Generated by All in One SEO v5.0.0.1, this is an llms.txt file, used by LLMs to index the site. # 実用的な数学を まったく縁遠くない数学の使われ方 ## Sitemaps - [XML Sitemap](https://www.practmath.com/sitemap.xml): Contains all public & indexable URLs for this website. ## 投稿 - [数学](https://www.practmath.com/mathematics/) - 数学が実はみんなが思っているような学問ではないことを説明していきます。 学校で習った数学とは全然違う数学に触れてみて、数学に興味を持ってもらえたらな、という感じでこのサイトは作られました。 - [モデル理論 Model Theory](https://www.practmath.com/model-theory/) - モデル理論の基本についてわかりやすくざっくりとまとめてみました。結構わかりやすく仕上がったんじゃないかと思ってます。モデルとはなにか。解釈ってなんだ。とかそういう疑問にもそれなりの解答を用意できたと思いますし、真理値の使われ方とか割り当ての感覚とかについても解説しています。概要は掴めると思いますので参考にどうぞ。 - [Abel-Ruffini の定理](https://www.practmath.com/abel-ruffini-theorem/) - これは5次以降の方程式には一般解が無いということを示す定理なんですが、同時に代数的構造を整理する強い動機ともなる定理で、特に5次方程式の一般解について述べた定理になります。事後的な整理後の形式的な証明はかなり分かり辛い内容になっているため、この記事ではそれを補足する感じです。参考にどうぞ - [正規分布 Normal Distribution](https://www.practmath.com/normal-distribution/) - この正規分布という概念は主に統計的によく見られる形で、なんかよく分からない式でいきなり紹介されるものですが、思えば、なぜこのような式になったのかとか、そういうことはよく分からないと思います。なのでこの記事では主にそういったよく分からない細部について解説してみました。参考になれば幸いです。 - [優収束定理 Dominated Convergence](https://www.practmath.com/dominated-convergence/) - 極限と積分演算子の交換。これが可能な範囲についての解答である優収束定理。これが示されるまでの過程について、極限の定義、ルベーグ積分の定義や項別積分の定義、ルベーグの単調収束定理を含めて、かなり深い位置から解説してみました。謎過ぎる優収束条件の導出も含め、かなり掘り下げてみたので良い感じに仕上がってると思います。 - [相関 Correlation](https://www.practmath.com/correlation/) - 統計学の用語に限らず、この単語は見ることがあると思いますがいかがでしょうか。実際、これは人間の判断に関わるもので、ジンクスなども実はこれに当てはまります。正確には疑似相関や誤謬として処理されることもありますが、この相関という概念は因果と密接な概念です。なのでその辺りの誤解が減るよう頑張って解説してみました。参考にどうぞ - [テンソル Tensor](https://www.practmath.com/tensor/) - なにやら抽象的な話になってくると急に出てくる、テンソルとかいうベクトルや行列とあんまり見分けがつかない概念。これがどんなものであるかまとめてみました。分かりやすく説明してみてもち基底がどうたらとか、その辺りが複雑になっちゃいましたが、なぜ難しいのかとかテンソルの本質とかは説明できたように思います。 - [代数方程式 Algebraic Equation](https://www.practmath.com/algebraic-equation/) - これはいわゆるn次方程式の話で、一般解の話とかをする分野になります。2次方程式だったら平方完成。3次方程式だったらカルダノ法。4次方程式ならフェラーリ法。5次方程式からは一般解が存在しないことを示すアーベル=ルフィニの定理。こういったものがあるので、この記事ではこれについて解説しています。 - [集合 Set](https://www.practmath.com/set/) - 集合の操作について、できるだけわかりやすく、かつ細かく解説してみました。基本的な演算から特殊な演算まで、代表的な集合の演算は全て押さえられたと思います。冪集合や商集合やらはちょっと分かり難くてどう解説すれば良いのか悩みましたが、まあだいたい分かるようには書けたと思います。参考にどうぞ。 - [直積測度 Product Measure](https://www.practmath.com/product-measure/) - 長さ・面積・体積など、次元が異なる測度の関係について厳密に定義した結果出てきたこの直積測度とかいう概念ですが、単体だとあれなので、関係する知識と一緒にいろいろまとめてみました。特に多重積分に関わるトネリの定理、フビニの定理に関するものなので、その辺りを知りたい人には参考になると思います。 - [集合論 Set Theory](https://www.practmath.com/set-theory/) - 集合論について大まかな部分を解説してみました。由来なんかの概要をまとめた感じですけど、そこそこ詳しく書けてると思います。集合やら帰属関係やら写像やらをひとまとめにしてるので、ざっくりと思い出したい時なんかはこの記事を参考にすると時短になるかと。特に写像の像側に来る集合の名前とかはこの記事を見れば思い出せると思います。 - [写像 Mapping](https://www.practmath.com/mapping/) - 写像の基本的な知識についてまとめてみました。単射やら全単射やら像やら定義域やらいろいろ用語があって大変ですけど、数学の基盤になる部分なのでこの辺りは覚えるしかないですね。集合論を記述するための言語として必須なので。それにこれもまた実用レベルの知識です。対応やら変換やらの基礎なので確実に理解しましょう。 - [現実観察 Real Observation](https://www.practmath.com/real-observation/) - 数学についての誤解や未整理の領域について、きちんと厳密に整理してみました。特に数学の方針や定義の層について綿密に、より正確な形を目指して整理してみたので、良い感じに数学の全体構造を整理できたように思います。特に「最上位要請である有限性」「存在と真偽の分離」などは、超数学上で非常に優れた成果だと思います。 - [不完全性定理 Incomplete](https://www.practmath.com/incompleteness-theorem/) - 不完全性定理とかいうゲーデルさんの遺産について、この記事ではしっかり解説してみました。モデルやらなんやらはちょっと省略気味ですが、わりと分かるようには書けているはずです。特に核心部分である無限後退の観察についてはしっかり解説できているので、誤解され辛い内容にはなっているかと。 - [定義 Definition](https://www.practmath.com/definition/) - 高校数学くらいになるとちょくちょく出てくる単語になります。証明問題とか解くようになる頃に、なんかこれがめちゃくちゃ大事なんだということが分かると思うんですが、その感覚の通りこれは超大事で、それ以上遡る必要がなくなる下地として機能するので、数学の底として機能してくれます。なので数学では絶対に覚えてくべき部分です。 - [数学ってそもそもなんなの？](https://www.practmath.com/wt-mathematics/) - 大学で数学をやった方は大体思うんじゃないか、と自分が勝手に思ってることがあるんですが、なんというか、なんか学校の数学って違くないですか？ 小中高とやってきた数学って、あれなんか違くないですか？ この記事ではそんな違和感を精査して、まとめて、そして不満を綴ってみました。「確かに」とか思ってくれるとなんか嬉しいです。 - [様相論理 Modal Logic](https://www.practmath.com/modal-logic/) - 様相論理とかいう名前じゃ意味が分からないやつについて解説してみました。これは「必然性」と「可能性」に関しての数値感覚の話で、数学的にはちょっと曖昧なのであんまり出てこないんですけど、意外と実用的なので記事にまとめてみました。わりと面白い話なので覗いてみる価値はあると思います。参考にどうぞ。 - [幸福規範 Happiness Norm](https://www.practmath.com/happiness-norm/) - 人間の大集団をまとめるための共通認識。それが宗教で、その宗教が担っている「幸福」についての役割を抽出したのがこの記事になります。宗教色が強く見えるかもしれませんが、ただの真理に近い事実の羅列なので普通に数学です。何よりこの記事で扱う対象は神でもなければ強制でもありません。ある種の訴え。ある種の感動です。 - [完全性定理 Complete](https://www.practmath.com/completeness-theorem/) - この記事は完全性定理についての理解を深めたい人用のものです。かなり深い部分まで掘っているのでわりと前提知識を必要とします。主張自体はけっこうシンプルなんですけど、モデルやら証明やらなんやらの話がこの記事単体では解説しきれていないので、この記事の内容を理解したいなら、まずはそちらの方から理解した方が良いと思われます。 - [健全性定理 Soundness Theorem](https://www.practmath.com/soundness-theorem/) - 証明されたものが正しくないわけなくない？という当たり前のことを主張するのがこの定理なんですが。これを説明するための各概念が意外に多く、またLKの推論規則に至ってはかなり複雑ということもあり、なかなか触れるハードルが高い定理だと思われます。この記事ではできるだけそれを取り払ってみましたが、完全には取り払えませんでしたね - [LKの推論規則 Logischer Kalkül](https://www.practmath.com/logischer-kalkul/) - LKだったり推論規則だったり。なんか固い言い回しが多いうえにいろんな解説の内容もそんな感じなので、できるだけとっつきやすいようにまとめてみました。といっても、やはり最低限の知識がないと厳しい内容になったように思います。それでもできる限りのことはやれた内容にはなっていると思うので参考にしてください。 - [代入規則 Substitution Rules](https://www.practmath.com/substitution-rules/) - 「代入」っていうものについて詳しく、それなりにわかりやすいようまとめてみました。堅い言い回しが多いのでできるだけそういう専門用語なりなんなりを使わないようにしてみましたが、項とか変数まわりまではさすがにちょっと簡単にはできませんでしたね。とはいえ、それ以外はわりと分かりやすく仕上がってると思います。 - [超数学 Meta Mathematics](https://www.practmath.com/meta-mathematics/) - これは超数学と書いてメタ数学と読みます。数学そのものを考察する感じの学問で、数学なのは間違いないんですけど、ほぼほぼ哲学に近い分野ですね。主要な成果は数理論理学。不完全性定理なんかが有名でしょうか。なんにしても非常に重要な分野であることは間違いないのでなんとなく頭の片隅には入れておきましょう。 - [シークエント Sequent](https://www.practmath.com/sequent/) - シークエント計算とか言われても字面じゃまったくわからないと思います。少なくとも自分は全く分からなかったので、証明論についてまとめる過程でいろいろ学ぶことになりました。ぶっちゃけメタ数学やら形式的証明くらいでしか使わないので実際にはほとんど使わない知識なんですが、証明を語る上ではほぼ必須なので理解しておきましょう。 - [推論規則 Inference Rules](https://www.practmath.com/inference-rules/) - 読んだまま推論の規則についてまとめてみました。いわゆる論理の基礎になるやつなので、かなり実用範囲の知識だと思います。といっても量化子やら命題記号やらなんやらがあれこれややこしくてちょっとハードルは高いですが、まあでもこれについては学ぶ価値大有りですね。ぜひとも理解しておきたい知恵です。これは。 - [真理値 Truth Value](https://www.practmath.com/truth-value/) - 真理値はもうあれですね。なんというか、大事とかそういうの通りこしてもう人間の感覚に根差したものだと思います。わざわざ解説するまでも無いかもしれませんが、これをスルーするのはなんか違う感じもしてとりあえずまとめてみました。あやふやな人もいるかもしれないのでまあ参考にしてください。 - [整論理式 Well-Formed Formula](https://www.practmath.com/well-formed-formula/) - これは数学の言語の最小単位に当たるもので、真偽判定の土台になる超重要なものなんですが、構成がちょっと複雑というか。いろんな縛りや注意点がある部分なので、丁寧にまとめてみました。概念自体はわりと簡単な方だと思うんですが、変数の定義や量化の範囲とかの部分はちょっとこの記事だけじゃ分からないかもしれません。 - [変数 Variable](https://www.practmath.com/variable/) - 変数・変項というものについてできるかぎりわかりやすく丁寧にまとめてみました。学校ではよく見たこれについて、たぶんちゃんとした厳密な定義を知っている人はほとんどいないと思われますが、その割にはよく見るので、知識整理の一助となるようけっこう深く解説してみました。原子論理式周りは別記事になりますが参考になれば幸いです。 - [論理公理 Logical Axioms](https://www.practmath.com/logical-axioms/) - 論理公理って書くと難しく感じますけど、内容はほぼほぼ当たり前のことなので、ぶっちゃけ用語としてはほぼ使わないですね。トートロジーとか恒真命題とか、そういう言い方をされることの方が多い気がします。ただまあ重要じゃないかと言われたらもちろんそんなことはなくて、これがないと推論ができません。証明の最小構造の１つなので超重要。 - [証明論 Proof Theory](https://www.practmath.com/proof-theory/) - 人間の推論の感覚をまとめた証明論の大枠をざっくりとまとめてみました。それなりにわかりやすく仕上がっていると思います。証明ってそもそもなんなんだよ。定理ってどういう意味なんだよ。そういう感じの疑問とその解答をまとめてるので、参考にしてください。わりとしっかりまとまってると思います。論理式周りはさすがに雑ですが - [形式体系 Formal System](https://www.practmath.com/formal-system/) - 形式とかいうよく考えるとよくわからん単語についてまとめてみました。一言で言えば記号とその取扱いについての話なんですが、これが意外と数学と密接に関わってるって感じの話を記事には書いています。と言ってもそれだけじゃよくわからんとは思いますが、とにかく、この記事ではそういう話をしてるので参考にしてください。 - [正しさ Truth](https://www.practmath.com/truth/) - この世界には真実なんてない。そんな風に主張する人もいるとは思いますが、しかし実際にはどうでしょうか？ 正しく感じることって結構ないですか？ 例えば「自分の存在」って、どう考えても正しいと思うんですけどどうですかね。少なくとも間違ってるとは思えないと思うんですけど、まあこれも人によるんでしょうか。 - [思考 Thinking](https://www.practmath.com/thinking/) - 考えるとは、思考とはそもそも何か。この記事ではこれを数理的に解説しています。ベースは数学となるため、精度は現代において最高水準。ただ事前知識がそこそこ必要なので、記事単体では厳密に理解することはできないと思います。しかし直感的には納得できるような内容にはなっていると思うので、参考にはなると思います。 - [記憶 Memory](https://www.practmath.com/memory/) - 記憶ってそもそもなんなのか。そんなことを一度は考えたことが誰しもあると思うんですが、この記事はその現段階での解答になります。厳密に理解するためには数学の深部を理解する必要があるんですが、そこが見えなくても分かるようにまとまっているはずです。できるだけ平易な言葉を選んで数理を翻訳してるので、難解さは薄いと思われます。 - [概念 Concept](https://www.practmath.com/practical-math-concept/) - 概念について、数学を用いて考察し整理してみました。おそらく例外は無いので、非常に良い感じに仕上がってると思います。前提になる実用的数学基礎の部分さえ理解できていれば、用語もかなり抑えられたと思いますし、わりと納得できる内容にもなっているように思います。概念って何？についての解答にはなっていると思うので、参考にどうぞ - [実用的数学基礎](https://www.practmath.com/practical-mathematics/) - 実用的数学における基礎理論になりますが、実態はほぼ数学です。ただし完全に数学を流用しているわけでは無く、これは「身近な感覚」や「身近な情報」を『数学的に翻訳したもの』なので、その点で明確に区別できます。またこれを基礎とすればあらゆる身近な概念を厳密に定義でき、様々なことに応用できるので、「実用的」と位置付けました。 - [人間関係学 Human Relations](https://www.practmath.com/human-relations/) - 皆さんは、政治・法・経済という概念をどのように認識し、どういうものだと考えていますか？おそらくですが、ぼんやりとは分かってるけど、詳しいことは自信が無い。そんな感じだと思います。私もそうだったのでよく分かるんですが、学校教育でちゃんと習わないことも含めて、この辺りの概念は非常に難しいです。 - [基底 Basis](https://www.practmath.com/basis/) - 線型代数学というとだいたいこの基底が軸になっていて、次元やらなんやらもこいつで定義されています。この基底はそんな根幹に近い概念で、意外に分かりやすく、直感的に理解しやすいです。しかし存在定理やら延長定理やら、厳密な話になってくるとあんまりイメージできないというか、よく分からないと思うのでまとめてみました。 - [連立方程式 Simultaneous Equations](https://www.practmath.com/simultaneous-equations/) - 連立方程式というとわりと早い段階で習うので、そんなに難しくないように感じますが、計算が手間だという印象を持ってる人は多いんじゃないでしょうか。実際、これは深堀するとめちゃくちゃ計算が面倒になっていくんですが、クラメルの公式やガウスの消去法など、効率的な方法も別方向で面倒です。なのでその辺りの詳細についてまとめてみました - [数理論理学 Mathematical Logic](https://www.practmath.com/mathematical-logic/) - 数理論理学についてざっくりとまとめてみました。論理学からの変遷から集合という概念がどうやって発想されたかまで含め、そこそこ詳細にまとまっていると思います。さすがに各大分野の詳細までは書いていませんが、それぞれがどういう役割を持ち、どのような発想から得られたかというのは紹介して切れたと思います。参考にしてください。 - [論証 Logical Argument](https://www.practmath.com/logical-argument/) - 論証という概念は、証明の下地になってるやつで、分野としては哲学に分類されるものになります。まあ、現代ではほぼ数学に飲み込まれてるわけですが。ともかく、これは数学に限らず、理論を扱うのであればほぼ必須と言える実用レベルの知識になので、学ぶ価値は大いにあると思います。それなりに綺麗にまとめられたと思うので参考にしてください - [定理 Theorem](https://www.practmath.com/theorem/) - 定理って言葉はなんか理系な感じの話でそこそこ聞くと思いますが、その意味を問われると、なんかよくわかんなくないって人は多いんじゃないでしょうか。ぼやっとは分かるけど、説明しろって言われたらよく分かんない。そんな人が多いように思います。この記事はそんな曖昧さを解決するために書かれた感じなので、知りたい方は参考にどうぞ。 - [法則 Law](https://www.practmath.com/law/) - 法則って言葉はそれとなく聞くと思いますが、その意味を考えてみると、なんか曖昧な感じがしませんか？そんな疑問を解決するために、記事にまとめてみました。定義やら公理やらについても知っておかないとちょっと分からないかもしれませんが、基本的には記事単体で完結しているのでそこそこ分かりやすいと思います。 - [公理 Axiom](https://www.practmath.com/axiom/) - 大学数学の基礎的な話をするときには必ずと言って良いほど出てくる単語になります。なぜか学校じゃあんまり扱いません。扱わないくせに、数学においてはめちゃくちゃ重要な概念です。むしろなぜ学校でこれを教えないのか理解できないレベルで大事な単語になります。数学のことを知らなくても知っておくべきだと、個人的に思うくらいには。 - [述語論理 Predicate Logic](https://www.practmath.com/predicate-logic/) - 述語論理とかいうものについてわかりやすく丁寧にまとめてみました。一階述語論理だとか量化子だとか、その辺りの概念の感覚がそこそこ伝わるようには書けたと思います。二階述語論理以降の高階述語論理や無限論理についてもわりと詳細に説明できた気がするので、導入としてはそこそこの完成度かなと個人的には思っています。参考にどうぞ - [命題記号 Symbol](https://www.practmath.com/symbol/) - 別名「論理結合子」についてさらっとわかりやすくまとめてみました。否定やら or やら and やら論理包含やら、基本的なやつは網羅しているので、その辺りが実際にどんな感じの真理値を吐き出すのか、整理したい時とかにこの記事は役に立つと思います。参考にしてください。論理包含の掘り下げもしてるので参考にどうぞ。 - [命題論理 Propositional Logic](https://www.practmath.com/propositional-logic/) - 命題論理についてそこそこ深堀りしつつ丁寧にまとめてみました。項とか論理式とかの話とかはちょっとぼやけてますが、概要を把握する上ではちょっと長くなりすぎるので、その辺りは別の記事にまとめています。論理式なんかはわりと出てくる用語なので知っておいた方が良いですが、ともかくこの記事はそんな感じです。 - [公理的集合論 Axiomatic Set Theory](https://www.practmath.com/axiomatic-set-theory/) - 公理的集合論に関する基礎知識を馬鹿みたいに丁寧にまとめてみました。できるだけ短くしたつもりですが、特に基礎公理については思った以上に長くなってしまったのがなんだかなぁという感じ。制限内包性公理と置換公理で用いている整論理式の解説も不十分で、記事単体として完璧に解説しきれなかったのが少し心残りです。 - [量化子 Quantifier](https://www.practmath.com/quantifier/) - 量化っていうとなんか抽象的で分かり辛いかもしれませんが、全てとか存在するとか言うと一気に分かりやすくなると思います。それが数学とどう関わるのかとかいろいろ疑問はあるかもしれませんが、実はこの全と存在ってのが数学の根幹に来るもので、数学を記述するための基礎的なものになっていたりします。 - [宇宙 Universe](https://www.practmath.com/universe/) - あまり馴染みがないかもしれませんが、実はこの宇宙という単語もまた、数学の用語になります。そんな宇宙に関して、そこそこわかりやすいようパッとまとめてみました。集合論的宇宙を中心に、圏論的宇宙や型理論的宇宙に関してまで、概要と要点を紹介してます。フォンノイマン宇宙や構成可能宇宙についてはそこそこ掘り下げたので参考にどうぞ - [コルモゴロフの拡張定理 Kolmogorov](https://www.practmath.com/kolmogorov-extension-theorem/) - 測度論を深堀していく上で出てくる拡張定理。その中でも、特に直積に関わる大事な定理がこれなわけですが、まあ初見じゃこれについて分かるはずも無く。言いたいことはぼんやり分かるけど、証明となると何をどうして良いのか分からない。そもそも具体的にこれが必要になる理由が分からないなどなど、疑問が出てくると思います。 - [超限帰納法 Transfinite Induction](https://www.practmath.com/transfinite-induction/) - 数学的帰納法はペアノの公理に由来する証明方法なので、自然数の範囲までしかカバーできません。しかし現代数学では可算無限や非可算無限が定義されていて、自然数の範囲に収まらない範囲でも帰納法が求められることがあります。そこで登場したのが自然数から順序数まで範囲が拡張されたこの数学的帰納法なんですが、結構複雑なんですよねこれ - [順序数 Ordinal Number](https://www.practmath.com/ordinal-number/) - 人間が感覚的に扱う数の正体。それがこの順序数なんですけど、数学における立ち位置の重要さの割にあんまり知名度が無い気もするこれについて、ちゃんと解説してみました。数学においての基盤とも言える概念なので是非とも覚えておきたいところですが、知らなくてもそんな問題ないと言われるとまあそうかも。数学やらないならだけど - [クラス Class](https://www.practmath.com/class/) - 別名「類」とも訳されるこれについて簡単にまとめてみました。これは要は「何かの集まり」なんですが、集合ではない真のクラスなるものも含んでいる点でちょっと面倒なんですよね。いわゆる無制限の内包からラッセルのパラドックスなるものが発見されてどうたらこうたらって話なんですが、その辺りについて曖昧だったのでまとめてみました。 - [最小元原理 Well-Ordering Principle](https://www.practmath.com/well-ordering-principle/) - 自然数の部分集合をとった時、直感的には、その中には必ず最小の値が存在すると感じます。実際、存在しないわけないでしょって話ではあるんですが、実は定義や公理で設定されていない場合もあるので、本当にそうなのかはちょっと怪しいんです。いやまあ、公理として設定される場合もあるのでなんとも言えないんですが、ともかくまとめてみました - [数学的帰納法 Induction](https://www.practmath.com/induction/) - 帰納法ってなに？なんで正しくなるの？帰納的推論って絶対正しいわけじゃないよね？と、そんな疑問を抱いちゃった私のような人間のために、疑問を少しでも解消できるよういろいろまとめてみました。詳しくやるとどうしても量化子の話をしなくちゃならないので、その辺りはちょっとどうにもならないんですが。 - [加法 Addition](https://www.practmath.com/addition/) - これは厳密には「ペアノの公理」によって定義されている。そんな話を聞いたことがある人はいると思いますが、実際にどのように定義されているかについては、ちょっと曖昧な人が多いと思います。特に写像の実体を構成する手順は公理を用いる点で複雑ですし、+を使わずに足し算を定義するというのも、ちょっとイメージし辛いんじゃないでしょうか - [数 Number](https://www.practmath.com/number/) - 人は日ごろから当たり前のように数を認識し、使っています。数を基準に物事を判断することなんて当然で、ほとんどの人はその行為を息を吸うように行います。でも、そもそも数っていったいなんなんでしょうか？なんで数は判断の基準にできるんでしょうか？とまあそんな疑問について色々解説してみました。参考にどうぞ - [多重積分 Multiple Integral](https://www.practmath.com/multiple-integral/) - 重積分は日常ではあまり見るものではありませんので、あまり気にする人もいないかもしれませんが、曖昧さを無くすためには知っておいた方が良い知識と言えます。まあ基本的に1変数の積分ができればそう苦労することは無いんですが、もしかしたら必要になるかも？とまあそんな人用に解説してみました。参考に。 - [積率母関数 Moment Generating](https://www.practmath.com/moment-generating/) - 積率母関数ってなんだよって話を解決できるようにまとめてみました。そもそもこいつなんなんだよって話から、単語の意味やらこれの役割やら、いろいろ。もちろん積率やら母関数やらの用語についてもきちんとまとめています。まあさすがに積分やらは省略してますが、まあだいたい分かるかと。参考にどうぞ。 - [ルベーグ積分 Lebesgue Integral](https://www.practmath.com/lebesgue-integral/) - 積分とかリーマン積分を深堀していくと出てくるルベーグ積分。こいつについて深堀していくと、なんかよく分からなくなる。そんな人は多いんじゃないでしょうか。特に測度論とかの話が出てくると、それに付随して集合の話とか出てきて、収束やら極限やらわらわらわらわら、と。まあなんかよく分からなくなると思います。なのでまとめてみました。 - [微分公式 Differential Formula](https://www.practmath.com/differential-formula/) - 記事内でいちいち計算式を書くのは分かりやすさのために仕方ないところがあるんですけど、数式を一々書くのが面倒なので自分用に公式をまとめてみました。計算手順を省略するのにも使えますし、なにより公式の導出手順も大まかに確認できますから、個人的には有用な記事だと感じてます。証明も載せてるので参考にどうぞ。 - [可測関数 Measurable Function](https://www.practmath.com/measurable-function/) - この可測関数とかいう概念はわりと簡単な概念です。なので直感的、感覚的にはすぐ理解できるんですが、その厳密な話となってくると、途端にごちゃごちゃしだす。とまあそんな感じなので、記事単体では完結させられませんでしたが、きちんとまとめてみました。参考にしてください。 - [ホップの拡張定理 Hopf Extension](https://www.practmath.com/hopf-extension-theorem/) - これは前身に当たるカラテオドリの拡張定理を理解していればわりとすんなり納得できるんですが、その辺りからして本当にごちゃごちゃしているというかなんというか。非常に分かり辛い感じがするので、自分なりに分かりやすいようまとめてみました。知りたい人はあんまりいないかもしれませんが、そういう人は参考にしてみてください。 - [収束 Convergence](https://www.practmath.com/convergence/) - 収束するという概念は人間にとっても身近なものです。