|| なんか入ってる枠っぽいもの
『集合論』の記事で概要はまとめられています
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目次
集合演算「集合を使ってできる操作」
基本演算
和集合「集合と集合を合体させる」
積集合「集合と集合の共通部分だけを抜き出す」
補集合「その集合以外の要素を全体から抜き出す」
差集合「集合からある集合の要素を取り除く」
特殊な演算
冪集合「ある集合の部分集合を全部集めた集合」
直積集合「集合の要素を別の集合と対にした集合」
商集合「ある条件で仕分けした集合」
類別「集合を余さず区分けするやり方」
同値類「ある条件に合う要素だけを抜き取る」
最低限の知識についての概要
詳しくは別記事でやってますが
\begin{array}{lcl} 集合 && 中身が分かる輪っかみたいなもの \\ \\ 要素（元） && 集合の中身になるもの \\ \\ 空集合 && 中身が無いと分かる集合 \end{array}
基礎的な知識について
\begin{array}{lcl} 外延 && 具体的な中身を全部並べる感じ \\ \\ 内包 && 条件に合うやつだけ並べる感じ \\ \\ \\ 帰属関係 && 集合と要素の間にある関係の名前 \\ \\ 包含関係 && 集合とその一部の間にある関係の名前 \end{array}
念のためここでざっと確認しておきます。
（これを知らないと以降の話が分かり辛いです）
集合演算 Set Operations
|| 集合に対して定義できる操作
「集合を使う」ための「演算」
\begin{array}{lcl} A∪B&:=&\{x \mid x∈A∨x∈B\} \\ \\ A \cap B &:=& \{x \mid x∈A∧x∈B\} \\ \\ A^C&:=&\{x \mid x∉A\} \\ \\ A\setminus B&:=&\{x \mid x∈A∧x∉B\} \\ \\ \\ 2^A&:=& \{A \mid A⊆S\} \\ \\ A×B&:=&\{(a,b) \mid a∈A∧b∈B\} \\ \\ A/R&:=&\{a∈A \mid aRb\} \end{array}
代表的なものとしてはこういうのがあります。
（これらは集合 A,B から新しい集合を作っている）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \cup && \mathrm{Union} \\ \\ \cap && \mathrm{Intersection} \\ \\ {}^C&&\mathrm{Complement} \\ \\ \setminus && \mathrm{Minus} \\ \\ \\ 2^\mathrm{Set}&&\mathrm{Power} \\ \\ ×&&\mathrm{Direct} \\ \\ /&&\mathrm{Quotient} \end{array}
よく使われるのはこの 4+3 個の演算で
他はだいたいこれらの組み合わせになります。
基本的な集合演算
基本的と言える操作は以下の 4 つで
\begin{array}{lcl} A∪B&:=&\{x \mid x∈A∨x∈B\} \\ \\ A \cap B &:=& \{x \mid x∈A∧x∈B\} \\ \\ A^C&:=&\{x \mid x∉A\} \\ \\ A\setminus B&:=&\{x \mid x∈A∧x∉B\} \end{array}
集合の操作はだいたいこれで完結しています。
（記号 := の意味は「左を右で定義する」です）
和集合 Union
|| 集合の足し算みたいなやつ
「合併」とも呼ばれる『集合の足し算的な操作』
\begin{array}{lcl} A∪B&=&\{x\in U \mid x∈A∨x∈B\} \end{array}
「構成的な定義」はこんな感じで
\begin{array}{ccc} x\in A∪B &\Longleftrightarrow& x\in A ∨x\in B \end{array}
「要請的な定義」はこんな感じになります。
（この場合はドメインとなる宇宙を意識しなくて良い）
集合操作の存在条件
これは ↑ の定義から分かる通り
\begin{array}{ccl} x\in A∪B &\Longleftrightarrow& x\in A ∨x\in B \\ \\ &\to& A∪Bの存在のために必要な情報 \\ \\ &\to& 集合A,Bの存在が必要 \end{array}
和集合構成に必要な情報として導かれます。
（単に必要不可欠な情報をそのまま述べただけ）
当たり前の話ですが
\begin{array}{ccc} 集合A,Bの存在 & \overset{和集合公理}{\Longrightarrow} & A∪Bの存在 \\ \\ 集合の存在 & \overset{存在公理}{\Longrightarrow} & 生成される集合の存在 \end{array}
『集合 A,B の存在』が無ければ和集合は構成できません。
（以下の操作も操作対象である集合の存在を要求される）
積集合 Intersection
|| 確率の視点で見ると確かに積っぽい感覚
意味的に「共通部分」とも呼ばれる操作
