& 単純 \\ \\ 難解 &\to& 分かり易い \\ \\ 曖昧 &\to& 誰が見ても正しい \end{array} \right. \end{array}
まず数学はこうでなければなりません。
（つまり複雑じゃダメだし難しくてもダメ）
\begin{array}{lcl} 数学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 数理論理学 &\to& 記号とか基礎を厳密に \\ \\ 幾何学 &\to& 図形を厳密に \\ \\ 代数学 &\to& 構造の性質とか \\ \\ 解析学 &\to& 確率とか統計とか \end{array} \right. \end{array}
あらゆる分野はこれに沿って発展しているので
（少ない基礎的な前提に分離して整理していく）
\begin{array}{ccc} 一般的な印象 & \left\{ \begin{array}{lcl} 分かり辛い && 単純なはず \\ \\ とにかく難しい && そんなはずない \\ \\ 面白くない && これは人による \end{array} \right. \end{array}
数学でこれは明らかなコンセプト違反
なので「一般的なイメージ」はだいぶおかしいです。
（個人ではなく情報を提供して印象を作る側に問題がある）
学校教育による数学の印象はなぜ悪い？
悪印象の主な原因
それは「肝心な部分をほとんどやってない」からで
\begin{array}{lcl} 基本 & \left\{ \begin{array}{lcl} 超数学 && 数学自体の考察 \\ \\ 公理 && 否定できない仮定 \\ \\ 定義 && 人が決めたルール \\ \\ \\ 量化 && 量を表現する言語 \\ \\ 論理式 && 数学で扱うもの \\ \\ 一階述語論理 && 数学の言語 \\ \\ \\ 集合論 && 数学の材料 \\ \\ 証明論 && 材料の組み立て方 \\ \\ 再帰理論 && 計算できるとは \\ \\ モデル理論 && 真偽が定まる条件 \end{array} \right. \end{array}
具体的にはこういう超重要な部分をやっていません。
（ほとんどの人は ↑ の単語を見たことも無いはず）
\begin{array}{ccc} 算数 && +-\times ÷ \\ \\ 方程式 && x=1 \\ \\ 関数 && y=f(x) \\ \\ 微分 && f^{\prime}(x) \\ \\ 積分 && \displaystyle \int \end{array}
こういうのはやってたと思うんですけど
これは『計算の道具』であって「数学の本体」とは別
\begin{array}{ccc} 微分 &←& 極限（曖昧） \\ \\ 積分 &←& 極限（曖昧） \end{array}
特にこの辺りは『基礎』が完全にすっぽ抜けてます。
（量化の知識が無いと暗記するしかない）
つまるところ
皆さんは『数学の基礎を知らずに』
「数学のようなもの」をやっていたというのが実情で
\begin{array}{ccc} 基礎 &\to& 微分 && 〇 \\ \\ ？ &\to& 微分 && ？ \end{array}
「分かる方が異常」だったりします。
（分かってると思ってる人はだいたい錯覚）
学校教育が扱う数学の分野
ざっとまとめると
\begin{array}{lcc} 数 \mathrm{I} && 方程式・二次関数・図形の性質・統計 \\ \\ 数\mathrm{A} && 図形 ・確率・統計・集合の触り \\ \\ 数 \mathrm{II} && 方程式・図形・三角関数・微積 \\ \\ 数 \mathrm{B} && 数列・統計 \\ \\ 数 \mathrm{III} && 極限・微積 \\ \\ 数 \mathrm{C} && ベクトル・複素数・曲線 \end{array}
こんな感じだと思うんですが
\begin{array}{lcl} 基礎 & \left\{ \begin{array}{lcl} 超数学 && 数学自体の考察 \\ \\ 公理 && 否定できない仮定 \\ \\ 定義 && 人が決めたルール \\ \\ \\ 量化 && 量を表現する言語 \\ \\ 論理式 && 数学で扱うもの \\ \\ 一階述語論理 && 数学の言語 \\ \\ \\ 集合論 && 数学の材料 \\ \\ 証明論 && 材料の組み立て方 \\ \\ 再帰理論 && 計算できるとは \\ \\ モデル理論 && 真偽が定まる条件 \end{array} \right. \end{array}
比較するとその違いは分かり易いですね。
見事なまでに『基礎』が抜けちゃってます。
（なので学校で習う数学は土台が無い建物状態です）
数理論理学