まあ収束なんて言い方をすると固く感じてしまうかもしれませんが、ともかくこれは数学において非常に根本的で基本的な概念なので、その定義やら判定方法やらをできるだけまとめてみました。確率変数のやつについてはだいたいまとめてるのでわりと長編になります。参考にどうぞ。 - [極限 Limit](https://www.practmath.com/limit/) - 「延々と近づける操作」のことを極限と言うわけですが、その感覚は分かっても、それがなんで数学的に扱えるのか謎ですよね。実際どう役に立ってるのかとかもなんかよく分からないですし、なんかよく分かんないと思います。そんな疑問に答えるために、極限についてざっとまとめてみました。参考にどうぞ - [確率空間 Probability Space](https://www.practmath.com/probability-space/) - 確率論を詳しくやっていくとなんか出てくる単語。結論としては、そんなに気にする必要のない単語なんですけど、知らないのは知らないでちょっと問題がある単語なので解説してみました。さすがに測度論の部分はだいぶ省略していますが、完全加法族辺りをなんとなく理解できれば特に問題なく理解できると思います。 - [カラテオドリの基本定理 Fundamental](https://www.practmath.com/caratheodory-fundamental-theorem/) - 測度論の中でも特に基本的なこの定理について、できるだけ細かくまとめてみました。さすがに集合論周りは省略していますが、それでもそこそこ丁寧に解説しているのでなんとなくは分かると思います。外測度とか可測がどうたらとかもこの記事ではそんなに詳しく解説していませんが、雰囲気は分かるようにできているはずです。参考にどうぞ。 - [測度論の拡張定理 Extension Theorem](https://www.practmath.com/measure-extension-theorem/) - カラテオドリの拡張定理とかホップの拡張定理とか、なんかよく分からないやつらについてちゃんとまとめてみました。これは測度論自体を学ぶ人は少ないと思いますが、重積分の定理であるフビニの定理やらなんやらの話で出てくるのでその辺りを厳密に理解したいなら知る必要がある知識です。けっこう大事なので理解したい方は参考にしてください。 - [σ-有限 sigma-finite](https://www.practmath.com/sigma-finite/) - これは主に 0 と ∞ だけになる状態から、それ以外の値を捻じ込むための条件なんですが、単体で見ると意味わかんないと思います。そんな測度論の拡張定理やらなんやらの一意性がどうたらみたいな話でいきなり出てくるこいつについて、できる限りいろいろとまとめてみました。あまり需要は無いかもですが参考にどうぞ。 - [測度論の基本定理 Fundamental](https://www.practmath.com/measure-fundamental-theorem/) - 内容が内容だけに、記事単体ではまとめきれませんでしたが、雰囲気は伝わるように書けていると思います。各種用語の意味だったり、証明がどんなもので、どういう役割があるのかとか。そういったことは伝わるように頑張ってみました。この知識が必要な人ってのはそんなにいないかもしれませんが、必要な人が喜んでくれると嬉しいです。 - [カラテオドリの外測度 Outer Measure](https://www.practmath.com/caratheodory-outer-measure/) - 外測度について調べていると、ジョルダン外測度やらルベーグ外測度やらなんやらいろいろ出てくると思います。その中でも、なんかいろんな定理の証明とかでいきなり出てくるのがカラテオドリの外測度で、ルベーグ外測度っぽいんだけどなんか違うっぽいというのは分かるけど、なんかはっきりしない。そんな人は多いんじゃないでしょうか。 - [前測度 Pre-Measure](https://www.practmath.com/pre-measure/) - これはジョルダン測度やら数え上げ測度を抽象化したやつなんですが、なんかいきなり出てくる概念で、例えば拡張定理について調べる時なんかで出てきます。そこで集合環やら集合体やら、なんじゃこりゃとなるわけですが、そこで出てくるだろう疑問について、特にジョルダン測度についていろいろまとめてみました。参考にどうぞ。 - [基本集合 Elementary Set](https://www.practmath.com/figure/) - 測度の話を詰めていくと最終的に出てくる区間。その区間で構成される図形を意味する区間塊。そしてその長さ。そういったものについてできる限り詳しくまとめてみました。特に完全加法族やら完全加法性については、測度を理解する上で必要になってくる部分なので詳しくまとめています。参考になれば幸いです。 - [完全加法族 Completely Additive](https://www.practmath.com/completely-additive/) - 測度論やら位相幾何学やら確率空間やらで見かける完全加法族ですが、これがどんなものなのか、きちんと理解している人はそんなにいないと思います。かくいう私もなんだこれって感じで、なんとなーく流してたんですが、測度論についてきちんと理解する上で避けて通れなくなり、学ぶことになりました。この記事にはその成果を記しています。 - [極限集合 Limit Set](https://www.practmath.com/limit-set/) - 数値の収束先のように、集合列の収束ってのは直感的に分かる概念なんですが、その具体的な定義は極限の定義と同様ややこしいものになっています。特に上極限集合や下極限集合は数式だけ見てもよく分からないもので、初見だと意味不明。なのでそれらについてできるだけ理解しやすいように解説してみました。参考にどうぞ。 - [真理集合 Truth Set](https://www.practmath.com/truth-set/) - 真理集合というものがどういうものなのかということを、できるだけわかりやすくまとめてみました。これは命題論理と集合論の橋渡しに当たるものなので、数学では必須の項目になります。やらずに数学をやるのは正直無理では？ というくらいには重要なものになります。あまり実感する層の分野ではありませんけど。 - [ネイピア数 Napier's Constant](https://www.practmath.com/napiers-constant/) - 指数関数とか対数関数とかが出てくるとなんか出てくる定数。それがこのネイピア数だと思うんですけど、なんだかんだ使うのは微分とか積分の計算だと思います。で、なんというか、よくよく考えてみるとなんかよく分からないというか。こいつってそもそもなんなんでしょう？とまあそんな疑問が湧いたのでまとめてみました。参考にどうぞ - [ベルンシュタインの定理 Bernstein](https://www.practmath.com/bernstein/) - 二つの集合の間に両方とも単射があれば、二つの間には全単射があるよっていうのがこの定理です。証明自体は検索すればそこら中に転がっていますが、この記事ではそれらの省略している部分を省略せずに説明してみました。自分の記憶の整理、もとい納得のために必要なものですが、参考になればどうぞご覧ください。 - [座標系 Coordinate System](https://www.practmath.com/coordinate-system/) - 座標というとわりと数学の初期で習うものなわけですが、これについて、思えばふわっとした部分が多いとは思いませんか？例えば高校に入っていきなりベクトルとかいう概念が出て来た時、あるいは虚数の話でいきなり極座標とかいう概念が出て来た時、なんかよく分からないまま座標と結び付けて話が進むわけですが、この辺りぼんやりしてますよね - [微分法則 Differential Law](https://www.practmath.com/differential-law/) - 微分する上でよく見る形を自分なりにまとめてみた。他の方が書いてる記事で代替しても良かったんですが、せっかくなので自分用におまとめ。他の方の参考になるかは分かりませんが、そこそこ見れるくらいの内容にはなっていると思います。証明も簡易的ですが行ってるので、疑問はあんまり残らないかと。参考にどうぞ。 - [積分法則 Integral Law](https://www.practmath.com/integral-law/) - 積分の計算法則に始まり、置換積分やら部分積分やら区分求積法やら、なにやら小難しい話についてざっとまとめてみました。といっても記事単体で完結する感じじゃなくなりましたね。積分の定義的にしょうがない話なんですけど微分の計算法則を知ってる前提の記事になってしまいました。まあでも積分がわかってればだいたい分かると思います。 - [単調族定理 Monotone Class Theorem](https://www.practmath.com/monotone-class-theorem/) - 測度論の中でも、特に一意性がどうたらみたいな話をする時に見るこいつ。その主張は直感的で分かりやすいんですが、証明となるとなんかよく分からない。そんな疑問というか悩みというか、まあそういうのを解決するためにこの記事を書いてみました。かなり丁寧に解説したので、そこそこ分かりやすくなってると思います。参考にどうぞ。 - [測度論 Measure Theory](https://www.practmath.com/measure-theory/) - 数学の根元の方に近づいていくと出てくる測度論とかいうよく分からないやつ。これについて自分なりにいろいろ調べてみましたが、なんというか、酷く単純なようで分かり辛いというかなんというか、まあなんかぼんやりしていたので、自分用にまとめてみました。参考になれば幸いです。 - [ルベーグ測度 Lebesgue Measure](https://www.practmath.com/lebesgue-measure/) - 微分積分の話を掘り下げていくと辿り着く測度論。その中でも、なにやらいろんな範囲をカバーできるらしいルベーグ測度についてちゃんとまとめてみました。記事単体ではさすがに完結させることはできなかったんですが、測度を理解している方なら問題なく理解できる程度には仕上がってると思います。参考にどうぞ。 - [幾何学基礎論 Foundation](https://www.practmath.com/foundation-of-geometry/) - 幾何学の基礎となる図形が持つ性質。それらが本当に正しいのか追及して、矛盾が出ないようにするのがこの分野の役割ですが、現状は特に語ることはありませんね。かなり厳密に組まれているので矛盾が出ることは当分無いと思いますし。