\begin{array}{lcl} A \cap B &:=& \{x \mid x∈A∧x∈B\} \end{array}
これは「両方にある要素だけ」を取り出す操作で
\begin{array}{ccc} x\in A\cap B &\Longleftrightarrow& x\in A ∧ x\in B \end{array}
「要請的定義」の方はこんな感じになります。
（和集合が ∨ なのに対して積集合は ∧ で定義される）
補集合 Complement
|| その他を求める感じの操作
「それ以外」を意味する集合を生成する操作
\begin{array}{lcl} A^C&:=&\{x\in U \mid x∉A\} \\ \\ \overline{A} &:=&\{x\in U \mid x∉A\} \end{array}
どっちも見る記号で
\begin{array}{ccc} & x\in A^C &\Longleftrightarrow& x\not\in A \\ \\ \forall x\in U & x\in A^C &\Longleftrightarrow& x\not\in A \end{array}
この操作では『全体 U 』が必須になります。
（宇宙 U が無い場合だとこの操作を一般化できない）
全体と補集合
比較しておくと
\begin{array}{lcll} 和集合 && 集合A,Bが存在 & A,B上で完結 \\ \\ 積集合 && 集合A,Bが存在 & A,B上で完結 \\ \\ 補集合 && 集合Aが存在 & A上で完結しない \end{array}
こういった形で他の操作と異なるため
「補集合」は『全体 U 』が必要になります。
（そもそも全体を要求しているとも言える）
差集合 Set Difference
|| 引き算みたいな感覚の操作
「集合 A,B 内で完結する」形の補集合
\begin{array}{l} A\setminus B&:=&\{x\in U \mid x∈A∧x∉B\} \end{array}
これは「要素を取り除く」感じの操作で
（全体 U が A になった補集合操作とも言える）
\begin{array}{ccc} x\in A\setminus B &\Longleftrightarrow& x\in A ∧ x\not\in B \end{array}
『補集合と積集合を組み合わせる』感じの操作になります。
（ A を除けばそのまま補集合操作になる）
無限と操作
\begin{array}{ccc} 座標集合=図形 &\to& 無限個繋げる \end{array}
実は『無限回の集合操作』が出てくるので
\begin{array}{lcl} 1\in \{1,2\} ∨2\in \{1,2\} &\Longleftrightarrow& \exists x\in \{1,2\} \,\, x \in \{1,2\} \\ \\ 1\in \{1,2\} ∧2\in \{1,2\} &\Longleftrightarrow& \forall x\in \{1,2\} \,\, x \in \{1,2\} \end{array}
「無限回の操作とは何か」について
『量化子』を使ってここできちんと解説しておきます。
（量化子と論理結合子の関係がこの話の本質になる）
和集合操作を無限回行う
「有限回」の和集合操作については
\begin{array}{lcl} A∪B&=&\{x\in U \mid x∈A∨x∈B\} \end{array}
これを拡張するだけで説明できますが
\begin{array}{ccc}\displaystyle \bigcup_{n=1}^{k} A_n&=& \{ x \mid x\in A_1 ∨ x\in A_2 ∨ \cdots ∨ x\in A_k \} \end{array}
この k を拡張する形で
「無限回 k\to\infty の操作」を行う場合
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n&=& \{ x \mid x\in A_1 ∨ \cdots ∨ x\in A_k ∨ \cdots \} \end{array}
想定される具体的な形であるこれは
\begin{array}{lcl} A_1∨A_2∨\cdots ∨A_k && 人間に定義可能 \\ \\ A_1∨A_2∨\cdots ∨A_k∨\cdots && 定義不可能が混入 \end{array}
実はこの時点では許されない形になります。
（個別で無限個のものを並べることは人間には不可能）
無限回の操作と量化子
『人間が扱える無限』は
「生成規則で定義される無限」であることから
（条件に合うものをいくらでも『後から』入れられる感じ）
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigvee_{n\in N} x\in A_n &\Longleftrightarrow& \exists n\in N \,\, x\in A_n \end{array}
『無限回の操作』は
（これは超限帰納法により正当化される）
