|| 超（メタ）段階に位置する数理
「数学について研究する数学」の一分野
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数学の考察
『メタ数学』というのは
要はほぼ『哲学』『数理哲学』のことで
\begin{array}{ccc} 超数学 & \left\{ \begin{array}{l} 数学とは何か \\ \\ 数学の歴史 \\ \\ 各概念の厳密化 \end{array} \right. \end{array}
ざっくりとはこのようなものを扱う分野になります。
（つまり『現状の数学を疑う』ことがこれの役割）
メタ数学の主要な成果
この分野の最大の成果
それはおそらく『一階述語論理』で
\begin{array}{ccc} 一階述語論理 &\to& 全部これで書ける \end{array}
この発見により『数学の言語』が整備されました。
（これが数学の最小単位として機能する）
\begin{array}{ccc} 超数学の成果 & \left\{ \begin{array}{l} 数理論理学 \\ \\ 健全性定理 \\ \\ 完全性定理 \\ \\ 不完全性定理 \\ \\ 圏論 \end{array} \right. \end{array}
他にもこういった成果があるわけですが
これらも「記述言語」は「一階述語論理」になります。
実用的数学
これは「メタ数学の発想」から得られたもので
\begin{array}{ccc} 実用的 & \left\{ \begin{array}{lcl} 厳密化による難化 &\to& 簡単な表現へ翻訳 \\ \\ 深化による情報増大 &\to& 必要な部分だけ \end{array} \right. \end{array}
こういう方向性で整備した成果が「実用的数学」です。