なのでこれ自体は特にみる必要は無いかもしれません。でもいつか必要になるかもしれないのでまとめておきます。 - [ボレル集合 Borel set](https://www.practmath.com/borel-set/) - 極限やら実数やら測度やらの話をする時、なんか出てくるこのボレル集合。なんか実数のあれやこれや、みたいなのはなんとなく分かるけど、それ以上は分からない謎の概念ですが、まあ実数を厳密に取り扱うならほぼ必須の概念なので、解説してみました。それなりにまとまってると思います。参考にどうぞ。 - [開集合 Open Set](https://www.practmath.com/open-set/) - 位相幾何学の基礎になる開集合ですが、なんというか、これちょっと難解ですよね。開区間はイメージしやすいですし、その定義も分かりやすいんですが、開集合はちょっとよく分からないってなる人が多いんじゃないでしょうか。位相空間やら近傍やら部分集合やらなんやらいろいろあってごちゃついてますし。 - [ヴィタリ集合 Vitali Set](https://www.practmath.com/vitali-set/) - ルベーグ測度について学ぶ上で出てくるルベーグ非可測という概念。その具体例として最も代表的なこのヴィタリ集合についてできる限り分かりやすく説明してみました。ただ、これはルベーグ可測という概念の上で成立する話なので、記事単体では書ききれない部分が多く、この記事単体では完結していません。他の記事を読むことが前提になってます。 - [偏微分 Partial Differentiation](https://www.practmath.com/partial-differentiation/) - 多変数を扱う話でよく見るもの。偏微分はその代表例だと思います。表面上は使わない時もありますが、多変数関数を扱う際になんかよく分からない式変形がある時はだいたいこいつが関わっているので。それに多変数関数の性質といえばだいたい変化量なので、こいつが使われないことは稀です。 - [ガウス積分 Gaussian Integral](https://www.practmath.com/gaussian-integral/) - ガウス積分は指数に二次の変数が来る場合に必要になる、重要かつ基礎的な積分の一つです。ただ基礎的な割に、これの証明にはかなりの手間がかかります。なので自分にとっての知識整理の一環としてこの記事にまとめてみました。気になる方は参考にしてください。 - [可測集合 Measurable Set](https://www.practmath.com/measurable-set/) - 測度論を学ぶ上で避けて通れないというか、そもそも主役というか。まあそんな感じの可測集合ですが、これはとにかくいろんな知識が無いと分かり辛い、変な感じの概念です。なのでその全容を掴むために整理してみたわけですが、ルベーグ測度の知識が必須になるので記事単体にはまとめきれませんでした。でもまあ良い感じの仕上がりだと思います。 - [単関数近似定理 Simple Approximation](https://www.practmath.com/simple-approximation/) - ルベーグ積分について学ぶ上で避けて通れない。この単関数近似定理はそういったものですが、主張自体はすごくシンプルで、言ってることはわりとすぐに分かると思います。ただ証明となるとちょっと面倒で、気軽には触れ辛い。とまあそんな感じだと私は感じたので、できる限り分かりやすくまとめてみました。参考にどうぞ。 - [フーリエ解析 fourier transform](https://www.practmath.com/fourier-transform/) - フーリエ級数って単語に馴染みのある人は少ないと思いますが、そこそこ使えるし面白いのでちゃんとまとめてみました。高校の範囲からも外れていますし、高校を卒業してからも数学に触れるような人間にしか触れる機会は無いと思いますが、主に自分の知識を整理するために書いてみました。そこそこ分かりやすいと思います。参考にどうぞ。 - [特性関数 Characteristic function](https://www.practmath.com/characteristic-function/) - 主に中心極限定理など、統計の母数周りの話で出てくるこの特性関数ですが、なんというか、よく分からんですよね。母関数・生成関数やらテイラー級数やらを理解していればまあなんとなく分かるんですけど、単体で見ると本当に意味が分からないと思います。なので解説してみました。参考にどうぞ。 - [数列 Numerical Sequence](https://www.practmath.com/numerical-sequence/) - 数列っていうと、なんか難しく感じる人は一定数いると思います。実際ちょっと記号が多くてしんどいのは否めないのでなんとも言えませんが、たぶん、これに強いか弱いかで数字に対する強さが判定できる気がします。そんな数列のあれこれについていろいろまとめてみました。参考にどうぞ。 - [ロピタルの定理 l'Hôpital's Rule](https://www.practmath.com/lhopitals-rule/) - 微分できる範囲をけっこう広げてくれるありがたい定理。それをめちゃくちゃ掘り下げて解説してみました。当然ですが証明文も載せていますし、証明に必要になるコーシーの平均値の定理についても解説しています。平均値の定理については別記事になりますが、直感的に明らかな話なので定理を理解する上での障害にはならないかと。参考にどうぞ。 - [抽出 Sampling](https://www.practmath.com/sampling/) - 統計学における基本中の基本の用語。これについても完璧に理解していないと統計をきちんと扱うことはできないので詳しくまとめてみました。特に無作為抽出がなんでランダムになるのかとか、そういう基礎的なことを押さえておかないとふわっとしたまま統計を扱うことになるので、その辺りも深堀しています。参考にしてください。 - [ライプニッツ級数 Leibniz formula](https://www.practmath.com/leibniz-formula/) - ライプニッツの公式やらライプニッツ級数やらいろいろ呼ばれ方がありますが、こいつ、式だけ見るとまじで意味わからないと思います。円周率の近似で出てくるやつなんですが、なんでこの形で円周率が出てくるのかとか、その辺り本当に直感的じゃないというかなんというか。とまあそんな感じなのでまとめてみました。参考にしてください。 - [ベイズ統計学 Bayesian Statistics](https://www.practmath.com/bayesian-statistics/) - ベイズ統計ですが、これはまあほとんどの人には通じない専門用語だと思います。扱いやすくはあるんですけど、その反面これはちょっと分かり辛くて、なんかちょっと敷居が高い。とまあそんな感じなので、まあ理解するのは大変なんですけど、その分かり難さを少しは解消するためにこの記事を書いてみました。参考にしてください。 - [数学定数 Mathematical Constant](https://www.practmath.com/mathematical-constant/) - 有名な定数といえば「1」「0」「π」「i」「e」の5つが思い浮かぶと思います。数Ⅲまでやってない人だと「i」「e」辺りには馴染みが無いかもしれませんが、数学の基本定数というとだいたいこの５つで。それぞれにはきちんと意味と使い道が存在します。まあ円周率やら虚数単位についてはちょっと怪しいですが、それでも無意味はありません - [空間 Space](https://www.practmath.com/space/) - 空間という言葉自体は、結構ありふれたものだと思います。でもこれの意味についてよくよく考えてみると、なんかよく分からなくないですか？説明しろって言われたら、例えば三次元空間がどうたら、みたいな感じなると思うんですけど、それってなんか説明になってないですよね。とまあそんな感じだと思うので解説してみました。参考にどうぞ。 - [再帰理論 Recursion Theory](https://www.practmath.com/recursion-theory/) - 再帰理論を大雑把な感じにまとめてみました。あまり馴染みのないものかもしれませんが、それはこの名前だけで、実は一番生活に関わってる部分になります。特に決定問題やらチューリングマシンやらは現代社会の基盤とも言えるもので、人間にとってはもはや欠かせないものになっています。理解しておいて損は無いので触れておくのも一つの手。 - [到達不能基数 Inaccessible Cardinal](https://www.practmath.com/inaccessible-cardinal/) - 到達不能基数についてあれこれまとめてみました。極限基数やら順序数のことを知ってることを前提にした記事に仕上がっちゃいましたけど、雰囲気は伝わるように書けてるかも？ いやたぶん知らないと分かり辛いかもしれませんが、まあこれについては内容が内容だけに許して欲しいです。無限、よく分からない - [極限基数 Limit Cardinal](https://www.practmath.com/limit-cardinal/) - 共終とか極限基数とか、無限の話を深堀していくと出てくるこれらについて解説してみました。この辺りの話になるとちょっともう直感とずれてきてあわあわしちゃいますけど、まあちょっと面白い上に到達不能基数に繋がる話なので、基礎を理解するには必須。とまあそんな感じなのでちゃんと理解しておきましょう。 - [有界集合 Bounded Set](https://www.practmath.com/bounded-set/) - 上界とか上限とか最大とかなんやかんやについてまとめてみました。収束とかの話でよく見るので数学の基礎的な部分を理解したい場合はほぼ必須の概念になります。有界と書くとちょっと厳ついですけど、実際にはそんな難しい概念じゃないのですぐに理解できると思います。参考にどうぞ。 - [制限 Restriction](https://www.practmath.com/restriction/) - 数学における「制限」について解説してみました。感覚的にも数的概念であることは間違いないのでなんとなく分かるとは思うんですけど、じゃあ実際に、厳密にはどういう意味になるのか。すぐには分からないと思うので簡単にまとめてみました。写像とかの知識がちょっといるんですけど、そこそこ使うので記事化参考にしてください。 - [区間 Interval](https://www.practmath.com/interval/) - 区間という単語は数学では割と広い範囲で見かけます。