\begin{array}{ccl} \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n&=& \{ x \mid \exists n\in N \,\, x\in A_n \} \\ \\ \displaystyle\bigcup_{λ\in Λ} A_λ&=& \{ x \mid \exists λ\in Λ \,\,{}\,\, x\in A_λ \} \end{array}
現状、この形以外は扱えないため
（より正確にはこの形以外は確認ができない）
\begin{array}{ccc} A_1∨A_2∨\cdots ∨A_k∨\cdots && 定義不可能が混入 \end{array}
この『個別に並べる形の定義』は
「人間には扱えない」ものになります。
（扱えるものをこの形にしたものなら扱える）
積集合操作を無限回行う
これの「無限回」の操作については
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigwedge_{n\in N} x\in A_n &\Longleftrightarrow& \forall n\in N \,\, x\in A_n \end{array}
「全称量化」で正当化されていて
\begin{array}{ccl} \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n&=& \{ x \mid \forall n\in N \,\, x\in A_n \} \\ \\ \displaystyle\bigcap_{λ\in Λ} A_λ&=& \{ x \mid \forall λ\in Λ \,\, x\in A_λ \} \end{array}
このように表現されることが多いです。
（和集合とこれは完全加法族の話とかで必要になる）
無限回操作の定義順序
整理しておくと
\begin{array}{ccl} 無限の定義試行 &\to& 有限操作は正しいと分かる \\ \\ &\to& 集合の有限定義と命題記号 \\ \\ &\to& 命題記号と量化子の関係 \\ \\ \\ &\to& 量化子による定義試行 \\ \\ &\to& 非有界である自然数と数学的帰納法 \\ \\ &\to& 数学的帰納法で無限拡張定義 \\ \\ \\ &\to& モデル導入で公理として確定 \\ \\ &\to& 量化子で命題記号の無限結合定義成功 \\ \\ &\to& 集合操作の無限回適用を定義可能 \end{array}
「無限回の操作」の定義順はこのようになっているため
（ここから更に「超限帰納法」で拡張される）
\begin{array}{rcc} \displaystyle \bigvee_{n\in N} x\in A_n &\Longleftrightarrow& \exists n\in N \,\, x\in A_n \\ \\ \displaystyle x\in \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n&\Longleftrightarrow& \exists n\in N \,\, x\in A_n \\ \\ \\ \displaystyle \bigwedge_{n\in N} x\in A_n &\Longleftrightarrow& \forall n\in N \,\, x\in A_n \\ \\ \displaystyle x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n &\Longleftrightarrow& \forall n\in N \,\, x\in A_n \end{array}
それぞれの定義はこんな感じになっています。
（ ↑ が定義されているから ↓ が定義できる）
冪集合 Power Set
|| 集合の部分集合を全部集めるやつ
『全ての部分集合』を集める操作
\begin{array}{lcl} 2^S &:=&\{s \mid s⊆S\} \\ \\ \mathcal{P}(S)&:=&\{s \mid s⊆S\} \\ \\ \mathfrak{P}(S)&:=&\{s \mid s⊆S\} \\ \\ \mathrm{Power}(S) &:=&\{s \mid s⊆S\} \end{array}
「集合 S の部分集合 s を全部集めた集合」のことで
\begin{array}{c} S&=&\{1,2,3\} \\ \\ \\ 2^S&=&\left\{ \begin{array}{c} ∅ \\ \\ \{1\},\{2\},\{3\} \\ \\\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} \\ \\ \{1,2,3\} \end{array} \right\} \end{array}
具体的にはこんな感じになります。
（操作の性質的に要素数は爆発的に増える）
部分集合と空集合
感覚的には明らかですが
「空集合（中身の無い集合）」は
\begin{array}{lcc} \{\}&⊂& \{\} \\ \\ \{\}&⊂& \mathrm{Set} \end{array}
『全ての集合の部分集合』になります。
（冪集合をとると必ず要素として含まれる）
\begin{array}{lcl} 空集合は全集合の部分集合 &\to& 便利 \\ \\ 空集合は全集合の部分集合ではない &\to& 不便 \end{array}