この分野は『数学の言語』と
「よく使う考え方」を扱うんですが
\begin{array}{ccc} 数理論理学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 一階述語論理 && 数学の言語 \\ \\ 集合論 && 数学の材料 \\ \\ 証明論 && 材料の組み立て方 \\ \\ 再帰理論 && 計算できるとは \\ \\ モデル理論 && 真偽が定まる条件 \end{array} \right. \end{array}
学校じゃほとんど扱ってませんね。
（数学で最も実用的な部分はこの分野）
\begin{array}{ccc} 数\mathrm{A} & \left\{ \begin{array}{lcl} 集合論 && 集合をちょっと \\ \\ 論理結合子 && ほぼ暗記する部分 \end{array} \right. \end{array}
「論理結合子」「集合」をちょろっとやるくらいで
大事な部分はほとんど削られてます。
ちなみに ↓
\begin{array}{ccrcr} && p&\to &q \\ \\ 逆 && q & \to & p \\ \\ 裏 && \lnot p & \to & \lnot q \\ \\ 対偶 && \lnot q & \to& \lnot p \end{array}
長く数学をやってる私でもほとんど使ってません。
（必要な場面はだいたい背理法でどうにかなる）
\begin{array}{lcl} 必要条件 &\Longleftrightarrow& 具体例 \\ \\ 十分条件 &\Longleftrightarrow& 抽象化されたもの \end{array}
これもこう呼ぶことが多いので
自分の中の数学界では死語認定された単語です。
（誤解の原因にもなり得るので有害な単語という認識）
代数学の部分
これは「学校数学」でよく使ってますが
\begin{array}{ccc} 学校の代数学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 方程式 && 全体 \\ \\ 連立方程式 && 一部 \\ \\ 行列 && 数\mathrm{C} \end{array} \right. \end{array}
「代数学」という言葉にはあまり馴染みが無いと思います。
（由来は数の『代わり』に文字を扱う数学という感じ）
\begin{array}{ccc} 方程式 && 3x=2x+4 \end{array}
ただ「方程式」というと
『学校で習った数学』の中で
最も印象深いものだと思うんですがいかがでしょうか。
幾何学の部分
「幾何」と言うと難しく感じますが
これは要は「図形」についての分野ですね。
\begin{array}{ccc} 幾何学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 三角比 && 使わない \\ \\ メネラウスの定理 && 使わない \\ \\ ベクトル && 実運用が高度過ぎる \\ \\ 複素平面 && 実運用が高度過ぎる \end{array} \right. \end{array}
現代では「高校範囲」は『全て不要』ですが
（中学範囲の三平方とかはわりと使う）
\begin{array}{ccc} 実運用幾何 & \left\{ \begin{array}{lcl} 微分幾何 && 曲面などの定義 \\ \\トポロジー最適化 && 形状設計の思想 \end{array} \right. \end{array}
問題が作り易いからなのか
学校ではめちゃくちゃ扱います。
（数学には必要でも高校数学では一番不要な部分）
解析学の部分
私たちが使う可能性があるのは「確率」くらいで
\begin{array}{ccc} 学校の解析学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 確率 && わりと使う \\ \\ 統計 && 疑う時はよく使う \\ \\ 微積 && ほぼ使う機会が無い \\ \\ 複素数 && まず絶対使わない \end{array} \right. \end{array}
「微積」「複素数」は誰が見ても使わないのは明らか
「統計の深い部分」についても正直ほぼ扱いません。
（実際にデータや機材を揃えて運用できる人間は限られる）
\begin{array}{ccc} 脆弱性 & \left\{ \begin{array}{lcl} 概念定義への疑問 && 誘導的な定義 \\ \\ サンプルへの疑問 && 改ざんや偏り \\ \\ 相関への疑問 && 疑似相関 \end{array} \right. \end{array}
「統計の脆弱性」さえ扱えれば十分で
他は「個人の興味」に任せた方が良いです。