特に測度や微積とか級数とか、解析学なんかではよく見かけるとかいうレベルではないほど見ますね。基礎的な話でも見ますし実践的な話でもよく見ます。そんな区間のあれこれに関して基本的なことをちゃんとまとめてみました。参考にしてください。 - [整列集合 Well-Ordered](https://www.practmath.com/well-ordered/) - 整列とかいう概念について、数学的にはどういうものなのかを丁寧にまとめてみました。いわゆるソートの本質的なものになるので、実践的にも数学的にも非常に大事なものになります。特に基礎的な話になるとだいたいこれが出てくるので、数学を深く理解したいのであればほぼ必須の知恵と言えますね。よく理解しておくことをおすすめします。 - [順序集合 Ordered Set](https://www.practmath.com/ordered-set/) - 順序数というものがなんなのか。いやそもそも順序っていったいなんなのか。それを集合論的に解釈した場合にどんな風に定義されるのか。そういう感じの話なので、ちゃんとまとめてみました。順序数とかを理解する上でそこそこ重要になるので覚えておいた方が良い知識になります。参考にどうぞ。 - [整礎関係 Well-founded](https://www.practmath.com/well-founded/) - 半分自分用です。整礎関係の定義を作るまでの流れや必要になってくる発想なんかについてできる限りわかりやすくまとめてみました。意識することはほとんどない知識になるので不要と考える人もいるかもしれませんが、これは底の方にある類のものなので感覚は理解しておいた方が良いものだと言えます。なのでちょろっと覚えておくのはどうでしょう - [カントールの定理 Cantor's Theorem](https://www.practmath.com/cantors-theorem/) - 無限とかいうよく分からんやつを、人間が分かる範囲でどうにかこうにか分かるようにした定理。それがカントールの定理です。対角線論法とかいうわりと難し目のやり方で証明されています。なんか分かりやすい記事が無かった気がしたので、それを自分なりにわかりやすく解説してみました。ある程度の知識があった上での内容にはなっていますが。 - [基数 Cardinal Number](https://www.practmath.com/cardinal-number/) - この記事では無限基数（濃度）についてできる限りわかりやすく解説してみました。 具体的には「自然数から整数への全単射」「自然数から有理数への全単射」「実数と自然数の濃度」なんかについてのあれこれや、基数という単語についてなど、詳しく説明しています。無限について詳しく知りたい人は参考にしてください。 - [同値 Equivalence](https://www.practmath.com/equivalence/) - 気軽に使いがちな = という記号ですが、多くの場合、けっこう適当に使われています。そのせいでわりと頻繁にかなり致命的な勘違いを引き起こしていて、それこそ社会的な問題も発生させている始末。とまあこれはそんな感じのやつなので、具体的にどう勘違いに繋がるのかとか = の成り立ちとかについて解説してみました。参考にどうぞ。 - [整礎的集合 Well-Founded Set](https://www.practmath.com/well-founded-set/) - 基礎的な集合・整礎的集合について解説してみました。これは基礎公理なんかにも関係する大事な集合なんで、是非押さえておきたい知識になります。ただ、地味です。すごい地味で、使いどころがそんなにあるわけでもありません。構造として存在することは常に意識することになりますが、ちょっと基礎的過ぎるんですよねこれ。 - [推移的集合 Transitive Set](https://www.practmath.com/transitive-set/) - 数学の根本的な性質の一つである推移の集合論的な解釈についてまとめてみました。推移と集合論の橋渡しとなるこの推移的集合は、そのまま見た目通りの役割を果たします。必然、自然数・順序数は必ずこの構造を持つことになるので、基礎的な話をする時にはそこそこ出てくるので要注意。記憶の端くらいには入れておきましょう。 - [組合せ数学 Combinatorics](https://www.practmath.com/combinatorics/) - 数学の初歩の初歩に当たる「数え上げ」について、ざっくりとまとめてみました。わりと丁寧にまとめたので、細かい部分もカバーできてると思います。内訳は「順列」と「組合せ」についてがメインです。ついでに要素が重複する場合と重複組み合わせについてもまとめてます。参考にどうぞ - [数え上げ Counting](https://www.practmath.com/counting/) - 確率論にしてもなんにしてもほぼ必ずと言って良いほど出てくる数え上げについてまとめてみました。順列に始まり組み合わせやら重複組み合わせやら、それこそ二項定理も含めて、きっちり解説しています。測度辺りに関してはさすがにカバーしてませんが、その辺り以外の部分についてはしっかり分かるように書いたつもりです。参考にどうぞ。 - [積分公式 Integral Formula](https://www.practmath.com/integral-formula/) - この記事はほぼ自分用の記事ですね。他の記事に自分用の注釈とかつけたり積分の計算で困った時に見に来たりするように作った記事になります。なので丸パクリにはなってないと思いますが、まあそこは気にしてもしょうがないので割り切り。ともかく、積分の基本的な形は網羅できていると思うので、参考にはなると思います。 - [微分積分学 Calculus](https://www.practmath.com/calculus/) - 微分積分というと難しい印象のある科目ですが、実際、本当に難しいんでしょうか？ 分からないというなら、そもそも何が分かってないんでしょうか？そんな疑問に答えるべく、部分積分学の本質についてざっとまとめてみました。やってることは非常に単純なので難しくないよ、みたいな話をしています。参考にどうぞ。 - [級数 Series](https://www.practmath.com/series/) - 級数の要点とその感覚についてざっとまとめてみました。必要最低限の話しかしてませんが、まあだいたい感覚的には分かると思います。生成関数やらなんやらの話でわりと使われる考え方なので、証明をきちんと理解したいのであれば知っておくべきでしょう。特にテイラー級数あたりはよく見るので押さえておきたいところです。 - [条件付き確率 Conditional Probability](https://www.practmath.com/conditional-probability/) - 条件付き確率についてじっくり解説してみました。そもそもなんだよこれって話から、定義、諸々を丁寧にまとめてます。集合論の話やら確率の公理やらには触れていませんし、その辺りは分かり辛いかもしれませんが、感覚的な話を多めに盛り込んでいるので、記号の意味さえ分かれば分かるようにまとめられていると思います。参考にどうぞ。 - [確率密度関数 Probability Density](https://www.practmath.com/probability-density-function/) - 確率密度関数は統計学の数式部分でよく見る用語ですが、なんかよく分からない。そんな自分みたいな人のためにちゃんと解説してみました。確率変数周りやら累積分布関数、積分、確率なんかの知識が必要なので記事単体で評価するともしかしたら分かりにくいかもしれませんが、まあだいたい分かるとは思います。参考にどうぞ。 - [累積分布関数 Distribution function](https://www.practmath.com/distribution-function/) - なんか統計学とか確率論とかやってると出てくる単語ですが、初見だと自分にはよくわかんなかったので記事にまとめてみました。感覚的に分かるように書けたと思うので、初見時のうわぁって感じはそこそこなくせたんじゃないかとは思いますが、確率変数辺りの知識が無いとちょっとよく分かんないかもしれません。まあでも参考にはなるかと。 - [確率分布 Probability Distribution](https://www.practmath.com/probability-distribution/) - これも統計学んでるとよく見かける単語ですが、なんかよく分からない。そんな自分みたいな人間のために簡単にわかりやすく解説してみました。分布とか確率とか、その辺りもちょっと深堀してます。確率は深堀し過ぎると収拾つかなくなるのでそんなですが、感覚的には分かる程度には深堀出来ていると思います。参考にどうぞ。 - [頻度論的統計学 Frequency statistics](https://www.practmath.com/frequency-statistics/) - 統計学と言ってイメージするものは、実はこの頻度論的統計学になります。これはベイズ統計学とは基礎が異なるため、区別するための言葉として存在する単語なんですが、中身は本当に一般的な統計で、内容自体はそんなに難しくありません。ただ推計統計学辺りは深堀していくと大変なことになるのでこの記事ではその辺りは触りだけしか扱いません。 - [標本 Sample](https://www.practmath.com/sample/) - この標本・サンプルもまた統計学の基本中の基本と言える用語ですが、中でも特に有名な感じがしますがどうでしょうか。基本的過ぎて改めて理解する必要もないレベルかもしれませんが、深堀すると、サンプル数とかサンプルサイズとかいう用語が出てきてちょっと混乱します。なのでちゃんと解説してみました。参考にどうぞ。 - [母集団 Population](https://www.practmath.com/population/) - 母集団という統計学ではめちゃくちゃ基本的な単語について簡単に解説してみました。母という単語から、親と捉えるか、元と捉えるか、全体と捉えるか。その辺の曖昧さを回避のための記事になりますが、ともかく、ちゃんと分かるように詳しくまとめてます。参考にしてください。 - [分布 Distribution](https://www.practmath.com/distribution/) - 分布とかいう統計学における超基本的な用語についてちゃんと解説してみました。変量だったり観測値だったり、なんか分かり難い単語で説明されてて変な感じですが、そこも含めてちゃんと解説してます。この分布とかいう単語、分からないと統計ほぼ分かりませんし、曖昧にはしたくなかったので。参考にしてください。 - [独立同分布である i.i.d. IID](https://www.practmath.com/iid/) - 統計学におけるめっちゃ基本的な「仮定」になるこれについてちゃんと解説してみました。