これは『そうした方が便利』だからという理由も強いですが
\begin{array}{lcccl} 2^∅&=&\{ \{∅\} \} && ∅が間接的にしか扱えない \\ \\ 2^∅&=&\{ ∅ , \{∅\} \} && ∅を直接的に扱える \end{array}
それ以外の理由として
\begin{array}{ccc} \forall x \in U &\Bigl( & x\in ∅ &⇒& x\in S &\Bigl) \\ \\ \forall x \in U &\Bigl( & \mathrm{False} &⇒& x\in S &\Bigl) \\ \\ \forall x \in U &\Bigl( & &\mathrm{True} & &\Bigl) \end{array}
『部分集合の定義が要請する』という側面も強いです。
（空集合が集合である以上は部分集合の定義対象になる）
空集合と記述問題
念のため補足しておくと
\begin{array}{ccc} \forall x\in U & x\not\in ∅ \end{array}
「全ての x が要素ではない」という
『空集合 ∅ の定義』を考えた時
\begin{array}{lcl} x\not\in ∅ && xは集合 & 〇 \\ \\ x\in ∅ && xは集合 & × \end{array}
この「 x\in ∅ 」は外側の記述形式であるため
（集合モデル上でこうなる x は定義上存在しない）
\begin{array}{ccl} x\not\in ∅ &\to& xは集合∅の要素ではない \\ \\ &\to& x\in A と書くならxは集合でなければならない \\ \\ &\to& x\in ∅ と書けない \end{array}
『定義時点で無いと宣言している』以上
『初めから x\in ∅ と書けない』という形で
\begin{array}{ccc} x\in ∅ &\to& 構文エラー \end{array}
『常に偽』であると処理する必要があります。
（このように書けないという意味で偽とする）
2 の由来
表記「 2^S 」の 2 の由来については
\begin{array}{ccc} \mathrm{Set} &\to& \displaystyle 2^{\mathrm{Set}} \end{array}
冪集合の「要素の数」から来ていて
\begin{array}{l} \mathrm{Cardinal}(\mathrm{Set})&=&n \\ \\ \mathrm{Cardinal}(2^{ \mathrm{Set} }) &=&2^n \end{array}
その根拠は『二項定理』になります。
補足しておくと
例えば「要素数 2 」なら
\begin{array}{ccc} 部分集合の要素数 && 冪集合の要素になる集合 \\ \\ 0 &\to& 空集合 \\ \\ 1 &\to& 1元集合 \\ \\ 2 &\to& 全体 \end{array}
これが「冪集合」の『要素』なので
\begin{array}{lllll} {}_{2}\mathrm{C}_{0}&&{}_{2}\mathrm{C}_{1}&&{}_{2}\mathrm{C}_{2} \end{array}
要素数はこの合計になることから
「 1+2+1=4=2^2 」になります。
これを「要素数 n 」として
「一般化した結果」が『冪集合の要素数』で
\begin{array}{ccc} 部分集合の要素数 && 冪集合の要素になる集合 \\ \\ 0 &\to& 空集合 \\ \\ 1 &\to& 1元集合 \\ \\ 2 &\to& 2個要素を持つ集合 \\ \\ &\vdots \\ \\ n &\to& n個要素を持つ集合 \end{array}
こうなることから
\begin{array}{ccc} {}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}+…+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}&=&\displaystyle \sum_{i=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{i} \end{array}
『要素数 n の集合 S 』の
『冪集合 2^S の要素数』は必ずこうなります。
\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{i=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{i} &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{n}1^{i} \cdot 1^{n-i}{}_{n}\mathrm{C}_{i} \\ \\ &=&(1+1)^n &(∵\mathrm{Binomial\,theorem}) \\ \\ &=&2^n \end{array}
結果、二項定理を適用できる形にできることから
「要素数が 2^n 個になる」ということが分かります。