（大数の法則など統計は学習コストが非常に高い）
というのも
「微分」は『概念理解』においての補助は果たしますが
\begin{array}{ccc} 微分 &\to& 確率最小化・最大化など \end{array}
「極限」を厳密に扱わない微分に意味があるとは思えず
（実運用における曲線計算や機械学習は極限の挙動をとる）
\begin{array}{lclcc} 積分の実運用 &\to& 複雑な図形の面積計算 \\ \\ &\to& 手計算でする意味は現代では皆無 \end{array}
「積分」は計算ツールとしての側面が強すぎ
（厳密に掘るとけっこう高度な点も良くない）
\begin{array}{ccc} 実運用複素数 & \left\{ \begin{array}{lcl} 電磁気学 && 超高度で専門的 \\ \\ 量子力学 && だいたい人生に無関係 \end{array} \right. \end{array}
「複素数」の実運用は専門職や研究職に限られますから。
（間違いなく高校生のリソースを割く内容ではない）
本来の数学
そもそも大前提として
\begin{array}{ccc} 使う数値計算 & \left\{ \begin{array}{lcl} お金の計算 && 四則演算 \\ \\ 時間の計算 && 四則演算 \\ \\ 確率の概算 && 四則演算 \end{array} \right. \end{array}
「数値計算」は数学においては脇役です。
（なので高校数学ではそもそも数値計算をする必要が無い）
\begin{array}{lcl} 数学の目的 & \left\{ \begin{array}{lcl} 真理追及 \\ \\ 高精度の未来予測 \end{array} \right. \end{array}
長い歴史における現代という短い期間で
「受験」の台頭によってその印象が普及しましたが
（忍耐力などの評価のしやすさや問題作成の容易さなど）
\begin{array}{lcl} 具体的な数値 &\to& 判断材料の１つ \end{array}
実際の数学における「数値計算」の地位は
『具体的な判断材料の提供』以上の意味を持ちません。
（計算結果は常にそれを根拠とした判断の材料）
ここ最近の数学事情
簡潔に言ってしまうと
現代の高校範囲の学校数学は破綻しています。
\begin{array}{ccc} 学校数学 &\to & ほぼ無価値な知識の獲得 \end{array}
「問題作成側」「採点側」は楽だと思うんですが
少なくとも『数値計算』については即刻廃止すべきです。
（これだけではなくあらゆる点で穴だらけ）
\begin{array}{ccc} ハイスコア & \to& \mathrm{AI} の劣化計算機 \end{array}
大半は社会に出て使うことはありませんし
このままでは「無価値な人材」を作る構造になっています。
（無駄な努力を強要されるという点で酷過ぎるシステム）
\begin{array}{ccc} 高校数学の無駄 & \left\{ \begin{array}{lcl} 図形 && 使わない \\ \\ 数値計算 && 使わない \\ \\ 条件付確率 && 集合論が先 \\ \\ 微分 && 先に極限 \\ \\ 積分 && 使わない \\ \\ ベクトル && 使わない \\ \\ 複素数 && 使うわけない \end{array} \right. \end{array}
楽しい人以外はただの苦行でしかないので
\begin{array}{ccc} 大きな無駄 & \left\{ \begin{array}{lcl} 図形 && よく見るわりに使わない \\ \\ 数値計算 && 四則演算ができれば十分 \end{array} \right. \end{array}
特に「数値計算」については
「図形」に並ぶ高校数学の悪性腫瘍だと言えます。
修正高校数学
高校で教えるべき数学の知識は
\begin{array}{lcl} 基礎 & \left\{ \begin{array}{lcl} 超数学 && 数学自体の考察 \\ \\ 公理 && 否定できない仮定 \\ \\ 定義 && 人が決めたルール \\ \\ \\ 量化 && 量を表現する言語 \\ \\ 論理式 && 数学で扱うもの \\ \\ 一階述語論理 && 数学の言語 \\ \\ \\ 集合論 && 数学の材料 \\ \\ 証明論 && 材料の組み立て方 \\ \\ 再帰理論 && 計算できるとは \\ \\ モデル理論 && 真偽が定まる条件 \end{array} \right. \end{array}
これに付け加えるなら