iidとか略されたりもするこれ。なんか小難しい感じでちょっとあれなんですけど、この中身が言いたいことって、要は「普通」だって感じなんですよね。でもなんかちょっと伝わりにくい感じがしたのでちゃんと解説してみました。参考にどうぞ。 - [母数 Parameter](https://www.practmath.com/parameter/) - 母数という単語もまた統計学の中では基本中の基本なので、ちゃんと解説してみました。といっても平均やら分散やら、そういった話がメインで、統計量やらなんやらも絡んでややこしいんですが、まあ分かるようには書けたと思います。そんな難しい話でもないですし、この記事だけで母数についてはだいたい分かるかと。参考にどうぞ。 - [統計量 Statistics](https://www.practmath.com/statistics-value/) - 統計を語るなら当然のように出てくる単語である統計量について解説してみました。母数やら標本やら推定量やら、その辺りに並ぶくらいすっごく基本的な単語なので、統計を勉強する上では絶対に理解しておきたいところ。とまあそんな感じの統計量について、この記事ではできる限りわかりやすくまとめてみました。参考にしてください。 - [統計学の基礎付け Fundamental](https://www.practmath.com/fundamental/) - この記事では主に統計学の基礎付けになる大数の法則についてまとめています。なんで統計の予測が正しいと言えるのか。どれくらい正しくなるのか。そういった諸々の根拠について分かりやすく解説したつもりです。中心極限定理の詳細には触れていませんが、大数の法則については詳しくまとめてます。参考にどうぞご覧ください。 - [推定量 Estimate](https://www.practmath.com/estimate/) - 統計学の用語としてめちゃくちゃ代表的と言える単語ですが、なんか、よく分からない。とまあそんな風に思っちゃったので推定量について記事にまとめてみました。統計学を理解する上でこれは完璧に押さえていなければならない単語の一つなので、できるだけわかりやすく、かつ詳しく書いてみたつもりです。参考にどうぞ。 - [最尤推定 Maximum Likelihood, MLE](https://www.practmath.com/mle/) - 統計学で出てくる最尤推定とかいうやつについてちゃんとまとめてみました。指数法則やら対数関数やら微分やらについて理解できてる方ならすっきり理解できるようにまとめられていると思います。もうちょっと具体的な話とか入れた方が良いのかなとか思ったんですが、長くなりすぎるので別記事ですね。この記事では基本だけ解説してます。 - [確率変数 Random Variable](https://www.practmath.com/random-variable/) - 統計学でも確率論でもなんか出てくる超絶基本的な用語である確率変数。これの意味がちょっと掴みにくいと感じた私みたいな人間のために整理するためのあれこれをまとめてみました。まとめていて毎度のように思いますが、やっぱ具体例ってすごい大事ですね。具体的な値が出てくると途端に実感しやすくなるので。 - [数学に関する見解](https://www.practmath.com/opinion/) - 予てより、私は現代の数学教育に対して不満を覚えていた。その詳細を言語化してみました。偏見然り、そもそも教える側が数学のことをよく分かっていないんじゃとか、そういう点然り、現代の数学の歪みについての話がメインで、実際に使える場面だったり、使い方だったりを解説しています。参考にどうぞ。 - [量子力学の基本的な知識を解説](https://www.practmath.com/quantum-mechanics/) - 量子力学の基本的な話についてまとめてみました。量子力学っていうと、断片的な知識ってのは転がってるし、多くの人は知ってると思うんですけど、ちゃんと調べようとすると難解でなんかよく分かりませんよね。でもちゃんと知りたい。とまあそう思ったので基礎的な知識について自分用にｔまとめてみました。参考にどうぞ。 - [ヒルベルト空間 Hilbert Space](https://www.practmath.com/hilbert-space/) - 厳密な話はできる限り省いて、ヒルベルト空間についてざっと解説してみました。量子力学でどういう風に使われてるのかとか、そういう話を主にしてる感じで、中身についてはそこまで厳密には触れていません。この記事では、あくまでヒルベルト空間が量子力学で果たす役割ついてメインで解説しています。参考にどうぞ。 - [エルミート演算子 Hermitian](https://www.practmath.com/hermitian-operator/) - 量子力学で出てくるエルミート演算子とかいうよくわからんやつについて、ちゃんと解説してみました。文献を適当に漁っても、定義とかその証明とかは出てくるんですけど、なんか肝心なところがよく分かんない感じがしたので、ちゃんと掘り下げて、分かるようにまとめてみました。参考にどうぞ。 - [物理量演算子 Operator](https://www.practmath.com/general-matrix-display/) - 量子力学で出てくる位置演算子とか運動量演算子とか、ぱっと見よく分かんないやつについて解説してみました。これについては生成消滅演算子とか個数演算子って単語を知らないと分かりようもないんですけど、その単語すら省いている文献も多く、非常に理解しにくい部分だと個人的に思ったのでちゃんと解説してみた感じです。参考にどうぞ。 - [最小作用の原理／変分原理](https://www.practmath.com/variational-principle/) - 微分から偏微分、ラグランジュの運動方程式の話まで含めて、最小作用の原理ついて全部解説してます。最速降下曲線についての話とかも間に挟んでるので、そこそこ実感しやすい感じにはなってるんじゃないでしょうか。まあ数式周りについてはわりと難解な話なので、簡単に分かるとは行きませんが、参考にはなると思います。 - [波動関数 Wave Function](https://www.practmath.com/wave-function/) - この記事では波動関数とかボルンの規則について解説してます。そのために波についての話とか、果ては波動方程式の話までしているので、疑問点はだいたい潰せてるかと。ボルンの規則周りの話では確率解釈の根拠とか複素関数はどうすんだあーだこーだとありますが、まあだいたい分かるようには書いてるつもりです。参考にどうぞ。 - [答えが出ない問題について](https://www.practmath.com/deficiency-of-premise/) - 俗に言われる答えの無い問題とかいうやつ。これの正体について書きました。これを数学的に説明して、なぜ答えが出ないのか、その理由を導いてます。結論を先に書いておくと、答えが出る状態に無いから、というのが答えになりますが、これだけじゃ分かるはずないので、納得したいのであれば読んでくださると良いかと。参考にどうぞ。 - [シュレーディンガー方程式 Schrödinger](https://www.practmath.com/schrodinger-equation/) - ３つある量子力学の基礎方程式の中で、恐らく最も分かりやすいのがシュレーディンガー方程式ですが、単体で見ても正直意味が分かりません。ただ、それは能力不足とかそういう次元の話ではなく、単に必要な知識が足りないから分からないだけで、必要な知識さえ知っていれば、そう難しくはありません。なので必要な知識についてまとめてみました。 - [不確定性原理 Uncertainty](https://www.practmath.com/uncertainty/) - 不確定性原理について、小澤の不等式を含めて丁寧に解説してみました。測定に始まりロバートソンの不等式の導出に至るまで、詳細に解説しています。理解するために必要な知識はそこそこ多いかもしれませんけど、かなり掘り下げてるので、小澤の不等式の導出なんかもそこそこ直感的に分かると思います。参考になれば幸いです。 - [エネルギー Energy](https://www.practmath.com/energy/) - 科学における重要な概念として、エネルギーというものがあります。多くの人は、この単語を聞けばなんとなくどういうものかが分かると思うんですが、実はこれ、意外と認知されていません。というのも、恐らくほとんどの人はエネルギーって何？と聞かれても、きちんと答えることができませんし、なぜ重要なのかも分からないので。 - [国際単位系 SI](https://www.practmath.com/si/) - 科学の知識を知る上で欠かせない知識の中でも、特に国際単位系は重要です。というのも、科学ではこの基礎的な単位が頻出する上に、他の単位はこの基礎単位の組み合わせで表現されます。特に長さや時間、エネルギーの単位は重要で、物理学では必須になる知識と言えます。 - [科学の覚えておくべきこと](https://www.practmath.com/science/) - 科学に限らず、有名な知識体系は覚えることが膨大です。しかしどの分野にも基礎や大分類というものは存在していて、それだけに着目すればそんなに多くはありません。これは科学も同じことですが、科学は数学と同様、この基礎が多い知識体系です。ですから基礎を全て、というのは無理ですが、必須知識は絞り込めます。なのでまとめてみました。 - [コーシー列 Cauchy Sequence](https://www.practmath.com/cauchy-sequence/) - 収束するってことがどういうことか。これを深堀していくと行き着くものの一つ。別名、基本列と呼ばれるこれは意外とちゃんと示そうとすると難しく、特にこれが有界である点や収束することと同値である点なんかは、ちょっときちんと証明するのが大変です。とまあそんなもろもろの事情があったので超絶丁寧にまとめてみました。参考にどうぞ。 - [Bolzano-Weierstrass の定理](https://www.practmath.com/bolzano-weierstrass/) - 平均値の定理あたりを調べていたらぶつかる定理の一つですが、調べてもよく分からなかったので、自分なりにまとめてみました。有界かどうかとかに関わるかなり重要な定理なので、分からないところがほとんどないように書いたつもりです。他のと比べて分かりやすいかどうかは分かりませんが、どうか参考にしてください。 - [極値定理 Extreme Value Theorem](https://www.practmath.com/extreme-value-theorem/) - ある条件の下では確実に最大値・最小値が存在する。