（空集合を含めない場合は綺麗にこうならない）
直積集合 Direct Product
|| 単一からペアに拡張する操作
「直積」と呼ばれる『ペアの作成』操作
\begin{array}{lcl} X\times Y &=&\{ (x,y) \mid x∈X ∧ y∈Y \} \\ \\ \displaystyle \prod_{k=1}^{n}X_k &=& \{ (x_1,x_2,...,x_n) \mid x_1∈X_1 ∧ \cdots ∧ x_n∈X_n \} \end{array}
この操作により作られる『直積集合』は
「組・対」と呼ばれる集合を要素に持っていて
\begin{array}{ccc} (x,y)\in X\times Y &\Longleftrightarrow& x\in X ∧ y\in Y \end{array}
『情報の量と定義』は「積集合」と同じです。
（積集合とは要請が同じだが成果物となる集合が異なる）
組の厳密な定義
『直積集合の要素』となる (x,y) は
\begin{array}{ccc} (a,b)&=& \Bigl\{ \{a\} , \{a,b\} \Bigr\} \\ \\ (a,b)&=&\displaystyle \Bigl\{ \{0,a\} , \{1,b\} \Bigr\} \end{array}
実はこのような形で定義されていて
\begin{array}{ccc} (a,b)&=& \Bigl\{ \{a\} , \{a,b\} \Bigr\} \end{array}
特にこの形は『順序対』になっています。
（こうすると順序が定義できていろいろ便利）
\begin{array}{cclcl} 0\text{-}\mathrm{tuple} && ∅ \\ \\ 2\text{-}\mathrm{tuple} && (a_1,a_2)&=&\displaystyle \Bigl\{ \{a_1\} , \{a_1,a_2\} \Bigr\} \\ \\ 3\text{-}\mathrm{tuple} && (a_1,a_2,a_3)&=&\displaystyle \Bigl\{ \{(a_1,a_2)\} , \{(a_1,a_2),a_3\} \Bigr\} \\ \\ &&{}&\vdots \\ \\ n\text{-}\mathrm{tuple} && (a_1,...,a_n)&=&\displaystyle \Bigl\{ \{(a_1,...,a_{n-1})\} , \{ (a_1,...,a_{n-1}),a_{n}\} \Bigr\} \end{array}
また「 n-組」はこんな感じで
（このパターンだと包含関係 \subset で順序を定義できる）
\begin{array}{ccc} \displaystyle \prod_{k=1}^{n}X_k &=&X_1\times X_2 \times \cdots \times X_n \end{array}
これにより『 n 回の直積』という操作は定義可能になります。
（より正確には中身を厳密に記述できるようになる）
空集合と直積集合
『空集合が混ざる場合』については
\begin{array}{lclcc} X\times ∅ &=&\{ (x,y) \mid x∈X ∧ y∈∅ \} \\ \\ X\times Y\times ∅ &=&\{ (x,y,z) \mid x∈X ∧ y∈Y ∧ z\in ∅ \} \end{array}
「直積集合」の定義を考えれば
\begin{array}{lclcl} (x,y)\in X\times Y &\Longleftrightarrow& x\in X ∧ y\in Y && 定義 \\ \\ (x,y)\in X\times ∅ &\Longleftrightarrow& x\in X ∧ y\in ∅ && 構文エラー \end{array}
『定義に該当する要素は存在しない』ので
（要素である組を１つも定義できない）
\begin{array}{ccc} X \times ∅&=& ∅ \end{array}
必ずこのようになります。
（空集合が１つでも混ざると空集合になる）
直積集合の演算
この「直積集合」の性質はけっこう複雑で
\begin{array}{ccc} \{0,1\}\times \{0,1\} &=& \{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \} \end{array}
例えばこの「補集合」は
\begin{array}{ccc} \Bigl( \{(0,0)\} \Bigr)^c &=&\{ (0,1),(1,0),(1,1) \} \\ \\ \Bigl( \{0\}\times \{0\} \Bigr)^c &=&\Bigl( \{0\}^c\times \{0\}^c \Bigr)∪\Bigl( \{0\}\times \{0\}^c \Bigr)∪\Bigl( \{0\}^c\times \{0\} \Bigr) \end{array}
こんな感じになります。
（単純な反転ではなく平面的な外部もある）
図で見ると分かり易いですが