\begin{array}{ccc} 使える & \left\{ \begin{array}{lcl} 定義関数 && \mathrm{if}分岐の関数 \\ \\ 確率 && 終わりとかを予想できる \\ \\ 統計脆弱性 && 騙されないための知識 \end{array} \right. \end{array}
こういったものもあって
\begin{array}{lcl} 感覚層定義 && 感覚的に分かる感じ \\ \\ 言語層定義 && 記号について説明する自然言語定義 \\ \\ 形式層定義 && かなり記号な感じの定義 \end{array}
こういったことも覚えた方が良いと思います。
（これは現代の数学が抱えた問題を解決するためのもの）
またこれらの中でも
\begin{array}{ccc} 数理論理学 &\to& 実用的数学 \end{array}
特に「数理論理学」は日常使いできるものになります。
（これの使える部分を抜き出して翻訳したのが実用的数学）
お願い
この記事を読んで私が読者にお願いしたいことは
「学校教育で培った数学の印象」を捨て去ることです。
\begin{array}{lcl} これまでの数学の印象 && 実態と異なる \\ \\ これからの数学 && なにも知らない未知の学問 \end{array}
「中学校範囲」くらいは
最適化ができてないだけで特に問題は無いんですが
\begin{array}{ccc} 高校数学の無駄 & \left\{ \begin{array}{lcl} 図形 && 使わない \\ \\ 数値計算 && 使わない \\ \\ 条件付確率 && 集合論が先 \\ \\ 微分 && 先に極限 \\ \\ 積分 && 使わない \\ \\ ベクトル && 使わない \\ \\ 複素数 && 使うわけない \end{array} \right. \end{array}
高校範囲の数学はほとんど忘れて良いです。
どうせほとんど使えませんので。
なにはともあれ
「数学」は面白いものだと思います。
\begin{array}{ccc} 数学の実態 & \left\{ \begin{array}{lcl} 自然言語定義があれば難しくない \\ \\ 真理探究が好きなら退屈じゃない \\ \\ 形式層定義はちょっと堅苦しい \end{array} \right. \end{array}
だから皆さんにもどうか
数学を好きになってもらいたい
\begin{array}{ccc} 数学 & \left\{ \begin{array}{lcl} 超数学 && 実用的数学はここ \\ \\ 人間関係学 && 政治とか経済とか \\ \\ 幸福規範 && 数理による宗教の解体 \end{array} \right. \end{array}
このブログはそのための情報を提供するサイトです。
専門的な話から興味を持っていただけそうな話題まで
面白いと思って頂けるようなコンテンツを提供するつもりです。
興味を惹かれたら
是非他の記事も見てやってください。
はじめまして。
私は数学が苦手です。しかし興味はあります。
なので改めて数学を学んでみたいのです。
ところが、図書館で数学の復習本を見ても、それは学校用のものに思えます。
そこで、学校数学でない数学そのものを学ぶにあたって、数学のどの分野から学習をして行けば良いでしょうか？おすすめの学習の流れを教えていただけると有難いです。
難しい質問です。恐らく正解はありません。
例えば私の場合は手当たり次第に学んじゃったので、順番とかは曖昧ですし。
結論から行くと、最短では「用語を地道に覚えていく」というのが良いかと思われます。これはメニューバーの右上の「数学の始め方」にまとめていますので、参考にしてください。「基礎知識」を初めとして「事前知識を必要としない用語」などをまとめています。
個人的な感覚では、やはり地道にゆっくり覚えていくのがおすすめ。
このやり方が堅実な上に確実ですから。
覚えるものとしては、特に「公理・定義」「論証」「空間」辺りは必須ですね。
感覚的には材料・作り方・完成像という感じなので。
次いで、分野としては「数理論理学」から始めた方が良いでしょう。
この中でも「量化記号」や「集合論」は優先ですね。
次点で「証明論」が来る感じです。
この大雑把な学習の流れの根拠は、要は材料・作り方・大枠を押さえてく感じ。
いわゆる数学が提供する基本的な考え方を踏襲しての流れになります。
「記号の意味」や「集合論」は材料で、「証明論」は作り方です。
大枠について大雑把に書いておくなら、「数学」は主に３つの領域に分かれます。
３つというのは、「基礎」と「中身」と「枠」ですね。
具体的には「数理論理学」と「三大分野」と「超数学」の３つ。
三大分野を分けると、「幾何学」「代数学」「解析学」になります。
とまあ、大雑把に書いてもわりとたくさん用語が並んでしまいます。
ですので、この辺りを地道にゆっくり覚えていくのが良いかと。
