|| あなりしす
見たまま、いろいろ「解析」するための学問です。
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主に『極限』『数え上げ』『測度』がメインになります。
その応用、集大成として『確率』『統計』がくる感じですね。
実用的っていうと、多くの人はこれを連想します。
各分野
・極限「どこまでも近付けていく」
収束「そこに集まっていく感じ」
連続「間になにか必ずある感じ」
・組合せ数学「要は数え上げに関するあれこれ」
数え上げ「順列とか組合せとか使うやつ」
順列「順番に並べるとき、並べ方は何通りか」
組合せ「選ぶとき、選び方は何通りか」
・測度論「測ることに関していろいろ」
測度「長さとか面積とか体積とかのこと」
完全加法族「測度を矛盾なく導ける枠組み」
・微分積分学「極限と測度論の上でやるやつ」
微分「主に点の傾きを正確に測る感じ」
積分「全部の面積を求めてやるぜって感じのやつ」
・級数解析「意味不明なやつをなんとか整理する感じ」
テイラー級数「微分を使って多項式で表す感じ」
マクローリン展開「テイラー展開したやつの定数に 0 を」
フーリエ級数「波を重ねて整理する感じ」
・確率論「もっともらしい感じの指標を」
標本空間「起こり得ること全体のこと」
事象「起こり得ること」
確率「起きる割合を表した感じ」
コルモゴロフの公理「確率の存在を公理化したもの」
・統計学「科学の基礎付け的なもの」
母数「確率分布の特徴を表す数値のこと」
期待値「いわゆるその分布の真ん中っぽい感じの数」
分散「真ん中辺りからのサンプルのばらけ具合を表す数」
統計学の基礎付け「確率変数の収束から、大数の法則が」
マルコフの不等式「期待値と定数で確率の最大値が」
チェビシェフの不等式「標準偏差の定数で確率の最大が」
大数の法則「サンプル数が増やすと精度が上がる」
不偏性「偏りが無いってことを示す指標」
一致性「真の値に近いだろうっていうことを示す指標」
抽出「不偏性と一致性を高めるサンプリングのやり方」
推定量「正しいんじゃないの？っていう値」
『数理論理学』が『哲学』に近い感じとするなら、
『解析学』はもっとも『科学』に近い分野と言えます。
『確率論』なんかは、それこそかなり実践的なものです。
挙げた成果は数える方が難しいでしょうし。
なにより日常的に便利に扱うことができます。
『統計学』も、その成果は凄まじいの一言でしょう。
現代の「科学」でこれを扱わないものはほとんど無いと思います。
それに、これは割と日常でも実践的に扱えます。
バイアス（偏り）を生むリスクもありますが、
人が『傾向』を感じるとき、無意識にこれを使ってますからね。
そんなこれらの基礎は、『極限』です。
これを厳密に定義していく中で「解析学」は発展していきました。
というのも独立してる『組合せ数学』と『測度論』は別として、
「確率論」を除けば、この『極限』なしでは厳密に語れません。
定義の根幹は、全てこの『極限』に由来しています。
『確率論』の基礎付けについては、
『組合せ数学』と『測度論』由来です。
「事象のカウント」と「測度を導けること」が根幹になるので。
まあ、ざっと説明するとこんな感じですね。
抽象的なんで、ふーん？って感じでしょうから、
さっそく内訳を見ていきましょう。
といっても、詳しくやると長くなりすぎるのでざっくりと。
詳細は別の記事を用意してますので、そこから。
極限 Limit
|| 限度の極み
延々と『近付ける』操作のこと。
「解析学」の基盤の一つです。
『極限値 L 』なら、
関数バリエーションだと『極限』の形式は↓みたいな感じ。
\displaystyle \lim_{x \to c}{f(x)}=L
厳密な定義は「ε-δ論法」で。
∀ε>0\,\textcolor{skyblue}{∃δ>0}
[\,∀x∈R\,[\,(\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε})\,]\,]
詳細は別の記事『極限』で。
組合せ数学 Combinatorics
|| 人間のためにある数への探求
ここでの主なトピックは「数え上げ」。
いわば『数学の出発点』を拡張したものがこれ。
主に「有限」がこれの主軸です。
集合の中にある『要素の数を数える』ことがメイン。
順列の形式は↓
\displaystyle P(n,r)\,\,\,{}_nP_r:=\frac{n!}{(n-r)!}
組合せの形式は↓
\displaystyle C(n,r)\,\,\,{}_nC_r:=\frac{n!}{(n-r)!r!}
詳細は『組合せ数学』に。
測度論 Measure Theory
|| 測るってなに？
メイントピックは『面積』っぽいもの。
この面積と本質的に同じものを、
まとめて「測度」と表してます。
測度『 μ(S) 』の定義は↓
・初期値について
μ(∅)=0
・性質について
A_1,A_2,A_3,… が、全部互いに共通部分を持たないとき
\displaystyle μ\left(\bigcup_{i} A_i\right)=\sum_{i} μ(A_i)
詳しくは『測度論』の記事で。
微分積分学 Calculus
|| 極限を使う計算処理の土台
要は『計算のやり方』の一種です。
現代じゃ知ってれば良いレベルのものになります。
複雑な計算処理が機械で済む現代では、
この理屈は、その定義を押さえていれば十分です。
式の意味を理解できるレベルにあるなら、
それだけで困ることはないでしょう。
微分の定義は↓
\displaystyle f'(x):=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}
積分の定義の一つは↓
\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx:=\lim_{h \to 0}\sum_{i=1}^{\frac{b-a}{h}}f(x+ih)\left((x+ih)-(x+(i-1)h)\right)
詳しい話は『微分積分学』にて。
級数解析 Series
|| なんか難しそうな
これは『複雑な関数を分かりやすくする』ためのもの。
知りたい部分（だいたい 0 辺り）を切り取って、
単純なもの（項とか）の「有限の集まり」として表します。
テイラー級数の形式は↓
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n
フーリエ級数の形式は↓
\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{k=1}(a_k\,sin\,kx+b_k\,cos\,kx)
詳しくやるとけっこう長いので『級数解析』から。
確率論 Probability Theory
|| 人間が見出した最高の道具
一言で言えば『正しさの割合』のこと。
この数値の意味は、知っておかないと誤解を生みます。
よくある誤解を挙げると「何回の内何回くらい」とかですね。
これは合ってるようで、実は本質的に違います。
『確率』が表すのは、あくまで「正しさの割合」です。
「全体」の中に『どれくらい含まれているか』を示してます。
視覚的には、フィルターみたいなものです。
そんな『確率』のざっとした定義は↓です。
事象の全体 E の要素数を |E| 、
『確率』を求めたい事象 e の要素数を |e| とすると、
\displaystyle Pr(e)=\frac{|e|}{|E|}
詳細は『確率論』で。
統計学 Statistics
|| 人類史における最強の発明
感覚的には「単純化」のための分野です。
『めちゃくちゃ多いもの』を単純にします。
現代では、『因果・相関関係の発見』が主目的の分野。
これは「科学」の基礎の基礎にあたります。
始まりは「全体の把握」から。
例えば国家運営とかがそうです。
いわゆる『調整』のための「把握」から始まりました。
そんな「統計」のキーになる概念は『相関』です。
要約すると「片方が変化」すると「もう片方も影響を受ける」感じ。
『統計』では↑を数的に明らかにします。
なにかを調査するためにデータが必要なら、それを集計し、
調査したい対象と「比較」して『相関の有無』を見ます。
詳しくは『統計学』の記事にて。