\begin{array}{ccc} (\textcolor{steelblue}{X^c \times Y^c})∪(\textcolor{yellowgreen}{X \times Y^c})∪(\textcolor{green}{X^c \times Y}) &=& (X\times Y)^c \end{array}
これを表す式は非常に長くなってしまいます。
（なので必要になった時だけ扱うくらいでいい）
商集合 Quotient Set
|| 集合を分割して生成する集合
「同値関係 =_R で集合を分割する」形の操作
\begin{array}{lccl} 商集合 & S/R&=&\{ [x] \mid x \in S\} \\ \\ 同値類 & [x] &=& \{ x \mid x=_Rt \} \end{array}
「倍数」の感覚を扱うもので
\begin{array}{ccc} \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \\ \\ \downarrow \\ \\ \Bigl\{ \{1,3,5,7,9\},\{2,4,6,8\} \Bigr\} \end{array}
「商集合」は『分割後の全体』を意味する名前になります。
（構成方法はよく見るが商集合の名前はあまり見ない）
類別 Classification
|| 仕切りを使って分ける感じ
「商集合を構成する方法」の１つ
\begin{array}{l} \{α,β,γ,ω,χ,ε,ζ\} \\ \\ \Bigl\{ \{α,β\},\{γ\},\{ω,χ,ε,ζ\} \Bigr\} \end{array}
『倍数での分割を実現するための操作の１つ』で
（商集合から同値関係を外した操作とも言える）
\begin{array}{ccc} 制限 & \left\{ \begin{array}{lcc} 要素が不足してはならない \\ \\ 要素が増えてはならない \\ \\ 要素が重複してはならない \end{array} \right. \end{array}
こういった縛り以外には特に制限がありません。
（商集合より遥かに柔軟に分割ができる一般化操作）
同値類 Equivalence Class
|| 同じってことにしたやつとそれ以外で分ける感じ
『中身を分類する感覚』を実現する操作
\begin{array}{ccc} \Bigl\{ &\{1,3,5,7,...\},\{2,4,6,8,...\} &\Bigr\} \end{array}
根本的にはこれを実現するためのもので
\begin{array}{ccc} [x] &=& \{ x \mid x=_R t \} \end{array}
慣例となる形式表現はこんな感じなんですが
\begin{array}{ccc} 同値関係 & \left\{ \begin{array}{lcl} = & 相等関係 & 完全一致 \\ \\ \equiv_* & 類似関係 & 部分一致 \end{array} \right. \end{array}
この本質は『綺麗に分割する手段の１つ』になります。
（同値関係も『最も有効な手段』でしかない）
分類条件と同値関係
数理は常に感覚が先行する
この原則を考えると分かる通り
\begin{array}{lcl} 奇数なら &\to& \{ 1,3,5,7,9,... \} \\ \\ 偶数なら &\to& \{ 2,4,6,8,... \} \end{array}
基本的にはこういうことがやりたいわけで
\begin{array}{lcl} \left\{ \begin{array}{lcl} 偶数である \\ \\ 奇数である \\ \\ 2の倍数である \end{array} \right\} &\to& 分類条件 &\to& 同値関係 \end{array}
「同値関係 =_R 」は『後付け』です。
（都合の良い分類条件を整理すると同値関係だった）
「分類するための要請」と
\begin{array}{ccc} 分類とは & \left\{ \begin{array}{lcl} ある特徴があれば『特徴を持つ』が同じ \\ \\ その特徴が無いなら同じではない \end{array} \right. \end{array}
「類別の要請」から
\begin{array}{ccc} 類別の制限 & \left\{ \begin{array}{lcc} 要素が不足してはならない \\ \\ 要素が増えてはならない \\ \\ 要素が重複してはならない \end{array} \right. \end{array}
『最も都合が良い関係』として得られただけで
「同値関係から」この概念を導くことはできません。
よく使われる同値関係
実際、「同値関係による類別」は
\begin{array}{ccc} 偶数と奇数に分けたい &\to& 手段は？ \end{array}
これを実現する『手段の１つ』として導かれるため
\begin{array}{ccc} 2で割ったら余り0 &\to& 偶数 \\ \\ 2で割ったら余り1 &\to& 奇数 \end{array}
この時に使われる「同値関係 \equiv 」は
\begin{array}{lcl} x\equiv 0 \mod 2 &\to& xは偶数 \\ \\ x\equiv 1 \mod 2 &\to& xは奇数 \end{array}
この話の出発点にはなりません。
（他も同様に感覚が常に先行する）