それと、私の書いた記事に不足がある場合、間違いがある場合なども考えられるので、必要だと思ったら他の文献を漁るのも有りです。数学は疑い続けることも考え方の一つですので、自分が納得できるまで疑っていきましょう。
最後にまとめておきます。
必須は「定義・公理」「論証」「空間」の用語を覚えること。
分野としては「記号の意味」「集合論」「証明論」の用語を覚えること。
これがおすすめです。
質問に対する十分な解答になっているかは分かりませんが、このコメントが参考になれば幸いに思います。
返信ありがとうございます。
メニューバーの右上の「数学の始め方」を読んでみたのですが、自分には分かり難かったです。
自分でも自分が
・単に数学をやる動機が無い。
・理解する知識が無い。
・別の軽い障害がある。
・単に疲れている。
のいずれかは分からないんですよね。
ともかく、数学の中身はだいたいこのブログの記事の様になっているんですよね。
理解できない所は無理に理解しようとせず、地道に読んで行こうと思います。
そして必要になったら、また読みたいと思います。
そんな感じが一番良いのだと思います。
自分のペースでやるのがベストですよ。
なにより、生きる上で必要不可欠というわけではありません。
数学に限らず、なにかを学ばなくてもこの国では生きてはいけます。
ただ、この世界をより深く知っていきたい場合、いろんなことを理解したい場合、この数学という学問は非常に役に立ちます。少なくとも自分はそう実感していますね。ですから、学ぶ価値はあると思いますよ。
具体的には、真実性、記憶の最適なやり方、考えるとはなにか、とか。
こういうことを考える時、数学が役に立つんです。
これらは動画と記事に今後出す予定ですので、良ければ見てやってください。
まあ、いつ公開できるかはちょっと分かりませんが。
さすがに数か月先とかではない、と自分を信じたいですね。
科学も社会も数学によって作られているとは理解しているので、学ぶ価値は間違いなくあるのでしょう。
問題は自分の気力の方です笑
きっと努力とか気力云々よりも、興味や楽しむ方向の方が学習もはかどるのかもしれません。
自然に生活していく上で数学に興味を持てば、その時に数学に取り組むという形で学んで行こうと思います。
でも普段からやってないと興味も薄れるのかもしれませんが汗
自分は文章を読むのが苦手なので、動画はぜひとも見てみたいです。動画をきっかけに興味を持つこともあるでしょうし。
社会科学を学んでいるうちに、どうにも数学が使えた方が人の考えを理解できるし、自分の考えを説明しやすいようだということで、数学を学び直そうと思いました。
そこでなんとはなしにモデル化について調べたところ、とても面白そうなサイトがひっかかってワクワクが止まりません。
私は運が良いようです。
Thanks for your blog, nice to read. Do not stop.
初めまして、スーサンと言います。
私は数学を再勉強しようと思っていた時にこのサイトを見つけました。大変面白いサイトですね。
私も学校で数学を勉強しましたが、上っ面だけ理解しているだけで本質的なところは何も分かっていませんでした。
ところで、サイトを少し見て歩いたのですが、各ページ間のつながりなどに不満があります。不満の内容や要望を送りたいのですが、どのような方法(ツイッターのDMなど)が可能でしょうか。
ホームページにコメント欄が無かったので、このページのコメント欄に記入しました。
ほぼ稼働していませんが、一応Twitterのリンクは記事の↓の方にひっそり載せています。
期待に応えられるかは分かりませんが、ご要望を頂けるのでしたらとてもありがたいのでそちらにどうぞ。
・以下、言い訳
コメントの承認が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。
放置していると定期的にスパムが湧くのでほぼ閉じていた。
以前に頂いたコメントを残すためだけに残していたもので、あまり確認することがなかった。
以上の理由で遅れてしまったわけですが、まあ言い訳ですね。すみません。
言い訳ついで付け加えますと、このサイト、私費で個人的に趣味で運営しているものでして
急ぐ理由もなく、開設してから何年も経っていますが、まだ記事の下書きやら推敲作業などがたくさん残ってるんです。
最低限のコンテンツは用意できたので公開していますが、まだ多くの作業が滞っている段階。
地道に少しずつ手は付けていますが、完成からは程遠い自覚はありますので不出来な点についてはどうかご容赦ください。
このような分析をする人を見たことがない。しかし、これこそ万人の不信感への答えではないだろうか。勿論勉強はコツコツしかないと思うのだが、全体像や土台が分からないまま、自分が何をしているのか分からないまま右往左往していては悲しすぎる。
この投稿を繰り返し読んで勉強しよう。79歳、チョイ悪ジジイ。