この極値定理の証明がこれなわけですが、まあ結論自体は非常に当たり前。特に疑問に思える部分はありません。しかし証明はけっこう大変で、わりと長い。それにテイラーの定理の証明に必須なので超重要。とまあそんな感じなので記事としてまとめてみました。参考にしてください。 - [ロルの定理 Rolle's Theorem](https://www.practmath.com/rolles-theorem/) - 図形を見れば当たり前の事実。それを証明すると意外に大変だった。その一例としてこれはそこそこ有名だと思います。主に平均値の定理の証明に必要になるもので、それ以外にはあまり見ませんが、テイラーの定理の証明で必須になる以上、めちゃくちゃ重要な定理なので記事としてまとめてみました。参考にしてください。 - [平均値の定理 Mean-Value Theorem](https://www.practmath.com/mean-value-theorem/) - テイラーの定理・マクローリン展開の証明で必須になる。そんな印象の強い定理ですが、ロピタルの定理なんかの証明にも必要になったりと、これは有用な定理に多く関わっているかなり重要な定理になります。とはいえ主張があまりにも直感的に明らか過ぎるので、この内容自体は比較的簡単。でも証明が少し厄介だと感じたので、深堀してみました。 - [テイラーの定理 Taylor's Theorem](https://www.practmath.com/taylors-theorem/) - テイラーの定理というかマクローリン展開が非常に便利なのでちゃんと証明してみました。さすがに全部は書けていませんがかなり基礎的な部分まで深堀出来たと思います。平均値の定理に始まりロルの定理、ロピタルの定理、最大値最小値の定理、ヴォルツァノ-ワイエルシュトラスの定理、収束など、集合に繋がるまでの話は一通りそろえてあります。 - [数値的な感覚](https://www.practmath.com/important/) - 個人的なイメージとしては、重要なものとそうでないものを混同している場面が多いように思います。全体の話をしているのに具体的な話をする人もいれば、一部を否定して全体がおかしいとするような無茶な理屈が通ることもあったり。でも、それって変でしょう？ でも、じゃあ具体的にどう変なの？ となったのでまとめてみました。 ## 固定ページ - [ホーム](https://www.practmath.com/) - 数学をやる意味っていったいなんなの？ 数学ができたからといってどう役に立つの？ そういったありふれた疑問を解決できる一助になればと - [実用例](https://www.practmath.com/practical-example/) - 基礎情報 概念「認識可能なものを表現する単語」 正しさ「真偽の判定が可能なら生じる」 哲学の答えの１つ「概 - [実用的数学の基礎理論](https://www.practmath.com/base/) - 数学の基礎論から、使える部分をピックアップしてみました。あまり日常で使う機会の無い部分については触れず、日常でも使える部分だけをまとめています。数学の基礎論を知らない人にもそれなりにわかるようにしているつもりですので、良ければご覧ください。 - [実用的数学](https://www.practmath.com/prmath/) - とりあえず役に立つのが分かり易いものをピックアップしてみました。ただこれはあくまで元になったものなので、これから出していくものとは異なります。これから出していくのは、記憶とか思考とか創造とか、そういうレベルでの実用性のあるものになります。 - [雑記](https://www.practmath.com/life/) - 経済学の基礎、つまりお金ってそもそも何なのかとか。政治の基礎、つまりそもそも政治って何なの？って話とか。法学の基礎、つまり必須になる用語とかをまとめてみたりとか。そんなことが書いてます。 - [集合論](https://www.practmath.com/mathematics/menu-mathematical-logic/menu-set-theory/) - 概要「集合論がどんなもんなのか」 集合「ほぼ全てを表せる万能の材料」 写像「集合と集合の間を結ぶやつ」 - [モデル理論](https://www.practmath.com/mathematics/menu-mathematical-logic/menu-model-theory/) - 概要「モデル理論の基礎的な部分」 意味論「意味について考えるモデル理論の原型」 理論「これはこういうものだ - [数理論理学](https://www.practmath.com/mathematics/menu-mathematical-logic/) - 概要「論理学からの発想の流れとか」 命題論理「数学的に扱える主張の原型」 述語論理「命題論理の中身を具体化 - [数学の基礎知識まとめ](https://www.practmath.com/mathematics/start/fundamental/) - 実際にまとめてみると見事に学校では習わないものばかりで、あらーって感じです。ですので、数学を勉強したいと思う方は「学校で習った数学」とは全く違う学問だと思って勉強した方が良いと思います。それこそまるで知らない未知の学問と思った方が良いです。それくらい学校では数学を習わないってことを知っておいてください。 - [数学の始め方](https://www.practmath.com/mathematics/start/) - このページはほぼ繋ぎで、数学を勉強するための大雑把な方針と、その知識を得られるページのリンクのみを提供するページになります。内容が短いのは読む量をできるだけ減らした結果で、それ以上でも以下でもありません。本当ならもっと書いた方が良いのかもしれませんが、このページでは案内に留めます。 - [動画](https://www.practmath.com/prmath/movie/) - ほとんどの人が使える数学の利用方法をまとめた動画を紹介しています。勘違いを減らしたいとか、時間とかを有効活用したいとか、そういう方向けの内容になってるので、興味があればぜひご覧ください。 - [サイト概要](https://www.practmath.com/concept/) - 実用的数学 Practical Mathematics 数学をかなーり自由に適当に しかしわりと厳密に扱ってい - [ショップ](https://www.practmath.com/shop/) - [Upgrade](https://www.practmath.com/upgrade/) - [新規登録](https://www.practmath.com/sign-up/) - [プライバシーポリシー](https://www.practmath.com/privacy-policy/) - 以下の内容は現在では仮のものとします。なので仮にユーザー登録された場合、以下の内容は適用されないものとします。 - [利用規約](https://www.practmath.com/terms-of-use/) - 以下の内容は現在では仮のものとします。新規登録があった場合、予告なく登録内容を削除することがあります。基本的に - [ログイン](https://www.practmath.com/membership-login/) - [プロフィール](https://www.practmath.com/membership-login/membership-profile/) - [Join Us](https://www.practmath.com/membership-join/) - This page and the content has been automatically genera - [登録](https://www.practmath.com/membership-join/membership-registration/) - [パスワードのリセット](https://www.practmath.com/membership-login/password-reset/) - [Thank You](https://www.practmath.com/thank-you/) - 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科学の勉強を進める上での指針になればと思い、書きました。参考にしてください。 ## カテゴリー - [未分類](https://www.practmath.com/category/sr99/) - [数理論理学](https://www.practmath.com/category/sr00-mathematical-logic/) - [基礎概念](https://www.practmath.com/category/sr00-foundation-concept/) - [超数学](https://www.practmath.com/category/sr04-meta/) - [解析学](https://www.practmath.com/category/sr01-analysis/) - [幾何学](https://www.practmath.com/category/sr03-geometry/) - [代数学](https://www.practmath.com/category/sr02-algebra/) - [集合論](https://www.practmath.com/category/sr00-mathematical-logic/sr01-set-theory/) - [証明論](https://www.practmath.com/category/sr00-mathematical-logic/sr02-proof-theory/) - [モデル理論](https://www.practmath.com/category/sr00-mathematical-logic/sr03-model/) - [再帰理論](https://www.practmath.com/category/sr00-mathematical-logic/sr04-recursive/) - [命題論理](https://www.practmath.com/category/sr00-mathematical-logic/sr00-language/sr00-proposition/) - [述語論理](https://www.practmath.com/category/sr00-mathematical-logic/sr00-language/sr01-predicate/) - 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